走向模型论的模态逻辑，本文主要内容关键词为：逻辑论文,模型论文,走向论文,模态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
修订日期：2008-11-14
中图分类号：B81文献标识码：A文章编号：1674-3202(2009)-01-0062-16
在这篇论文中，我将探讨研究模态逻辑的抽象模型论的一种方式。J.Barwise和S.Feferman[1]编辑的《模型论逻辑》提出了抽象模型论研究的两个方向：一是扩张(一阶)逻辑；二是以抽象的方式研究逻辑之间的关系。我将只探讨在第一个方向上对模态逻辑的研究。在一阶语言的基础上增加无限基数量词或者增加任意合取(析取)就可容易得到表达能力实质上更强的语言。以同样的方式扩张基本模态逻辑，我们便可以从模态的角度处理一些数学概念，比如可数多个、有限等等量的概念。
一、模型论逻辑
在第一部分，我们简要说明模型论逻辑中扩张逻辑的意义。在1.1节，我们最一般地讨论逻辑、各种逻辑的概念，以及模型论的基本想法和概念。在1.2节，我们考察逻辑等于一阶逻辑这个论题的意思和问题。在1.3节，我们探讨Mostowski-基数量词和无穷逻辑的基本想法。
1.1 逻辑(Logic)、各种逻辑(Logics)和模型论
我们主要在这种意义上使用逻辑(Logic)这个词。但是我们也经常遇到各种逻辑(Logics)这个词。如果我们问特定的(数学)概念的逻辑是什么，我们期望得到的回答乃是使用这个概念的逻辑。所使用的概念不同，所要刻画的逻辑就不同。比如数学中有限、无限、可数、不可数等等概念，隐含在这些概念的使用中的逻辑是什么？具有这些性质的数学结构是什么？什么样的语言用来谈论这样的性质？关于这些性质的正确的推理是怎样的？等等，对这些问题的回答就是对有关概念或性质的逻辑的研究。
模型论的基本想法乃是通过研究数学结构与描述这些结构所使用的语言表达式的类之间的联系，从而获得关于这些结构的逻辑的认识。数学结构类的变化或者语言的变化会产生不同的逻辑或逻辑系统。简单地说，模型论研究句法概念和语义概念之间的相互作用。经典的一阶模型论最基本的概念就是一个模型M满足一个公式
。一个结构是由一个域、域上的关系和运算(函数)组成的。一阶结构把域限制到个体的域；一阶语言中公式的构造使用
等逻辑常项，∧和∨是二元布尔运算，全称量词
解释为给定的全域，存在量词
解释为给定全域的非空子集的类。如果我们允许结构类更加丰富，比如允许关系或性质进入结构的域，那么相应的谈论这样的结构的语言就要有关系或谓词变元，甚至需要二阶量词。如果我们在语言方面进行扩张，比如把合取(析取)看作公式集上的一元运算(正如集合论中把二元并运算x∪y推广为集合上的一元并运算∪x)，允许任意公式集上的合取(析取)，就得到无穷逻辑；或者我们增加不能在一阶逻辑中定义的量词，我们也可以得到一阶逻辑的扩张，我们在1.3节讨论这样的扩张的基本想法。
1.2 逻辑等于一阶逻辑的论题
试图把逻辑定义为隐含在逻辑常项中的逻辑，或者认为逻辑等于一阶逻辑，这种观点实际上从逻辑领域排除了那些不能在一阶逻辑中定义的东西。这部分原因是人们认为大部分数学概念可以在一阶逻辑或集合论中表达；另一方面，人们相信奎因的主张是正确的。奎因认为，大多数通常使用类、关系，甚至使用数来表达的东西，在量化理论中，大概还加上同一理论，就可以很容易地重新表达([19]，p.116)。因此，一阶逻辑确实具有非常强的表达能力。但是下面两个例子表明，一阶逻辑的表达力是有限制的。
例2.不存在一阶句子集定义有限和无限这两个互补概念。根据紧致性定理，对任何一阶句子集T，如果T的每个有限子集有模型，那么T有模型。它的一个推论如下：如果一阶句子集T有任意大有限模型，那么T有无限模型。假设一阶句子集T定义有限这个概念，也就是说，T的模型类恰好是所有有限模型的类。那么T有任意大有限模型，因此T有无限模型，但是T的所有模型都是有限的。
因此，如果我们承认一阶论题，那么就无法处理上面两个例子中量的概念。一阶逻辑只是我们设计的用来研究逻辑的一种形式语言，正如天文望远镜是我们用来研究天体的。通过引入更丰富的结构和更丰富的语言，我们可以扩张一阶逻辑。在这篇论文中，我将只讨论扩张语言从而增加表达力的问题，也就是寻找适合不能在原有逻辑中表达的结构性质的逻辑，我们不讨论更丰富类型的数学结构，比如二阶逻辑谈论的含有性质和关系的结构。
1.3 Mostowski-基数量词和无穷逻辑
由于有限多个、可数多个这样的概念不能在一阶逻辑中定义，我们需要扩张我们的语言。
这表明模型和一阶结构是没有本质区别的，区别只在于模态语言和一阶语言的表达能力，也就是说，关系结构可以相同，但谈论关系结构的语言可以不同，模态语言是谈论关系结构的非常有表达力的语言，同样建立在关系词汇(不含常元符号和函数符号)基础上的一阶语言也可以谈论关系结构。我们将这种思想以形式的方式表述如下。给定一个有特殊限制的一阶语言
，它的非逻辑符号只含有相应于每个命题字母p的一元谓词符号P和一个二元关系符号R。
2.2 模型可定义性
