研究解题 学会解题——关于解题教学的思考与建议，本文主要内容关键词为：建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“问题是数学的心脏”“数学家存在的主要理由是解问题”(P·R·Halmos)的新论点，指出了“发展解决问题的能力应当成为数学教育工作者的努力方向”，点明了解题教学在数学教学中具有极其重要的意义。下面就数学解题教学谈几点认识和体会。
一、数学解题教学的重要性和必要性
1.数学教学目的的需要
著名数学家哈尔莫斯说：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏。”数学教育家G·波利亚也指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练。”波利亚把“解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同。1976年国际数学管理委员会把解题能力列为十项基本数学技能的首位。我国广大数学工作者也逐步认识到，应将解题教学置于数学教学的中心地位，认为这是由数学教学的目的及解题本身的意义所决定的。数学解题教学已逐渐成为中学数学教学的首要任务。
2.学习数学的需要
抛开例题教学不说，每个定理或公式的教学，不就是数学解题教学吗？一个定理或公式从发现到证明不就是解决了一个问题吗？就连每个概念的教学，不也是解决了一个问题吗？比如，开方的概念及运算，不就是由于需要解决方程
(a≥0)的精确解的表示，而引进了开平方运算和符号
的吗？开立方、开n次方不也是类似的吗？另外，学生对数学定义、公式、定理、技能技巧及数学思想和方法的学习，一般都要接触到相位的题目，在解决题目的过程中或找到题目的解答后才能获得这些数学概念。这一过程会让学生看得见、摸得着学习某一知识与方法的重要性与必要性，从而加深对这一知识与方法的理解与掌握。所以说，从某种意义上说，数学教学就是数学解题教学。
3.开发智力的需要
数学是思维的体操。解数学问题能打开解题者的智力大门，能使解题者充分地开发智力。这是因为在一个数学题目中，不但蕴含着一些未知的量，而且隐藏着许多各式各样的联系，促使解题者去分析、去发现、去探索、去尝试、去圆满地解决。解决之后还能发人深省，诱人开拓。G·波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。在一般情况下，问题与知识的联系并非是显然的，即使有时能在问题：中看到某些知识的“影子”，但毕竟不是知识的原形，或是披上了“外衣”，或是少了条件，或是改变了结构，从而没有现成的知识、方法可用。数学解题能锻炼学生的思维能力，能使学生去伪存真，透过现象看到题目中本质的东西，能使学生的数学思维方法及数学思维能力得到极大的提高，由此，学生的智力也就得到极大的开发。把数学解题作为开发中学生智力的有力工具应是每一个中学数学教学工作者的神圣职责和义务。
4.培养学生良好个性品质的需要
解题教人求真，它能使学生养成诚实的性格；解题教人精细，它能使学生养成做事认真、精确、细心的品质；解题教人严谨，它能使学生养成做事周密思考的习惯；解题教人求简，它能使学生养成求简的意识；解题教人求美，它能培养学生的审美能力；解题教人如何面对困难，它能使学生养成正确面对困难、克服困难的态度，锻炼学生的坚强意志和抗挫折能力；解题教人逻辑，它能使学生养成有逻辑地思考问题和有条理地处理问题的习惯；解题教人抽象，它能培养学生的抽象思维能力；解题教人概括，它能培养学生的概括能力；解题教人说理，它能培养学生的思辨能力；解题教人索因求果，它能培养学生的理性思维；解题教人合情推理，它能培养学生的创新能力；解题教人数学化，它能使学生养成善于从数学的角度观察和处理问题的习惯，学会数学地思维。
二、怎样搞好数学解题教学
1.树立数学是“玩”出来的观念
