自主招生与日常教学，本文主要内容关键词为：自主招生论文,日常论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
这些年来，高校自主招生没有公布过类似考试说明的文件，其中的数学试题以灵活、难度大、不好备考著称.许多人认为日常教学与自主招生的备考关系不大，于是要么根本不做准备，要么临时仓促备考，结果并不会有好的效果.笔者不赞成突击备考，认为日常教学才是自主招生备考的主战场. 一、知识可能超标，求知欲更要超标 自主招生从来没有承诺考查的知识局限于某范围，从以往的自主招生数学试题来看，常常出现了超出课程标准要求的知识，但笔者认为考查这些知识并不是主要目的，只是为了考查学生的数学能力而“不小心”涉及的. 比如，三角部分出现了三倍角、和差化积、积化和差公式；数列部分出现了常见递推公式；解析几何部分出现了圆锥曲线的第二定义；复数部分出现了复数的三角形式；函数方程部分出现了韦达定理的一般形式等等. 只要认真归纳一下就会发现，所谓超纲知识其实都是与课堂知识联系紧密、跳一下就能够得着的，有的甚至就是教材的阅读材料，不会出现离学生现有知识结构太远、空中楼阁似的知识.自主招生选拔的是拔尖人才，若一个学生对处于课堂边缘、触手可得的知识却毫无兴趣，没有一点儿的求知欲和好奇心，这不是拔尖人才应有的素质吧.在日常教学中，我们教师对那些学有余力的学生要真正做到因材施教，不要受高考范围、课程标准的限制，举手之劳就能拓宽他们的视野、满足他们的好奇心，何乐而不为呢. 二、学过还是没有学过 先来看一道2012年北约自主招生试题：关于x的方程sin2xsin4x-sinxsin3x=a在x∈[0，π）有唯一解，求实数a的值. 此题解法众多，其中一种常见解法是把此问题转化为函数f（x）：sin2xsin4x-sinxsin3x，x∈[0，π）与函数y=a的图象交点个数的问题，于是问题的关键是如何绘制函数y=f（x）的图象. 在教师的启发下，学生进行了如下变形：
此时，教师询问：这个函数的图象会画了吗？ 学生答曰：不会. 学生继续变形f（（x）=sin5xsinx 此时，教师又询问：这个函数的图象会画了吗？ 学生又答曰：还不会. 学牛已经不知道要将函数f（x）变形为什么形式了，至此承认失败了. 教师提问：函数y=cos4x和y=cos6x的图象会画吗？ 学生回答：会，老师讲过. 教师又提问：函数y=sin5x和y=sinx的图象会画吗？ 学生又回答：会，我们学过. 教师接着提问：那为什么y=
（cos4x-cos6x）和y=sin5xsinx的图象不会画？ 学生接着回答：老师讲过函数图象的平移变换、伸缩变换、翻折变换和对称变换，没有讲过两个函数相减和相乘的变换，所以不会画. 至此问题出现了：教师讲过的学生就会，教师没有讲过的学生就不会！这正常吗？这是我们教学应该追求的吗？知识无穷尽，我们能讲授完么？ 《普通高中数学课程标准（实验）》中讲道：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’的过程.” 学完函数一章，我问我的学生：世界上只有一次函数、二次函数、反比例函数及幂指对函数、三角函数吗？若答案是否定的，那么为什么只学这几种函数？学生往往回答不出.我告诉他们，学习函数最重要的是学习研究函数的方法，以后遇到其他函数都可以照此研究.于是，我布置一些函数供他们去研究，如研究函数
等的图象与性质. 与此类似的还有，学完函数y=x+
的图象与性质后，我们可以提问：两个简单函数的差、积、商的图象如何绘制？如
等函数. 学完圆锥曲线后，我们可以提问：除圆锥曲线之外的曲线如何研究？如到一定点和一定直线距离之和为定值的点的轨迹、到两点的距离之积为定值的点的轨迹等. 学完全等三角形后，我们可以提问：四边形、五边形的全等如何判定？ 这样授人以鱼不如授人以渔的例子有很多，教学不能只让学生学到知识，而更应该让学生学到学习的方法！ 回到例题中，我们可以画出函数y=sin5x和y=sinx的图象如图1，然后利用描点法进行“叠乘”，画出函数f（x）=sin5xsinx的草图，如图2.
经检验，当a=0时解不唯一，舍去，故a=1. 这时有学生说道：早知道这个函数的图象是关于直线x=
对称的就好了.没有这个函数图象草图的绘制就不容易发现这个结论，敢于创造性地应用所学知识是关键. 把所学的知识和技能创造性地应用到更多更广的领域，这种数学能力需要我们教师重视，并对学生加以引导，这是我们日常教学中能做应做的事情. 三、解题思路从何而来 有的自主招生试题（如下例题）很难，学生完全没有思路，甚至答案都看不懂.其实答案看懂了又有什么用呢？无论教师教还是学生学都不能只弄清思路本身，更重要的是要弄清思路的来源.下面看2012年华约自主招生的一道试题：
学生感觉很难，因为他们头脑中没有可用的公式、定理和结论.他们大多不知从何处下手，没有思路.思路从何而来？思路应该是在实验归纳的土壤中长出来！ 课标指出：“在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比……抽象概括……演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.” 在高中数学中，只有“推理与证明”一章比较直接地涉及“观察发现、归纳类比”等合情推理的思维过程.教师在对其他章节教学时往往会忽视培养学生的这一思维过程. 对于此题，我们不妨引导学生从最简单的入手，验证n=1，2，3，4时
的结论是否成立？为什么成立？能否推广？ 当n=1时，函数
=1+x，有唯一零点吗？为什么？ 学生异口同声回答：是. 但对于理由却不知如何回答.
学生回答：没有. 至于理由，有的说可以由判别式得到，有的说观察图象. 教师追问：这个方法能推广吗？ 学生们均表示否定，还是没有得到一个规律性的东西.
学生们停顿了一会儿回答：有，因为函数
（x）单调，且
＞0而
（-2）＜0. 教师追问：为什么单调？为什么取0和-2？能推广吗？ 学生一时陷入了沉思，经过启发，学生得出： （1）
（x）的单调性是根据
=
＞0得出的，这可以推广，不过需要使用数学归纳法进行证明.
至此，n为奇数的证明思路就成型了.
教师追问：能推广吗？ 学生经过抽象概括后得出结论：可以推广，不过由于用到了
的性质，所以仍然需要用数学归纳法证明. 至此，n为偶数的证明思路也就成型了. 培养学生的归纳类比、抽象概括等数学推理能力，不能集中在某章甚至某几节课里，应该渗透到日常教学过程中.学生遇到了没有思路的问题时，教师就遇到了培养学生数学思维能力的机会！ 如果说自主招生是另一种教学指挥棒的话，那么它要求我们日常教学中引导学生形成正确的学习观，大力培养学生的数学思维能力.只有这样长期坚持不懈的努力才能让我们摆脱临时备考的仓促、慌乱与无效，笔者认为这才是真正的数学教学. 【编辑手记】自从实行自主招生以来，对于自主招生试题的研究也是越来越多.总体来讲，自主招生的数学试题要难于高考，其中有些内容在大学阶段或数学竞赛中才会接触到.如果说日常教学要以自主招生考试为目标，那么显然会大幅增加学生的课业负担，反之，严格按照课标要求进行教学，那么，学生在高考特别是自主招生考试中可能又会处于不利境地.因此，日常教学如何应对自主招生是一个难题，也是值得我们思考和研究的问题.
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