希腊化数学和应用数学领域理性精神的发展，本文主要内容关键词为：希腊论文,应用数学论文,理性论文,领域论文,精神论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N02 文献标识码：A 文章编号：1674－7062(2014)04－0033－05 亚历山大里亚的数学学术活动是与应用实践领域紧密结合在一起的，这不仅促进了技术发明创造，更重要的是，这种希腊化特征具有促进应用实践的技术领域中理性意识的成长和理性推测领域中的理论发明向观察-实验视界靠拢的双重意义。这一时期的数学发展冲破了古典时期形而上学玄思的藩篱，呈现出不同于古典时期圣贤哲人的精神特质。希腊化时期数学的发展，呈现为似乎对立的双重特征：一是应用性非常明显，数学与解决天文学、力学－机械学等应用领域的理论描述问题直接关联；二是自身理论趋于系统化，特别是几何学。这种理论性与实用性并举的特性，与希腊古典时期的数学与形而上哲学相联结、与古埃及和古巴比伦的数学与形而下的土地测量和商业计算相衔接的特征，存在根本区别。 一、欧几里得《几何原本》的理性贡献 在欧几里得那里，希腊人几何学的逻辑才智达到顶峰。他的《几何原本》是以往时代最有影响的书籍之一。欧几里得《几何原本》的实质性贡献，除研究对象范围的扩大，产生了新的证明并且提升了解决具体问题的技术之外，它的第一位的重要性在于第一卷中所例证的公理方法。从定义、公设和“共同观念”或者公理开始，欧几里得举例说明了这些对于演绎出定理的重要性。事实上，他对定义、公设和“共同观念”(亚里士多德语)或者公理的选择和简洁表达，永久地确立了几何学乃至整个数学的演绎的和公理的方法。他的“第五公设”尤为重要；正是通过对这个公设的研究和修改，高斯、罗巴切夫斯基、波利安和黎曼的非欧几何才发展出来，进而被爱因斯坦在广义相对论中用来描述空间－时间的几何结构。[1]374 对于职业数学家和理论科学家，《几何原本》总是有着难以逃避的魅力，它的逻辑结构可能比世界上任何其他文本都更多地影响了科学思维。例如对牛顿和爱因斯坦这两位伟大科学家的影响。牛顿模仿《几何原本》书写《关于自然哲学的数学原理》，爱因斯坦则在他的“自述”里印证了欧几里得几何学在他还是个12岁男孩时对他所起的作用：“这里是一些断言……虽不是显然的，但却能够给出这样的确定性证明，以至于任何怀疑都显得不可能。这种明晰和确定给我留下无法描述的印象。”[1]373 现代人对于《几何原本》价值的看法已经一致：这部著作的伟大力量并不在于其内容创意，而在于将已知的东西重新安排和重新结合为严格的在逻辑上严密的说明。欧几里得展示出一套公理，从这些公理，每个个别命题都能够通过直接推理而演绎出来。这种阶梯式方法的证明很有说服力，以至于成为之后几个世纪数学和科学证明的标准。[2]但是这种几何学也具有希腊文化典型的局限性：欧几里得方法纯粹是演绎的，没有任何可以验证基本假设的方法。这些假设被他认为是毫无问题的，但是到了19世纪，非欧几何学便指明它们有些部分是可错的，并且只凭观察才能决定它们是不是错误。[3]尽管如此，《几何原本》思想体系对于从希腊古典时期的数学理性向近代科学理性的范式转换起到中枢作用。而且，如克莱因所说：“欧几里得几何学的重要性，远远超出作为逻辑实践和推理模式本身的价值。以前，数学只不过是推动其他领域进步的工具，随着几何学美妙结构和精美推理的发展，数学变成一门艺术。希腊人就是这样欣赏数学的。算术、几何、天文学对他们来说，就是音乐之于精神、思维之于艺术。”[4]66－72 二、希腊化时期理论数学的发展 欧几里得之后，活跃于公元前210年左右的佩加的阿波罗尼乌斯为亚历山大里亚的数学进步做出了显著贡献。他把欧几里得及前人关于圆锥剖面的知识搜集起来，并发展了这门学科。他将所有圆锥曲线都看作是一个圆锥剖面，因而发明了圆锥曲线，创设了抛物线、椭圆、双曲线等名称。他将双曲线的两面看作一条曲线，这样就说明了三种剖面的相似之处。