美籍华人数学家陈省身先生曾经给青少年数学爱好者写了个题词——“数学好玩”。这一充满童真语气的题词，充分表达了这位当今数学泰斗对他为之终生奋斗的数学科学的浓厚兴趣。常庚哲教授说：“……大多数的数学定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣’而玩出来的……”希尔伯特(D.Hil bert)也曾经指出：“数学是根据某些简单规则使用毫无意义的符号在纸上进行的游戏。”英国哲学家罗素说：“数学就是推理，就是由一些假设经过推理得到新的结论。”这说明数学学习不应当是枯燥乏味的、晦涩难懂的，而应当是通过积极的智力参与，从变化数学知识的形式、内容出发，在“玩”中学习数学、理解数学、研究数学、做数学、发现数学。
其实，许多数学知识正是在数学家们“玩”的过程中产生的。例如，1847年，英国数学家G.Boole为了研究思维规律，“凭空”引入了今日被称为布尔代数的一些基本定义。大约一百年后美国电气工程师C.E.Shannon把它用于开关电路上，使布尔代数与开关电路密切联系起来。再如，俄国数学家罗巴切夫斯基为证“第五公设不可证”，首先用第五公设的相反命题代替它，和其他公设构成一个新的公理系统，从而创立了非欧几何。非欧几何创立后的几十年间，被人不理解、讥笑，甚至反对。但后来却成为几何学的支柱之一。又如，上世界40年代，陈省身教授提出了“纤维丛”理论。后来，这一理论正是杨振宁与米尔斯在上世纪50年代提出的规范场理论的数学基础。杨振宁说，当时他感到非常震惊，而且大惑不解，觉得数学家竟然可以凭空想出这些概念。
所以，在教学过程中，我们应当让学生在体味“数学是玩出来的”同时，让学生感到“数学好玩”。“数学是玩出来的”中的“玩”，不仅有“变式、变换、类比、猜想、探索、推广、应用”的含义，而且要环环相扣，使数学学习变成一系列的“智力游戏”。我们必须让学生知道数学究竟搞的是什么；我们必须注意数学家所用的工作方式，并围绕它，而不是围绕着数学家工作的结果来组织教学。数学家和数学教育学家们一致认为：其实数学并不枯燥，是我们把它教枯燥了。数学教育工作者理应将数学的乐趣还给同学们。如，
(5)令③式中的a为常数，此时(a+b)与(a-b)的和为常数，则由③知，当b的绝绝值变小时，(a+b) (a-b)变大；当b=0时，(a+b)(a-b)取得最大值。
这样，像3×47,17×33,18×32,21×29,23× 27,24×26,25×25谁最大一目了然，并且可以按从小到大的顺序排列起来。
更重要的是，由此我们得到了数学中的最值定理：如果x+y=p（定值），则当且仅当x=y时， xy取最大值。
在“玩”中学习数学，不仅能使学生弄清数学知识之间的来龙去脉，学会做数学，而且能提高学生对学习数学的兴趣，培养学生的数学能力，发展学生的智力，直至达到“变难学为易学”“变不会学为会学”“变苦学为乐学”“变厌学为爱学”的目标。
所以说，树立数学是“玩”出来的观念很重要，它决定着教师如何设计问题情境，如何揭示数学知识之间的联系，如何通过变式演化对数学的认识，如何让数学活起来。只有树立了“玩”数学的概念，才能让学生感到学习数学就好像是在参加一次次的智力游戏，是在“玩”中学习数学，最终达到数学“好玩”的目标。
2.怎样才能让学生学会解数学题
(1)对“知道”但“想不到”现象的原因分析。
常听学生说：课上也能听懂，就是自己不会解题；也常听一些老师抱怨：这道题都讲过多遍了，可学生还是不会，但一提示就会。这两种现象非常普遍。其实质是学生“知道”但“想不到”。造成这种现象的原因是什么呢？
原因之一：教师解题总胜过学生一筹，而用到的知识和方法又是师生所共知的，这显然不是因为教师聪明，更不是因为学生不聪明，而是在教师的头脑中有一个庞大的、严密的、有序的、立体的、系统的数学知识网络，而且，教师知道或善于先将与本题有关的知识、方法回想出来，并为其所用，而学生的脑海中往往只有一个无序的、零碎的小网络，甚至是一些孤立的知识点而已！当他们需要解决某些数学问题时无法或根本不知道（有意识的）把储存在记忆中的有关知识方法检索出来！但教师一提到某一知识或某一方法，学生又是知道的，所以，学生总是埋怨自己为什么“知道”但“想不到”。
