分形统计学在投资项目期权价值评估中的运用，本文主要内容关键词为：期权论文,统计学论文,投资项目论文,价值评估论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在市场经济较发达的西方国家，期权理论已广泛地被运用于企业财务管理中，为企业寻活性管理提供了量化标准，成为一种有效的管理避险工具。在实际操作中，期权运用最关键的问题是对期权价值的评估，为此产生了一系列期权定价理论。其中最具代表性的是布莱克与斯科尔斯在1973年创建的B-S模型。这些理论模型同其它经典金融理论模型类似，均是建立在观测值呈随机性、独立性、正态性的线性范式基础之上。然而在现实的金融市场中，研究者们（注：法马(Fama)(1965)对证券市场收益率的完整研究，特纳(Turner)和魏格尔(Weigel)(1990)对S&P指数的回收益率，弗里德曼(Friedman)与莱布森(Laibson)对S&P的季度收益率所作的研究以及彼得斯金融市场的全面研究均表明了收益率的非正态分布。）发现了大量不符合正态假设的例子。他们发现在金融市场中，观测值具有非独立性、非连续性、自相似性等非线性特征，其分布一般呈现出尖峰胖尾态。可见，正态分布不完全适合描述金融市场，建立在这种简化假定模型之上的期权定价理论缺乏对实际经济现象的解释功能。
1964年芒德勃罗(Mandelbrot)在库特纳集中指出，一种称为“稳定帕雷托”分布(Stable Paretian distribution)更适合于描述金融市场。该分布是由列维(Levy)以有关帕雷托收入分布的研究为基础推导出来的。1991年彼得斯以大量的证据证明了资本市场服从帕雷托分布，其具有自相似形、可相加性以及非连续性的特征，并将该分布称作分形分布（注：分形即自相似形(self-similar)，简单地说即整体与部分之间某方面的相似性。正是由于帕雷托分布的自相似性，彼得斯将其称作分形分布。下文所涉及的帕雷托分布均统一称为分形分布。）。相对于正态分布而言，分形分布的这三大特征更接近于真实的金融市场，正态分布可视为分形分布的一种特殊形式。因此，基于分形分布前提下研究所得的期权定价理论在实践中更具指导性。本文运用分形分布为核心的分形统计学基本原理，对企业财务管理中投资项目期权价值的评估进行探讨。
一、投资项目价值评估的复杂性
（一）投资项目未来净现金流量与作用要素之间的非线性关系
投资项目未来净现金流量与内外部作用要素之间的非线性关系，即指它们之间不是线性对应变换关系。这种非线性关系通常以反馈效应的形式表现。企业投资项目带来的现金流量大小一般由产品受喜好程度、人们平均收入水平、竞争性同类产品的开发状况、经济环境以及生产付现成本、税收优惠等因素决定。例如，一项研发投资，假设研发阶段与产品商业化阶段同步进行，研发的资金投入是分期投入的，成本是逐渐收回的。随着资金的投入，投资项目的展开，新产品逐渐被消费者接受，市场需求会逐步扩大；新产品带来市场供求均衡的改变会导致产品价格的变化；资金的不断投入促使产品的不断改进，成本会逐渐降低；研发资金的避税效应（作为管理费用列支）会随着资金投入的增大而显现。这些因素的作用共同影响各期现金流量，同时现金流量的变动会直接影响各期资金投入的大小（注：鲍曼(Bownman,1980)通过调查发现企业中普遍存在“风险收益悖论”，即较高回报率的企业更愿采取低风险行为，而较低回报率的企业更愿采取高风险行为，也就是说现金流入的大小直接决定企业研发资金的投入量。），从而进一步影响现金流量。这样，投资项目的未来现金流量与各影响要素之间不再仅仅是一种简单、线性的函数关系式，如图1：
图1
（二）投资项目价值变化的非几何布朗运动
在运用B-S模型评估项目的期权价值时，一般假设，投资项目的价值是几何布朗运动，且为服从对数正态分布的随机变量，具有连续性与独立性。这一假设与事实相背离。
(1)投资项目价值变动的非独立性