他利用锥线法来解普通的二次方程式，并且测定了任何圆锥曲线的渐曲线。阿波罗尼乌斯颇有希腊古典遗风，他是纯粹从几何学角度来讨论这个学科的。[5]48希腊几何学随着欧几里得和阿波罗尼乌斯的出色工作而到达巅峰。 公元前2世纪，亚历山大里亚已经失去在希腊化世界数学领域的学术垄断地位，而与罗马和帕加马共享荣誉。[5]48而且那种纯粹从事理论数学研究的数学家似乎在希腊化世界也不复存在了。理论数学与应用数学并举的数学家，甚至与科学发明兼顾的学者，成为希腊化世界数学领域的主流。 这个世纪亚历山大里亚突出的数学成就首推球面三角的发明。他们在这方面最简明的贡献，是给出特殊几何图形的面积、体积的计算公式。这种测量方法的核心是三角函数理论，这项发明是由西帕克斯做出的。 西帕克斯是一位出色的天文学家和数学家。在他之前，自欧多克斯发明同心球模型用以“拯救”天文现象以来，通过球的组合再现行星运动成为希腊古典时期数理天文学的基本方法。对于天文现象的解释和预言，这种方法存在两个严重缺陷。一是星相学家无法准确描述和预测行星的位置变化；二是不能解释行星亮度为什么变化。西帕克斯通过发明三角函数，进而创立球面三角术的应用数学路径，解决了欧多克斯同心球模型的第一个缺陷。他还采取抛弃同心球模型而创立本轮-均轮体系的解决路线解决了欧多克斯同心球模型的第二个缺陷。这种模型后来以托勒密体系著称。[6]93 希帕克斯创立的球面三角术这一数学工具，使希腊天文学由定性的几何模型转换成定量的数学描述；而本轮－均论双球模型使天文观测数据在很大程度上得到系统化的理论解释，或者说实现了观测数据与宇宙模型的有效对接。三角函数的发明和三角函数表的给出，还带动山脉高度以及地球和其他天体半径的测量和推算。希帕克斯为了测量地球、天体而创立的数学分支，从他那个时代以来一直被用来处理大量的实际问题。测量员、航海家和地图绘制者经常应用这些知识。正是利用希帕克斯的发明，亚历山大里亚的希腊人使基于大地测量的地图绘制成为一门科学。他们的地图为后来十五六世纪伟大探险时代提供了最好的关于地球的知识。 亚历山大里亚数学家具有历史意义的另一项数学贡献是丢番图做出的，他创立了代数学这门划时代的数学学科。在希腊古典时期，数学几乎等同于几何学，因为希腊早期数学家几乎都在几何学领域工作；直到希腊化时代晚期，才出现了丢番图这位伟大的代数学家。丢番图的《数论》自然也就成为代数学作为一门数学独立学科诞生的标志。[6]97－98 丢番图的工作以及亚历山大里亚时期其他数学家在算术和代数方面的工作，大都与希腊古典时期数学家几何学倾向的研究风格迥然不同；这一时期的数学家十分注意与解决具体应用问题的衔接，而古典时期的数学家往往注重演绎结构和推理规则。希腊化数学家群体的兴起，在很大程度上反映了东方数学对希腊化科学的渗透。[6]98 三、希腊化时期应用数学领域的理性精神 希腊天文学范式的转换是从希腊古典时期晚期开启的。希腊化时期应用数学领域理性精神的发展主要体现于天文学、力学和光学领域。前者开启了希腊天文学的范式转换，后者则开启了自然科学研究的数理化进程。 (一)欧多克斯以数理理性“拯救现象”：“双球模型”的古典前奏 柏拉图向他学园的师生们提出这样的问题：设计一套数学系统，既适合于行星有系统的运动，同时也能解释所观察到的不规则运动。他要他们从“整理外观”人手来描述所面临的问题。[4]78学园的欧多克斯给出了历史上第一个重要的天文学理论，而且这是在自然界理性化的过程中迈出的决定性一步。这种决定性转变包括三个方面：(1)从关注恒星到关注行星的转变；(2)创立了一个用于表述恒星和行星现象的几何模型——“双球模型”；(3)创设标准以用于指导那些为了解释行星观测材料的理论。[7]94－95 欧多克斯(或许与柏拉图一起)设计的双球模型，以天球的自转来解释每天所看到的所有天体的视觉升降运动，并且给出以往与历法直接关联的主要星相概念的解释；这是一种理解和谈论行星现象的几何方式。[7]95从此行星这些“流浪者”就有了理性的规则运动。 