原因之二：有时学生上课也能“想到”，但一到综合练习或考试时，就又“想不到”了！这又是为什么呢？课堂上学生能“想到”往往是有其特定的条件的：解题所需与本节内容有关——要么所用知识为最近所讲，要么所用的方法就是本节的内容，这种很明显的外部提示已使学生有了固定的思维方向，回想、检索、选择有关知识方法的工作就显的没有必要了，再难的问题教会因明显的“暗示”轻易看到解决，从而失去其思维的价值。更有甚者，有的教师还怕学生不按自己的设想去思考，到时下不了台，想方设法堵住学生“出轨”的想法，而到学生自己独立解决问题时，这种特定的情境没有了，问题以外的提示不存在了，于是也就不知道应当去想什么，或根本想不出什么来了，解题思路自然也就无法展开了。本来解题过程就是一个选择知识、选择方法的过程。“选择就是能力。”我们把这最重要的过程跳过去了，那学生怎么学会解题，从而提高能力呢！
原因之三：当前最突出的一点是有关例题教学的模式问题，教师和学生均乐意按“出示例题——分析讲解——模仿练习——巩固练习——熟能生巧”这样一种模式进行例题教学，有些学生甚至乐意“每次作业前，最好都能先讲几道与本次作业相类似的例题”。教师乐意是因为“作业中问题少”；学生乐意是因为“作业容易完成”。应当说这是一种“模仿模式”。当学生尚未具备一定的知识基础、解题方法和学习经验时，“模仿模式”是最有效、最常见的例题教学模式，这种模式按教学方法论观点说，是一种“扶着学生学习”的方法，其显著特征是教师和学生都围绕着“模仿”两字进行教和学。这对新授课及学科初始教学是有用的、可用的、必用的一种“模式”，但对复习课和学科后期教学是不可多用的、常用的一种“模式”。“模仿模式”的最大特点是学生在学习中，完全不需要有创造、有尝试、有探索、有失败，它只需要模仿，从模仿开始学习知识，到模仿运用知识，一切都是从模仿到模仿。
综上所述，课堂教学是让学生“比着葫芦画瓢”，但到考试时“葫芦”没有了，也就画不出“瓢”了。我们不是一概不要“比着葫芦画瓢”（尤其是新授课），关键是还要教给学生“没有葫芦时，怎样画瓢”，“没有葫芦时，怎样把葫芦复制（现）出来”。
(2)建立好的解题教学模式，使学生不仅“知道”而且能“想到”。
首先，坚持解题“五步”：审（弄清题意——搞清已知是什么？未知是什么？波利亚说：“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。”又说：“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。”）、画（尽可能画出一个能体现问题特征的图形、图表）、想（回想、联想、猜想）、实（实施解题）、反（反思）。
其次，解题教学应该按以下程序进行：
出示问题→让学生“想”→罗列师生所想→实施师生所想→评价“所想”。
操作说明：
出示问题：顾名思义，就是将要解决的问题展示给学生。
让学生“想”：就是将要解决的问题展示给学生后，教师不要忙于分析、讲解，而是留出足够的时间，让学生去弄清题意，并告诉学生：试试看，你由“条件”能想到些什么？你由“结论”又能想到些什么？只要是与条件或结论或本题有联系的知识、方法尽可能多的想出来！（经常地从普遍适用的问句与提示开始，经常地启发提问相同、相类似的问句，指示相同、相类似的步骤，以强化同一的心智活动，并形成习惯。习惯的形成就是需要从强制到认同再到自觉这样一个过程的。）
罗列师生所想：在学生充分思考后，鼓励学生充分发表意见，教师耐心听取学生的真实想法，哪怕是一点点苗头，不管正确与否都要适时抓住。随后学生实在没有想到的，教师可以启发学生想出来或直接说出来。最后，罗列出师生所能想到的各种知识、方法和想法。长此以往，相关知识、方法就自然而然地形成了一个知识网络。
实施师生所想：根据师生所想，进行慎重的选择、判断，初步筛选出对解决当前问题有用的知识和方法，然后，进行演算、推理，解决问题。
评价“所想”：比较利弊、成败。
其中，“审、实、反”早有较多论述，这里不在赘述，下面着重谈谈“画”和“想”。