B-S模型假设任何时间段标的资产的收益和其他时间段标的资产的收益互相独立，在投资决策中运用B-S模型，即假设投资项目价值的变动是独立的。这一假设是基于EMH所描述的框架下为简化问题而提出的。然而，随着金融市场的发展，越来越多不断发生的市场异常现象（注：收益率的尖峰胖尾态、元月效应、小公司效应。过度反应和反应不足等等。）无法在这一理论框架下得到合理的解释，EMH已受到严峻的挑战，独立性假设离现实相差甚远。就本文所指的投资决策而言，以一项研发投资为例，研发阶段与产品商业化阶段同步进行，研发的资金投入是分期投入的，成本是逐渐收回的，并假设仅考虑现金流量与投资额之间的相互关系。由于未来现金流量的大小受本期投资额的影响，本期的投资额又受到上期净现金流入量的影响，因而各期的现金流量是相关联的，过去影响未来，如图2：
图2
图2中各期现金流入量的关系可用公式(1)表示：
X[,t+1]=f[,t][I[,t1](X[,t])] (1)
本期期间投资额直接受上期净现金流入量的影响，用函数I[,t]表示；同时，未来净现金流入量又受到本期投资额的影响，以函数f[,t]表示。这样就建立起了X[,t]与X[,t+1]之间的函数关系。
基于未来现金流量下的投资项目价值（
，V表示项目价值，α为折现系数），其变动关系与各期现金流量的变动关系相关，如公式(2)：
V[,t+1]=g[,t][I[,t2](V[,t])] (2)
因此，在项目投资期间内，投资项目的价值变动并非随机变动，彼此具有关联性。
(2)投资项目价值变动的跳跃性
在运用B-S模型对投资项目期权价值进行评估时，投资项目价值（既B-S中的标的资产价格）被假定成连续变化的、渐变的。然而，由于内外因素的多重影响，投资项目价值的非独立变化，其变动往往表现出跳跃性、非连续性。
例如，随着投入资金的增加、生产规模的扩大、销售网络的广泛建立，产品逐渐被广大消费者接受，一旦树立起了新产品的品牌效应，很可能形成该产品的垄断地位，从而阻止其他产品的进入，形成垄断价格。这个时候，投资项目的价值会以成倍的速度增加。又譬如，在项目投资建设中，由于竞争企业更具优益性产品的开发成功，可能导致该项目价值的立即降低。这些都是在投资过程中经常会碰到的情形，因而简单的将投资项目的价值视为连续变化，且在这一假设下计算标准差作为对投资风险的衡量是极不准确的。
（三）投资项目价值变动的分形特征
分形最早源于几何学概念，可以用来描述大多数自然形状和时间序列。一切具有分形性质的形状与序列，其特点在于局部细节的随机性和整体全局的秩序，即自相似性。分形中最典型的例子就是树型结构，每棵树整体上都是三角形，而每棵树的树叶、树干等细节各不相同，表现出自相似性的特征。彼得斯以证券市场的大量历史数据为分析对象，研究表明资本市场也具有分形结构，使得分形这一几何学概念能够运用到经济领域中来。
笔者认为投资项目价值变动仍然具有分形特征。项目价值的分形，是指项目价值的变动在不同时间尺度上具有某种相似性。以前述研发投资为例，由于项目价值主要取决于外部环境变化、决策者管理能力以及对待风险的态度决策。现假设外部环境相同、决策者能力相当，有决策者A与决策者B对同一项目进行决策，A为风险喜好者，B为风险厌恶者。投资项目的未来价值直接取决于决策者对待风险的态度（收益与风险呈正比）。因此，决策者的风险偏好就决定了价值整体的运行趋势，如图3.1与3.2：
图3.1
图3.2
图3.1表示决策者A进行的投资项目的价值变动，整体具有向上趋势；图3.2表示决策者B进行的投资项目的价值变动，整体具有向下趋势。T[,1]时刻表示市场中某种不利事件的发生，使得项目价值突然下降，V[,A1]与V[,B1]表示下降幅度，V[,A1]＞V[,B1]，因为A比B承受更大的风险。T[,2]时刻表示市场中某种有利事件的发生，使得项目价值突然上升，V[,A2]与V[,B2]表示上升幅度，V[,A2]＞V[,B2]，同样由于A比B承受更大的风险。可见，投资项目的价值变动明显地表现出整体相似、细节不同的分形特征（如果去掉假设，考虑更多影响价值的内外因素，会表现出更多的细节差异）。