作为一个理论体系，这个双球模型体系起码在当时对于描述和预测那些表面上看起来踪影不定的天体运动是十分精巧的。这种模型后来被希帕克斯－托勒密拆解发展成本轮－均轮“天球”体系。欧多克斯双球模型在科学发展史上有其独特的重要性。克莱因指出：“这个体系建立了自然界的数学秩序，与此同时这个体系还证明了人类思维建立这种秩序的能力。值得注意的还有一点，就是欧多克斯认为他的体系是纯数学性的。他对那些球体没有附加任何物理意义。它们是虚构的，而整个体系则仅仅是对于观察到的运动的一种理论解释。”[4]80完全可以说，这是希腊古典时期宇宙－天文学发展的巅峰。公元前5世纪“拯救现象”的成功，真正启动了天文学领域中数学理性构想与观测数据相结合的数理天文学的发展。也正如人们看到的，这种路向在希腊化时期得到深入发展，以至于影响和启发了从哥白尼天文学到伽利略天文学的基本构想。 (二)希腊化时期“双球模型”发展的两个方向 希腊化时期对于欧多克斯双球模型的发展，主要沿着两个方向。一是对这个模型做出实质性改变，这是由阿里斯塔库斯指引的，他将欧多克斯以地球为中心的模型，革命性地改变成以太阳为中心的模型。另一个方向是对这个模型做出了持久的精细化改造，其中间根本环节是由希帕克斯做出的，就是将欧多克斯仅以天球的运动来解释星星的位移，改造成以本轮－均轮的混合运动来解释。这两个发展方向的共同目的都是为了更好地解释天文现象，或者说都是为了使理论模型与观测到的天文现象更加一致，都在追求某种具有统一性的解释模型；不过，前者侧重于符合视觉直观的解释性的日常经验定位，而后者侧重于理想化的简单性的数理理性定位。 阿里斯塔库斯与阿基米德是同时代人。在流传下来的《太阳和月球的大小与距离》一书中，他把一些几何学原理非常巧妙地运用到天体大小比较和距离测算上。这种方式证明了数学对经验探究的价值：给出特定数量和特定未知数，数学为通过前者确定后者提供了计算方法。正如萨顿所说，“测量”那些天体的事实本身，在他的时代是使人震惊的。阿基米德和后来的一些研究者，诸如希帕克斯、托勒密和其他不太著名的天文学家，都尝试在他计算的基础上进行改进。[1]380－381今天的科学家相信，如果阿里斯塔库斯有机会利用现代仪器工作，他会做出更加接近正确的答案。[1]20－21 从欧多克斯的双球模型到希帕克斯的本轮-均轮模型，有两个人起到了重要的推动作用，一个是比欧多克斯稍晚的库奇库斯的卡利普斯，一个是亚里士多德。此前，欧多克斯或者其他人为了解释火星非常异常的“逆运动”等不规则运动添加了第三个同心球。卡利普斯对欧多克斯双球模型做的改进，是给太阳和月球添加第四个同心球，并给水星、金星和火星添加第五个同心球。[7]97亚里士多德在此基础上进一步大量增加同心球数量，试图进一步提升同心球模型对于天体运动的解释力。 作为最伟大的希腊天文学家，希帕克斯保留了亚里士多德的观点，并认为地球而不是太阳是宇宙的中心。他试图解释与亚里士多德认为的天体围绕地球做完美圆周运动的信念不一致的现象。他设想天体不是围绕地球的中心运动，从而创制了他的本轮-均轮模型。这个理论模型被两个世纪之后的托勒密所接受，长期禁锢了西方的天文学思想，一直到1543年被哥白尼推翻。[8]21－22 正是西帕克斯创制的与他数学工作紧密关联的本轮－均轮宇宙模型，以及他在天文学领域的诸多发现和发明，使他成为仅次于托勒密的古代天文学家。但是，他与阿里斯塔库斯以及埃拉托色尼、赫拉克利德相比，虽然不缺乏数学理性精神，但由于囿于解释日常视觉经验牢笼而显得缺乏批判精神，或许在追求统一性方面还缺乏诉诸简单性的勇气。斯朗格尔推测说，可能正是因为希帕克斯高度的经验主义倾向性，促成他拒绝阿里斯塔库斯的革命性假说。[1]379 (三)托勒密：古希腊天文学的集大成者 希腊古代天文学家的种种成就，在后来者托勒密的光环下黯然失色。托勒密的主要著作《天文学大全》是一部天文学百科全书。此著作带有浓厚的数学色彩，其数理运算模型将当时已经观察和观测到的大多数天文现象都考虑进去了。