画，就是在弄清题意之后，首先想到要画出一个能体现问题特征的图形或图表，以帮助自己直观思考问题。不仅几何问题需要这种画图意识，对非几何问题这种画图意识更加重要，也更加有效。之所以将“画”放在第二步，一是因为“画”本身就应当作为审题后首先考虑的问题；二是为了让学生养成“数形结合”的良好解题习惯；三是数学家斯蒂恩说过，“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想上就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”“如果画出了能体现问题特征的图形，这个问题就等于解决了一半”。图形信息在启发思维方面有无可替代的直观、形象作用，所以解题时应可能先画一个草图帮助思考。这个草图不一定非常准确，只要符合题设条件，能体现出问题的基本特征即可。解数学题时，审题之后，首先想到画个图或图表应成为习惯。
例如，A,B,C,D,E五位同学一起比赛围棋，到现在为止，A已赛4盘、B赛3盘、C赛2盘、D赛1盘，问E同学赛了几盘？
解析 用5个点分别表示 A,B,C,D,E，比赛双方连一条线段，于是得到图1，由于A已赛4盘，所以A与其余4个点均有线段相连，B已赛3盘，应连有3条线段，但D只赛1盘，不能再连线段，故B只能与A,C,E相连，而这时，C已连2条线，D已连1条线。这样满足题设所有要求，所以E一定是赛过2盘。
再如，甲、乙、丙、丁、戊5位学生取得了某次数学竞赛的前5名，发奖前老师请他们猜一猜各人的名次情况。甲说：“乙得第三名，丙得第五名。”乙说：“戊得第四名，丁得第五名。”丙说：“甲得第一名，戊得第四名。”丁说：“丙得第一名，乙得第二名。”戊说：“甲得第三名，丁得第四名。”而老师说：“每个名次都有人猜对。”问获得第四名的是哪一个同学？
显然，单靠内部表征，这个问题不容易解决。我们先列出表格，然后把每人所说的“事实”依次填入下表中。
表1 5名学生所说的数学竞赛名次名次
甲说
乙说
丙说
丁说
戊说1
丙
丙2
乙3
乙
甲4
戊
戊
丁5
丙
丁
因为每个名次都有人猜对，而由表格看出，只有丁猜乙得第二名，所以乙得第二名，从而甲得第三名，丙得第一名，丁得第五名，戊得第四名。
想，就是在完成“审”“画”这两步这后，告诉学生不要急于解题，首先要看看你由“条件”能想到些什么？你由“结论”又需要知道些什么？只要是与条件或结论或本题有联系的知识、方法尽可能多的想出来！甚至要进行必要的联想和猜想。比如，若题设条件中有直角三角形这一条件，那就要把与直角三角形有关的知识都尽可能的“想”出来：勾股定理、两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于斜边的一半、外（内）切圆的圆心和半径长、面积公式、边角关系式（锐角三角函数）、射影定理（等价于切割线定理）、判定定理……若题目的结论是证明一个四边形是平行四边形，那就要把平行四边形的所有的判定定理（方法）都尽可能的“想”出来：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分、一组对边平行且一组对角相等等。这不仅可以从根本上解决就题论题、为解题而解题的顽疾，而且可以自然而然地、润物细无声地让学生形成合理的知识网络、结构，让学生学会选择知识和方法，学会解题，真正把解题当成一种手段，而达到再现知识、理解知识、熟练方法、训练思维、树立思想的目标。
例如，设a,b,c为△ABC的三条边长，求证：
想法一：想到“三角形的任意两边之和大于第三边”，即a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b。
想法二：想到“三角形的任意两边之差小于第三边”，即a-b＜c,b-c＜a,c-a＜b。（实质上与想法一等价）
想法三：想到“三角形的任意两边之差的绝对值小于第三边”即｜a-b｜＜c,｜b-c｜＜a,｜c-a｜＜b。
想法四：想到正弦定理。
想法五：想到余弦定理。
想法六：想到证明不等式的基本方法——比较法。
想法七：想到向量。
由想法一：想到三式两边平方，并相加，不成功。
由想法二：想到三式两边分别乘以c,a,b，并相加，得证。
由想法三：想到三式两边平方，并相加，得证。
由想法四：得原不等式
以下同由想法五的最后处理方法：