二、分形统计学的基本原理
以上分析表明，与彼得斯研究的金融市场一样，传统经济研究所依赖的线性范式同样已不适用于对投资决策这一复杂现象的描述。而在运用期权理论对投资项目进行决策时，建立在这种简化假定之下的传统期权定价理论并不能准确地反映现实。我们迫切需要一些建立在现实基础之上的理论方法，不必依赖于独立。正态或方差有限的假设，从而能描述复杂的经济现象，弥补传统理论的不足。分形统计学为研究者们开拓了新的视野。
（一）分形分布
分形分布作为分形统计学中的核心，该分布最早由列维(Levy)以帕雷托有关收入分布的研究为基础推导出来的。这一分布很好地描述了尖峰胖尾态，侧重于从内因来解释观测值的非连续性、非独立性，自相似性等非线性特征，并以反馈效应合理地解释了胖尾产生的原因，较正态分布而言更符合市场的特性。对分形分布的确切描述是由芒德勃罗在1964年完成的。以下是该分布的特征函数：
其中，δ是均值的位置；с是规模变化参数，如反映周收益率与月收益率的差别；α为特征指数，在δ处决定峰度和在尾部决定胖度，α在0与2之间取值，当α=2对该分布为正态分布；β是偏斜度参数，在-1与+1之间取值，当β=0时，分布围绕对称，当β＜0时，分布是负偏斜的，当β＞0时，分布是正偏斜的。
1991年彼得斯通过大量的实证研究证明了资本市场服从分形分布，在此理论基础之上，我国的一些学者（注：徐龙炳、陆蓉(1999)，伍海华、李道叶(2001)，林勇(2001)，郑伟(2001)）也论证了我国的证券市场同样符合分形分布。
（二）分形分布的特征：
(1)自相似性：只要α与β保持不变，无论规模参数с如何变化均不会改变同一范围内的概率。序列是无穷可分的，具有自相似统计结构。这也是彼得斯将列维分布视为分形分布的原因。
(2)跳跃性（非连续性）：分形分布的胖尾是由反馈效应导致的，在时间序列里的反馈效应在过程当中产生了跳跃。分形过程中的大变化是从少量的大变化产生，而不是正态分布中所暗示的大量的小变化产生。
(3)加法下的稳定性：服从分形分布的观测值，只要具有相同的α与β，相加以后同样服从分形分布。
在前面论述投资决策的复杂性中，可以看出投资项目价值的非独立性、跳跃性的非线性变化以及反馈效应与分形分布所描述的特征非常相似。因此，笔者认为投资项目价值并不服从正态分布，而更接近于分形分布。
（三）分形分布下的期权定价理论
1985年马克罗茨刚(McCulloch)提出了观测值是分形分布下的分形期权定价模型。该模型充分显示了分形统计的实际运用。
下面分别是欧式看涨买权与看跌卖权的价格公式：
模型中涉及三个稳定参数和四个未知量。这三个参数乃反映标的资产价值变动的分形分布中的参数α、β、с。四个未知变量分别为：期货价格(F)、执行价格(X[,0])、无风险收益率(r[,1])以及期权的期限(T)。其中马克罗茨给出了求解F的公式：F=e[δ+β×с[α]×sec(π×α/2)]。
三、分形统计在项目期权价值评估中的运用
传统的投资项目价值评估，一般采用净现值法(NPV)，即通过计算项目期间的净现金流入量，并选择合适的贴现率来计算项目的净现值，以确定项目是否投资。该方法依赖于对未来现金流量的估计，并假设投资可以逆转，因而在充满大量不确定性的市场中，缺乏灵活性。NPV在实际运用中亟需进行补充与修正。引进期权的定价方法和思路在一定程度上可弥补NPV的不足。期权以其独有的抗风险性（注：期权作为不对称对约，具有低风险、高收益的特征。期权理论指出，不确定性正是期权的价值所在，不确定性越强，期权的价值越高。）运用于企业的投资决策当中，管理者可以灵活地将不确定性转化为价值创造的机会。期权理论运用的特点在于管理者可以随时根据即时获得的信息进行量化处理，做出理性判断，选择创造价值的机会，避免毁损价值的投资。只要管理者有管理的主动权，能够发现具有期权性的投资机会，就可以运用期权理论进行决策。
对于期权思想在投资决策中的运用，已有众多学者进行了大量的研究。其基本思路一般是：