在模型层次上，互模拟是研究模态模型论的基本工具。经典的模型构造技术，包括不交并、生成子模型、有界态射和树展开，都可以看作互模拟的特殊情况②。除了模型构造，模型论的另一个主要问题是可定义性，即哪些结构性质或结构在所考虑的语言中是可定义的？显然一个用于谈论关系结构的语言中，任何公式(类)都可以用来确定一个结构的类，即使这个公式(类)真的结构的类。但是，反过来，一个结构类或结构性质不一定能够使用公式(类)来定义，语言的表达能力很可能是有限制的，我们前面已经看到，一阶语言的表达能力是有限制的。
一般地，一个点模型类K被某个模态公式集定义，如果K在互模拟和超积下封闭，并且K的补类在超幂下封闭。K被某个模态公式定义，如果K和K的补类都在互模拟和超积下封闭。这两个可定义性结果实际上就是一阶逻辑的模型论中可定义性结果到模态逻辑的转移。
2.3 标架可定义性
一般地，一个一阶可定义(初等)标架类K是模态可定义的(通过某个模态公式集可定义)，如果K在取有界同态象、生成子标架、不交并下封闭，并且反射超滤扩充(对任何标架F，如果ueF∈K，那么F∈K)。标架可定义性和模型可定义性结果奠定了模态模型论研究的基础。在标架层次上，使用一些模型论封闭条件确定了一阶可定义性与模态可定义性的联系；在模型层次上，不仅我们使用标准翻译和互模拟确定了一阶逻辑的模态片断，得到模态逻辑的一些与一阶逻辑相同的良好模型论性质，而且也确定了模态可定义性的条件。
三、模型论的模态逻辑
4.1 分级模态词
分级模态逻辑在认知逻辑、知识表示、广义量词理论中有许多应用。我们举两个例子。
例3.([van der Hoek and Meyer 1992]，见参考文献[14])
分级模态语言乃是基本模态语言的一个有很强表达力的变种。在基本模态语言中，基本语义概念是公式在模型的一个状态上真，但是在分级模态逻辑中，基本语义概念是公式在模型的某个状态集上真。给定模型M＝(W，R，V)，令x∈W，X
W，我们用RxX表示对每个u∈X有Rxu成立。注意一般我们只要求状态集X是有穷的，因此一般考虑W的有穷子集的集合Fin(W)。下面是一些关于分级模态公式的语义事实。
定理1 ([de Rijke 2000]，见参考文献[20])
一个可数(带等词)一阶语言的公式α(x)等价于某个分级模态公式的标准翻译当且仅当它在互模拟下不变。
此外，de Rijke[20]还建立了点模型类的模态可定义性的模型论封闭条件：一个点模型类K是由某个分级模态公式集定义的当且仅当K在g-互模拟和超积下封闭并且K的补类在超幂下封闭。K由单个分级模态公式定义当且仅当K在互模拟下封闭并且K和K的补类都在超积下封闭。
五、进一步研究的问题
我们提出了分级模态逻辑的基本想法和几个研究方向。在第三部分我们还指出了几类不同的分级模态逻辑。在第四部分我们集中考虑关于分级模态逻辑(也就是有限基数的模态逻辑)的研究。最后，我们提出一些有待研究的课题，希望这些问题能够引起研究者的兴趣和注意。
(1)分级模态逻辑的一些模型论方面还有待深入的研究。比如我们还没有获得标架层次上初等标架类在分级模态逻辑中可定义性的条件，也就是说，我们需要提供GML的Goldblatt-Thomason定理。参见[12]和[4]。
(2)超滤扩充也是一种重要的模型构造，它可以用来刻画互模拟。我们需要GML的超滤扩充的定义和相应的模型层次上的不变结果。参见[4]第2章。注意我们已经有了GML的典范模型的构造技术，因此我们应该可以证明超滤扩充定理。
(3)代数语义具有很强的处理能力，模态代数以及加算子布尔代数分别用来使模态语义和模态公理系统代数化，通过Stone表示定理，这两类代数联系起来。由于我们已经获得一些分级模态逻辑的完全性结果，因此我们应该可以获得处理正规分级模态逻辑的加算子布尔代数，证明相应的Stone表示定理。
(4)本文只展现了模态逻辑的抽象模型论的一个方面：扩张模态逻辑。逻辑的抽象性质的研究也是值得探索的领域。B.ten Cate et.al.[6]证明了树结构上分级模态逻辑的
刻画定理。那么完整的分级模态逻辑的刻画定理如何？
(5)在本文第4节中，我们还指出了通过分级模态逻辑确定带有限基数量词的一阶逻辑的片断这个研究方向。我们可以尝试确定(
的分级模态片断，研究这个片段的可判定性和互模拟。
(6)分级模态逻辑在其它领域中还有许多应用。比如，在认知逻辑使用分级模态词处理知识的不确定性程度，参见[14]。在广义量词理论的研究中，我们可以研究相应的模态逻辑，参见[16]。在知识表示理论或者描述逻辑中，我们可以处理对数字限制的知识的表达，W.van der Hoek和M.de Rijke[15]简单介绍了描述逻辑的语言与分级模态词。
注释：
①参见[23]，[24]。在这些著作中，王路指出了从亚里士多德逻辑到现代逻辑的发展实际上贯穿着对逻辑的实质的理解。
②相关定义和证明参见[4]。
③这种特征导致考虑其它的经济的翻译。实际上目前的证明器不能处理这么多的不等式，因此，H.Ohlbach and R.Schmidt[18]引入了支持自动推理的集合论翻译。
④参见P.Blackburn et.al.([4]，第7.4节)对保卫片段的简单介绍。还参见V.Goranko and M.Otto([13])对这个片段的模型论方面的讨论，尤其是这个片段的互模拟概念。