由题设条件可以想到：
，内角和，三边之间的关系，四心（重心、垂心、外心、内心），正弦定理，余弦定理，全等定理，相似定理，面积公式……。
但注意要要求证的结论，可以发现，这些知识大多不易直接应用于证明结论。所以，应该转而从求证出发。由于求证式的左边是线段AD的平方，右边涉及到了△ABC的三条边长的平方，即等式与三角形的边长的平方关系密切的相关。哪些知识能提供边长的平方关系？
想法一：勾股定理。
想法二：余弦定理。
想法三：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的二倍。
综上所述，首先，让学生“想（回想、联想、猜想）”不仅可使学生知道遇到问题“如何想”，而且容易使学生将零散的知识集中起来，联系起来，生成知识块，形成合理的知识网络，而知识以一种网络的方式储存于人的大脑中时，就可以大大提高知识的检索效率和扩大知识的检索范围，从而可达到牵一发而动全身的效果。
其次，让学生“想（回想、联想、猜想）”，便于将解题方法集中归类，不至于使学生见到某些问题只知不会解，而不知为什么不会解。如平面几何中证明两三角形相似的方法，前后共学习了三种，只要遇到证明两三角形相似的问题，教师就让学生去回想证明两三角形相似的方法都有哪些？然后集思广益将三种证明方法都摆出来，大家一起分析针对本题应该选择那种方法，这样不仅使学生将其集中在一起记忆，而且在遇到证是两三角形相似的问题时，既知道如何去寻找证明方法，又能快速有效地在头脑中提取，选择适合本题的证明方法，否则，学生将无所适从，只知不会解，而不知道为什么不会解，让学生有“巧妇难做无米之炊”的感觉。作为教师要给学生“米”，更要教会学生自己找“米”的思考方法。即教师不要只是让学生“拿着钥匙去开锁”，关键是还要教给学生“没有钥匙时，怎样开锁”，“没有钥匙时，怎样把钥匙找（配）出来”。
第三，让学生“想（回想、联想、猜想）”，是教学观念问题。我们不在乎学生想出来了没有，想对了没有，只在乎学生想了没有！
第四，开始学生可能不太能够独立“想”，那么教师就应当精心设计问题，不显山不露水地帮助学生，使他们感觉自己是在独立地“想”。最终达到学生敢想、爱想、会想、善想的目的。
总之，让学生“想（回想、联想、猜想）”，是使学生“会想”的保证，是使学生不再迷信老师，不再对解题感到畏难、神秘，不再对一题多解、甚至巧思妙解感到高不可攀的巧妙手段！是使学生由“知道”但“想不到”到“不仅知道”而且“能想得到”，甚至“想得多”“想得巧”“想得妙”的有效措施。但这里让学生“想（回想、联想、猜想）”的目的绝对不是，至少主要不是为了一题多解，找出优解，这些只是副产品，目的主要是为了让学生形成合理的知识结构，培养良好的迁移能力和广泛的联想能力。
(3)让学生编题。
让学生编题，是指学生在对知识、问题有较深透理解的基础上，自己模仿或创造性地编拟数学题，供全班同学研究和解答。要改变编题是教师和命题专家的专利的错误认识，把此专利下放给学生。这样不仅能极大地调动学生学习的积极性、求知欲和敢于、善于提出问题的能力，而且学生要编题，就要综合各方面的知识进行创造性的思考，从而加深学生对数学知识和方法的理解，提高学生的解题能力。前苏联著名心理学家鲁宾什节依指出：人们解题是一个改编习题的过程。实践也证是，编题实践是学生创新精神和实路能力得以锻炼和表现的最佳措施，是使学生的主观能动性得以充分发挥的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法。让学生编题，是在基础知识学习之后，至于是安排在例题讲解训练之前，还是例题讲解训练之后，这要根据教学内容的难易决定。让学生编题之初，教师不仅要不断揭示教材例习题是如何编制出来的，还要不断展示自己的编题过程、方法和经验，从而使学生学会初步编题，并逐步达到会编题、爱编题、善编题的目标。要想让学生编题，那么教师就要注意暴露知识的形成过程，触及知识的实质，挖掘知识之间的联系，在加深学生对知识的理解上下功夫。学生就会开动脑筋，加强合作，主动地理解知识，寻找知识之间的联系，创造性地发挥自己的聪明才智。感悟数学，不仅是学习、生活的需要，即“有用”，而且学数学就像是在做智力游戏，即“好玩”。通过让学生编题，不仅能使学生加深对知识的理解、掌握和运用，提高学生的解题能力，而且能极大地丰富我们的课堂，使教学相长不再是一句空话。让学生在编题中学会解题，这是一种教学策略。
