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一、基本情况 初中数学的代数部分以数、式的运算和几种基本初等函数的学习为主要内容，根据知识的难度和学习时对学生的理解运用能力的要求将内容分布在七、八、九3个年级，循序渐进、螺旋上升.八年级的反比例函数是苏科版八年级下的教学内容，是在七年级初步学习了函数概念和一次函数的图象和性质之后，学生第二次接触的函数. 设计思路反比例函数的图象——双曲线是分布在不同象限的两支曲线，对x，y的取值范围都有一定限制，同时在连续性、增减性、对称性和渐近特点上远比一次函数复杂.所以学生即使有一次函数学习的经验，在初学反比例函数时仍然感到顾此失彼，难以把握.教学时，教师一般都会紧紧抓住
（k为常数且k≠0）中x，y乘积始终为k这一特点来进行代数和几何两方面的应用.可是，双曲线中除了这一“不变性”以外，还有没有更多的不变关系呢？纷繁复杂的题目之后，到底由谁在把控全局？带着这样一种探秘真相的目的，笔者设计了一节探究课——探究反比例函数图象的不变性. 教学目标 （1）进一步理解反比例函数中xy=k带来的矩形与三角形面积不变性；（2）探究双曲线带来的一组平行关系不变性；（3）探究双曲线带来的一组线段相等不变性. 教学重点 涉及运动问题时平行关系的证明. 教学难点 用代数方法解决几何问题，解析法在初中的雏形. 二、教学过程简录 师：同学们，请问什么样的函数是反比例函数？ 生1：形如
（k为常数且k≠0）的函数叫做反比例函数. 师：
反映了x与y之间的关系，这个关系还可以写成—— 生2：xy=k. 师：即无论x，y如何变化，始终满足它们的乘积是一个常数.回忆一下，在前面的几何学习中，有没有什么模型是用两个量的乘积来刻画的？ 生3：面积，矩形面积、三角形面积. （和学生一起看几何画板，现场操作） 师：点P（x，y）是双曲线
上的一个动点，过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，四边形PMON是什么图形？面积为多少？ 生4：矩形，面积为100. 师：100是怎么得到的？ 生4：矩形的面积S=PM·PN=｜x｜｜y｜=｜k｜，这里等于100. 评析看似不经意间，学生已经被带入了第一个探究环节.反比例函数的代数特征用几何图形解释后，带来更多的实用价值. 师：双曲线中除了刚刚研究的矩形、直角三角形面积不变，还有没有其他的不变关系或不变量呢？ 已知反比例函数
，过平面上任意一点P（x，y）作PM⊥y轴，PN⊥x轴，分别与双曲线在第一象限的一支相交于点G和点H.猜测直线GH与直线MN有怎样特殊的位置关系，你能证明吗？ 教师拖动点P在平面上运动（图1），直线GH的位置也在不停变化.学生不由自主地用手在空中画线，想象MN与GH的关系.等大部分学生猜测出MN与GH平行后，教师才作出直线MN.
评析 会画艺术中讲究留白，数学课堂中我们不妨恰到好处地留一些空白，让学生去“脑补”，这对于培养学生的空间想象能力与归纳猜想的能力都是大有好处的. 学生对GH与MN平行的证明一筹莫展，教师适时抛出橄榄枝. 师：第一个探究环节中，我们抓住抛物线上的点与原点还有向x轴或y轴作垂线的垂足三点围成的直角三角形面积恒为
.那么图2中△MNG与△MNH的面积是否相等？
生5：它们的面积相等.因为△MGN与△MGO同底等高，所以它的面积也为
.同理，△MNH的面积也为
，所以它们的面积相等. 师：这两个三角形除了面积相等，还有什么特殊的关系吗？ 生6：它们同底. 师：所以呢？ （课堂到这里进入第一个小高潮，坐着的学生已经无法抑制自己的表达欲望）学生七嘴八舌地说：它们的高相等.一组对边平行且相等，这里就可以证明ABHG是平行四边形了，所以MN//GH. 评析看似没有出路的一个问题，教师采取设立台阶、及时铺垫的做法，吊足了学生的胃口，又引导他们紧扣双曲线的重要特征——面积的不变性，体会绝处逢生的快乐，极大地激发学生的探究欲望. 看学生们热情高涨，个个摩拳擦掌、跃跃欲试，教师干脆来个趁热打铁. 师：判定两条直线平行还有别的方法吗？ 学生齐声答：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补. 师：观察图形，这里用什么角的可能性大？ 众生：同位角. 师：一般用什么证角相等？ 生7：三角形全等或者相似. 师：这里呢？ 生7：没有全等，肯定是相似.已经有一组直角对应相等了. （生7看着课件上的图形思考了一下，教师没有打断，其他的学生也都眉头紧锁地在积极思考.） 生7经过仔细思考，很肯定地说：这里不可能再证另一组角.只能去证直角的两组边分别成比例. 师点头，肯定他的观点，提示他继续. 生7：边长成比例……（迟疑，无从下手） 师（故作神秘）：回到原始条件，所有这些线都是怎么来的？ 