其中关键在于对期权价值的评估。自1997年，布莱克与斯科尔斯以B-S期权定价模型获得诺贝尔经济学奖后，在有关投资项目期权价值的评估中一般都采用了B-S模型。在前面的论述中笔者已指出，投资项目的价值变动与B-S模型的假设（连续性、独立性、正态性）相差甚远，其变动更接近于彼得斯所描述的分形分布。因而采用分形分布下的分形期权定价模型可以更确切地反映投资项目的期权价值，指导管理者进行合理决策。
（一）模型中未知变量的确定
分形期权定价模型中涉及四个未知变量：期货价格(F)、执行价格(X[,0])、无风险收益率(r[,1])以及期权的期限(T)。其中后三个变量与B-S模型中的未知变量相似，在投资项目期权价值评估中，它们分别以投资决策中的初始投资额、长期国债利率、投资的最迟期限（或特许权有效期）来表示。与B-S模型所不同的是，分形期权定价模型是根据期货价格与执行价格之间的关系来求得期前回兑价格。针对项目的期权价值，笔者认为期货价格F应等于投资项目实施时的项目价值，即初始投资时所预期的未来净现金流量现值。
（二）模型中参数的确定
参数决定形态，形态决定趋势，参数的估计对项目期权价值的评估至关重要。经大量数据表明，市场虽时常表现出偏锋态，但这个偏锋态在市场上的影响并不明显(Fama,1968;Roll,1971)，为简化起见，一般将β值视为0。问题的关键在于对α的测量。对于分形分布而言，与正态分布不同之处在于其考虑了观测值之间的非连续性、非独立性的非线性特征。而这些特征主要是由于观测值之间的相关性所表现出来的。为了寻求这一相关性，通常以α值间接表示。α作为模型中最重要的特征指数，其在分形分布的均值位置决定峰度以及在尾部决定胖度，最终以尖峰胖尾的形态来描述观测值的变化状态，反映出现测值之间的“记忆效应”。
在证券市场中，证券价格受各行为人的共同影响，行为人的非理性（注：近年来兴起的行为金融学用大量的事实证明了经济人的非理性行为，对传统的理性人假说提出了挑战。）决定了未来价格走势的不可预测性，只能依靠大量的长时期的历史数据来寻求趋势，因而产生了重标极差分析法（R/S分析法）与谱分析法（注：彼得斯通过论证表明重标极差分析法（R/S分析法）与谱分析是计算α最实用的方法。）来测量α值。然而，针对一个投资项目而言，不存在大量的历史数据，并且不同项目之间的差距很大，历史数据不适合反映现有投资项目，因此，笔者提出一种新的思路。
彼得斯通过推导得出，H为郝斯特指数。当H=0.5，即α=2，此时，序列服从随机游动，分布是正态的。当H≠0.5时，观测值就不是独立的，每一个观测值都带着在它之前发生的所有事件的“记忆”，即前述论及投资项目价值变动的非独立性中所指的，过去影响未来，这一相关性可由下式表示：
C(t)=2[(2H-1)]-1 (10)
笔者认为，投资项目的价值变动之间的相关性不同于证券市场中收益率的变动，其很大程度上取决于决策者的个人态度而非整个市场参与者。因此，可以直接对相关性化(C(t))进行衡量。
仍以上述的研发投资为例，其中项目价值对投资额以及投资额对项目价值的函数关系式可由(11)与(12)表示：
I[,0]为每期固定的投资额，参数θ反映决策者对市场变化做出反映的灵敏度。V[,0]为每期固定的净现金流入量，参数λ表示投资额的变动对未来现金流量的影响度，一般通过历史数据估计而得。
由此，只要可以估算出现阶段投资项目价值，就可队预测出项目价值之间的相关性C(t)，从而运用(10)测算α值，以此确定项目期权的价值。
四、结语
在投资项目评估中，内外影响因素之间的关系错综复杂，基于假定所研究对象的简单性与线性的传统理论已不再适合对复杂系统的研究，亟需一种更符合实际的理论模型。作为非线性科学的分形统计理论弥补了传统的局限性，为复杂系统的研究指明了道路。本文力图从现实出发，以投资决策的实践活动为背景，探讨项目价值变动的分形特征，并将分形期权定价理论运用于项目价值评估中，为企业投资决策者应对投资风险、衡量项目价值提供新的方法。
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