例如，若能突出因式分解和多项式乘法互为逆运算，则学生可以自己编出很多很多因式分解问题。编题时，学生不仅花样多，而且兴趣浓。另外，分解因式实质上就是找“零点”。因此，分解因式：
，学生会发现a=b是零点，据此猜测 
。解题成功。
三、学会数学解题的四大法宝
1.对称思想
数学中处处充满了对称：式子的对称，图形的对称等等。所谓对称美不外乎是整体各部分之间的对称与相适应，是局部与局部的对称。不但几何图形有对称性，而且数量关系和推理过程也有对称性。对称或轮换对称在证题中显示出“一题多证”的优越性。中心对称可以通过旋转180°找出其思维途径，它在数量关系上可以用奇函数来刻画；轴对称图形可通过翻折180°同样找到证题途径，它又可以用偶函数来说明。毕达哥拉斯说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”它们是既可旋转的中心对称图形，又是可翻折的轴对称图形。教学中如果充分利用对称的思想，利用哲学的观点观察问题，则往往能事半功倍。
例如，已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且
，则三角形ABC的形状是______。
分析 （对称思想），由于条件式中，a,b,c的地位完全相同，且a=b=c时，条件式成立，故可猜想a=b=c。又由于条件式是一个二次式且仅此一式，故猜测：条件式
（※）。将（※）式展开、化简，恰为条件式，故填等边三角形。
以上解答说明，用对称思想虽然不能直接得到问题的解答，但由对称思想得出的猜想（结论）就是下面探索的明确目标，为此我们至少可以采用分析法或因果变形法解决问题，从而不走弯路或少走弯路。
再如，在三角形ABC中，已知AB=AC，求证：∠B=∠C。（如图5）
分析 △ABC又可看成是△ACB（对称思想、哲学观点），则因为AB=AC,AC=AB,∠A=∠A，所以△ABC≌△ACB。所以∠B=∠C。
2.基本量思想
所谓基本量思想，就是若干个能唯一确定某个（类）数学问题的量称为该问题的一组“基本量”。多一个没必要，少一个也不行。
在解题时它的意义主要在于使解题者能意识到题目所给条件是否能足以保证问题是确定的。即可判断题目是否有唯一解，还是有多解，题目可解（确定），还是不可解（不确定）。更重要的在于解题者把握了问题。
例如，三角形有三组基本量，分别是：三条边（三个角则不是）；两边及其夹角；两角及其夹边。现以两边及其夹角为例，如果已知三角形的两边及其夹角，则三角形唯一确定。因此，第三条边唯一确定（可求），这自然引出了著名的余弦定理。如图6，在△ABC中，已知AB=c,AC=b,∠A，求a。
分析 要建立边和角的联系，到现在只有直角三角形，为此构造直角三角形，过点C作CD⊥ AB，垂足为D，则在Rt△ADC中，CD=bsin A,AD =bcos A，则DB=｜c-bcos A｜，（当然，也可以分A是锐角、直角、钝角讨论）。（如图7）
注意：得出结论后，还应当让学生做以下工作：
(1)用文字语言表述上述结论（将符号语言转化成文字语言）；
(2)余弦定理还有哪些变式？（比如：
……）
(3)余弦定理和勾股定理之间是什么关系？ （一般与特殊的关系）
(4)余弦定理的功能（作用）是什么？（已知三角形的两边及其夹角，可以求第三边；已知三角形的三边，可以求三个内角）
3.分析综合法
在茫茫的数学题海中，证明题是一类常见题。为了找到证明思路，依据推理的序列的方向不同，思考方法分为分析法和综合法。而实际证明中却常常联合运用分析法和综合法，找出沟通条件与结论之间的桥梁。如果要证明的命题是“若A，则 B”，那么用分析综合法解（证）题的思维方式为：