生7：最初是有任意一点P（x，y）. 师：点P（x，y），给了坐标的，探究矩形和三角形面积不变时，PM，PN的长度你们用什么来表达的？ 生7：老师，我知道了.已知P点坐标，很容易求出M，N点的坐标，G，H点的坐标也可以求出来，这样我们就可以用x，y表达出四条线段的长度，可以通过计算来判断是否成比例. 师：太棒了，了不得.来，我们一起来板书这道题的解答过程. （学生叙述，教师板书并不断完善整个解题过程.） 评析 MN//GH的两种证明，一种偏向于几何关系，一种偏向于代数运算.初中的几何教学主要还是抓住图形之间的关系和变化.这里的直线平行却又生成于坐标系中的反比例函数图象，本身是在坐标系中解决问题，所以利用一些解析手段自然是水到渠成.初中几何重证明、轻计算，并非完全不要计算.在研究课中带领学生领略一下代数方法解决几何问题的手段，一方面拓宽学生的思路和视野，另一方面为日后高中解析几何的学习打下基础. 教师拖动点P（图3），引导学生观察：你还看到有什么不变吗？
生8：△AMG≌△HNB. 师：怎么证明？ 生8：利用刚刚证到的一组平行，加上AM//HN，所以四边形AMNH为平行四边形，所以AM=HN.同样可以证明MG=NB，由SAS可证△AMG≌△HNB. 教师再次拖动点P：所以线段AG一直等于线段—— 众生抢答：HB. 师：我们今天一共得到几个不变性？ 生9：3个.面积不变、平行关系不变、线段相等不变. 师：现在我直接作一条直线与双曲线在第一象限的一支交于2个点（图4），上述3种不变关系是否还存在？ 有了前面的探究过程，学生很快找到了解决问题的办法，作出了如图5的辅助线.
师：你们还想做什么样的尝试吗？ 生10：我想看看直线AD如果和双曲线交于不同象限的两点时会怎么样. 师（故作惊讶状）：噢！这么大胆的想法.请你到前面来亲自展现奇迹. 生10走到讲台上，拖动直线AD.下面的学生都很激动，期待会是什么样的结果.结果一呈现，大家彻底服了，原来交于不同象限时这些不变性仍然成立. 评析 一节课，上到这里，可以说成功了.学生能够由教师带领着参与探究，到不知不觉教师置身事外，学生主动去探究、去操作，整节课的氛围已经不是在学数学，而是在玩数学.笔者相信学生在很长一段时间内都会对这节课的内容记忆犹新. 三、专家点评 这节课可总结为六个字：“简约而不简单.”为什么这么说呢，这节课没有丰富的情境，没有华丽的课件，甚至没有学案，给人一种简约之美；但本节课的教学内涵却很不简单，思维空间很大. （1）体现对数学知识本质的把握 数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律.这节课自始至终都牢牢把握住了反比例函数的数学本质：在变化过程中的不变性. 这节课首先从数量关系上寻找反比例函数的不变性——两个变量的乘积不变，接着从几何图形上寻找双曲线的不变形——矩形的面积不变，从而引导学生发现从任意点P向坐标轴作垂线，两个垂足所在的直线与垂线和双曲线的两个交点所在直线之间位置关系不变.这三个不变贯穿始终，从数量关系入手，循序渐进，步步为营，使整节课都充满了探究的味道，有利于学生对数学知识本质的把握和数学思想方法的理解. （2）重视对数学思维过程的展示 数学问题的解决最主要的特点就是顺理成章、循理而为，若能深层次地挖掘问题，则有利于透过现象看到本质，从而产生意想不到的感悟.本节课非常重视展示和暴露学生的思维过程，通过对反比例概念的理解和k的几何意义的分析之后，教师就顺理成章给出本节课的“探究活动2”：除面积外是否还有其他的不变的量或某些关系？这个问题提得非常及时、非常到位.学生的探究热情一下子被点燃了，通过猜想、验证发现位置关系和数量关系还有“不变”，进而通过推理论证来证明猜想.在教师循循善诱的引导下，学生的思维过程逐步暴露出来，把教学过程变成了学生自己探索提升的过程，让学生的能力得到了提高. （3）凸显对数学思想方法的提炼 我们知道，初中数学内容的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴藏着思想方法，二者缺一不可.本节课教师在教学过程中非常重视通性通法的总结，探究活动过程中始终引导学生抓住面积不变这条主线，注重数学问题解决过程中的数学思想方法的挖掘、提炼与渗透.让学生在潜移默化中掌握问题解决的方法.本节课打破常规没安排例题教学，但学生通过本节课的学习，已经悄然间把原来的结论内化成了现在的解题方法. 一节好的数学课要“新在理念，巧在设计，成在实践，胜在思想”.本节课通过对反比例函数知识的深度挖掘，实现数与形的双向交互，抓住反比例函数图象的数学本质，让我们品到了浓浓的数学味.
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