Weibull分布下基于MCMC的贝叶斯恒加试验数据评估，本文主要内容关键词为：数据论文,Weibull论文,MCMC论文,贝叶斯恒加论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212 文献标识码：A
引言
近年来，为了适应小子样的情况以及充分利用已有的验前信息，特别是有效处理试验的截尾数据，贝叶斯生存分析方法被广泛应用于加速寿命试验进行可靠性参数的估计。随着计算机技术的发展和贝叶斯方法的改进，特别是马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法以及BUGS软件的应用，原先异常复杂的数值计算问题迎刃而解，参数后验分布的模拟也更为方便，现代贝叶斯生存分析理论及其应用日趋成熟。本文以恒加环境试验为例，首先基于贝叶斯生存分析理论，给出数据截尾情形下Weibull恒加试验模型的似然函数；接着，在参数的有信息先验假设条件下，给出模型基于Gibbs抽样的机理；然后，利用 BUGS软件包进行实例分析，给出随机截尾条件下求解Weibull恒加寿命模型参数的贝叶斯估计的过程；最后，通过实例分析中将两种假设条件下的MCMC结果与传统BLUE结果进行对比，得出BLUE的计算结果近似等于将产品截尾数据当作失效数据时MCMC的处理结果的结论。
一、Weibull分布下恒加试验的贝叶斯模型
（一）Weibull恒加试验模型
二、基于MCMC的贝叶斯分析
（一）基于Gibbs抽样的MCMC模拟
MCMC模拟本质上是使用马尔可夫链的蒙特卡罗积分，基本思想是：建立马尔可夫链对未知变量进行抽样模拟，当链达到稳态分布时即得所求的后验分布。基于贝叶斯推断原理的MCMC方法主要用于产生后验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布的矩。不同的抽样方法导致了不同的MCMC方法， Gibbs抽样是其中最简单也是应用最广泛的一种。
（二）先验设置与后验分布的抽样模拟
综上，即可完成对所建模型的贝叶斯分析。
表1 四种温度水平下的恒加试验数据
三、实例分析
（一）数据
文献[6]中给出了某产品恒加寿命试验的失效数据（见表1），原文采用定时恒加数据评估的 BLUE方法对其进行分析；然而，实际上对该四种温度水平下(358K、398K、423K、448K)试验的截尾时间并不是某个固定值（截尾时间分别为 19300小时、1097小时、245小时、90小时），该试验实质上是种随机截尾试验；此外，原文中没有给出被截尾的产品寿命（例如：在358K水平下的产品有16个在19300小时处被截尾，此时仅知道该水平下参加试验的产品中有16个产品的寿命超过19300小时），传统BLUE方法缺乏对这些截尾数据的有效处理，无疑是对某些有用信息的损失，并极可能增大估计结果的误差。
已知该产品的寿命服从如上所述的二参数 Weibull分布W（γ，α），为了考察该产品在四种温度水平中寿命的差异（即伴随交量“温度”对产品寿命的影响），取样本容量，分别将其暴露于四种温度水平中进行恒加试验（每种水平下各取25个产品试验）。在观察周期内记录个体失效的时间
；将观测结束时发生失效的时间视为有效数据，尚未失效的产品寿命是被随机截尾的，只知其寿命值不低于对其观测的时间
（表中以*标出的数据即是）；随机变量温度x的指示变量用m来表示，即m= 1，2，3，4分别代表四种试验温度水平。综上得到随机截尾的一元（这里仅有“温度”为伴随变量） Weibull恒加试验模型
。
（二）结果分析
截取前1000次迭代结果，从第1001次开始进行10000次迭代，BUGS输出结果见表2。
根据表2结果，并将其与文献[6]中得出的BLUE结果作比较，如表3所示。很明显，MCMC算法结果与BLUE结果不同，特别是Weibull分布的形状参数有着显著的差异（MCMC结果给出的α＜1）。
为了对这种显著差异进行更进一步的研究，我们假设被截尾的试验数据为产品的失效数据（即假设在19930、1097、245、90小时后被截尾的产品寿命分别就是19930、1097、245、90小时），按照上述模型重新利用Gibbs抽样进行MCMC计算，结果如表4所示。
表3 MCMC与BLUE结果比较（考虑勤民后数据）
方法形状参数α
MCMC 0.8915
BLUE
1.21
表4 10000次抽样迭代的参数后验估计统计量（不考虑截尾后数据）
同样地，根据表4得到该产品在四种温度水平下的一元恒加模型，并将其与文献[6]中得出的 BLUE结果作比较，如表5所示。
表5 MCMC与BLUE结果比较（不考虑截尾后数据）
方法形状参数α
MCMC 1.195
BLUE
1.21
根据表5可以看出，当把截尾试验数据当作产品的失效数据利用MCMC进行求解时的结果与 BLUE的计算结果及其接近（或者说，BLUE的计算结果近似等于将产品截尾数据当作失效数据时MCMC的处理结果）。然而，根据生存分析的有关理论知，假设截尾数据为失效数据显然没有考虑截尾数据为非失效数据更具有说服力（毕竟这些产品在19930、1097、245、90小时后不一定马上失效）。因此，我们更倾向于相信表3中MCMC结果的有效性；同时，这也进一步揭示出BLUE估计的不足。
四、结束语
Wdbull模型在加速失效模型族中的应用十分广泛，贝叶斯生存分析方法的应用，提高了该模型的有效性。以往的研究由于不能很好地解决高维数值积分问题，从而制约了该理论在实际中的应用。本文利用基于Gibbs抽样的MCMC模拟方法与BUGS软件的应用解决了该模型中高维数值计算的不便，提高了计算的精度，且该方法下的样本容量不受限制，有利于该模型在可靠性分析理论中的推广。本文仿真实例中的一元Weibd恒加模型可以推广到多元的情况中去，不难看出，该模型在可靠性分析领域中的应用前景比单一的Weibull加速失效模型更为广泛。通过实例分析中将两种假设条件下的MCMC结果与传统 BLUE结果进行对比，得出BLUE的计算结果近似等于将产品截尾数据当作失效数据时MCMC的处理结果的结论，这一点是值得更进一步思考的。
需要指出模型中尚有以下几方面有待于我们作进一步的研究；(1)在实例分析中，我们给定的先验分布的参数值具有普遍性，实际中还应具体情况具体分析；(2)该恒加试验模型是在通常的三大理论基础（即失效机理不变、分布同族性／相关性、累积损伤性模型的假设）上所构建，由于实际中上述假设条件为理想状况，因此模型还有进一步改善的空间。