需要说明的是，分析综合法不仅适用于证明题，它对求解题同样有效。它是告诉人们在解（证）题时，不仅要注意利用条件，而且要时刻盯住解题目标，既要充分利用条件，又要充分利用结论。也就是，既要看由条件能推出些什么？又要看要得到结论还需要些什么？即，既要由“已知”想“可知”，又要由“未知”想“需知”。通过“可知”与“需知”的沟通，将问题解决。
分析 由基本量思想知，因为本题只有一个方程，所以要想通过条件求出a,b两个未知量的值，进而求出
的值一般是不可能的，而且按照经济学的观点，也是不经济的。
解法一 根据本题的条件和结论，由分析综合法知，只需将a+b和a-b用同类项表示出来，即可获解。
问题得证。
上述解法的特点是，既充分利用条件，又充分利用结论。需要什么，就求什么。只有这样才能方向明确，不会偏航，才能使解题过程既简又捷。
4.看题能力
对同一事物，不同的人有不同的看法，原因就是看问题的角度不同，所以看到的、想到的、发现的也不同。这正如“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”所描述的。面对同一个数学问题，当我们从不同的角度去看它时，会得出不同的看法，因而也就会产生不同的解法。看问题的角度越多，看法就越多，产生的解法就越多，看题能力就越强。其实，用函数思想或数形结合思想解题就是看题能力在解题中的具体表现。例如：(1)求函数
的值域。如果你把它看成是一个三角函数问题，那么，一是可以转化为sin(x+φ)=f(y)，进而由因为｜sin(x+φ)｜≤1，可以求得y的取值范围；二是利用万能公式将其转化为关于
的一元二次方程，进而利用Δ≥0，可以求得y的取值范围；如果你把y看成是过点M(sin x,cos x)和点A(2,-3)的直线的斜率，进一步可看成是圆
上的点M与点A的连线的斜率，即可利用数形结合快速获解。
现在，我们试着给看题能力下个定义：一般地说，面对一个数学对象，能看到或想到的能力，即把它看成是什么和能否看成是什么的能力，我们称之为看题能力。
面对一个数学对象，看出来的东西越多，即赋予的意义（或解释）越多，看题能力就越强。
看题能力体现在解题中，就是面对一个数学对象，赋予其具体的数学意义，从而采取相应的措施，并能顺利解决问题的能力。这一过程（或能力）可以发生在审题（即解题的初始）时，也可以发生在解题的过程中。由于经历、认识水平的不同，赋予的具体数学意义不同，解题的难易、繁简就有差别，表现出的看题能力的强弱也就不同。一般地，对基础知识的理解越深刻，解题经验越丰富，看题能力就越强，反之，则弱；善于多角度看问题的人，看题能力强，反之则弱。所以“看题能力”的强弱是数学素养高低的标志之一。
由于个人知识经验背景及潜能的差异，学生会形成各具特色的具有个性特征的知识结构，因而，对同一数学问题出现不同的心理表征、产生不同的想法、看法——“看题能力”，实属正常现象。
所以，训练学生善于从更多的角度看问题是提高看题能力的有效措施，也是激发学生灵感、使学生产生顿悟的基础。丰富的数学看题能力储备和整体把握问题的习惯是巧思妙解的助产士。
由①，②两式知，bc=16，且b=c,a=6。
故△ABC为等腰三角形。
马登(Marton)的现象图式学认为，学习是“一种个体与世界的内在关系”。学校的教学目的是为学生如何面对不断复杂化的未来社会作准备。这样，学习的最重要形式是使学生能够以不同的方式去看待某个学习对象。马登进一步指出，学习意味着发现一种看待事物（对象）的方式，而这种方式的建立是基于对学习对象关键特点的分辨及对这些特点的同时聚焦。这样，马登的现象图式学为扎根于经验的看题能力提供了理论依据。另一方面是同中观异。恩格斯说：“从不同观点观察同一对象……已成为马克思的习惯。”法国雕塑家罗丹说：“所谓大师就是这样的人，他们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来。”所以，必须训练自己的观察力和对事物的敏感度，否则你只能停留在常人水平上。同中观异似乎更难。也就是说，教学中适当的进行看题能力的培养对数学学习来说是必要的。
数学解题研究由来已久，昌盛不衰，并且已经上升到理论研究，但愿本文能为数学解题研究添一块砖，加一片瓦，哪怕能起一点点作用，我们也会感到非常欣慰。