它弥补和校正了以往学说存在的许多问题，提供了有用的解释机制，使天文学家和占星家都可以依据它开展工作。[8]23这部著作在哥白尼和开普勒时代之前一直是天文学范本。 尽管托勒密的模型被后世否弃，但是他以及他的前辈的一些科学精神因素还是值得肯定的，诸如“拯救现象”的求知精神、模型或理论建构的数理化路径、对简单性解释模型的追求、对于观测-经验的重视等等。 亚里士多德和托勒密的宇宙-天文学观念之所以能长期统治西方世界，主要是因为亚里士多德以其缜密的推理体系为古代和中世纪西方人满意地解释了一切自然之谜，提供了大量基于简单观察的、可被认为是好的常识性解释。而亚里士多德的目的论又满足了人们的心理需要。完美和有秩序的天空提供了一种日常凡俗世界不完美之上的和谐美。[8]23 托勒密不但是古代伟大的天文学家，而且还是一位出色的地理学家。他在地理学方面的影响直到十五六世纪有了许多海上发现之后才渐渐消除。托勒密认为，在测量和绘制地图时，必须先对经纬度进行正确观测，这样才能取得圆满成果。[5]49这个认识非常重要。因为在地理学领域，历史上至今也没有出现像天文学领域那样，纯粹依靠数学(也是美学的和伦理的)诉求就能够建起一个对宏观地理学现象具有较好解释力的理想化理论模型。或者说，理想化数学模型的建立，要依靠大量观测和实验的支撑，模型假说才有建立的可能。[4]72 无论后人怎样评价托勒密，他的作用都是十分明确的：他是希腊数理天文学的系统保有者，他对于由柏拉图发起的以数学原理“拯救现象”的传统在西方世界的继承和发展起到无可替代的中继环节作用。作为中世纪遵从的古代权威，他的“数学化”范式在很大程度上决定了中世纪中晚期“数学家”——从事天文研究的星象学家和天文学家——自觉运用数学原理、构建数学模型来解释天文现象和宇宙总体运动模式的数学理性倾向，这也就决定了哥白尼和伽利略的天文学倾向。林德伯格说：“尽管对宇宙物理学感兴趣，托勒密的天文学工作天平侧重于数学分析。而且正是作为一个宇宙数学家，忠实于用数学手段‘拯救现象’，托勒密影响了整个中世纪和文艺复兴时代。”[7]99－100 (四)作为应用数学的光学和力学领域的数理理性 希腊古代(数理)光学的开拓者是早于托勒密500年左右的欧几里得。这位伟大的几何学家除了我们在前面已经简略介绍过的几何学贡献，可以说他具体导引了古代光学的发展路线。在他的《光学》一书中，欧几里得以公理化演绎的方式讨论光学问题，形成视觉透视理论。对于人如何能“看得见”的问题，他认为是因为人的眼睛能够发射出许多射线；这许多的射线成锥形，眼睛处于它所发射出的锥形射线群的顶部，而可见物体则是处于这个锥形射线群的底部。这样他就规定了视锥这种几何实在，并在此基础上构建起几何透视学。他在《光学》中设立了若干公设：被观察到的物体的外观尺寸是相应视锥角的函数；被观察到的物体的位置取决于落在该物体上的射线在视锥中的位置，等等。[7]110他从这些公设推演出大量定理，他正是以这些关于人与物体之间的空间函数关系来解释“看得见”的问题。 托勒密综合了纯数学的欧几里得式的几何光学与亚里士多德式(考虑光实体和光的运动过程)的实在论光学路线，做出如前面简略介绍的成就。托勒密《光学》特别重要的部分是他的反射和折射理论。其中，如果说他的反射理论是以欧几里得和希罗的工作为基础，“他的折射理论则是从零开始”[7]112。可以想象，如果没有掌握一定的可与实证观测相吻合的光学原理，托勒密建构一个能够容纳观察-观测材料的、作为天文现象权威解释统治西方天文学达千年之久的宇宙模型的可能性究竟有多大。当然，在包括光学在内的、托勒密关于宇宙解释的整个理论体系中，数学化理想和几何学运用始终是最为根本的。 在希腊化时期，数学化的理性路线还表现在力学或平衡学方面。这是希腊化时期服从于数学分析的第三个学科。它一方面与应用领域的实际问题紧密结合，另一方面则是更加数学化。林德伯格指出，比起天文学和光学，希腊化时期的力学或平衡学“更完全屈从于数学”；在天文学和光学中，“还可以找到一些数学无法回答的重要物理学问题”，“相比之下，在杠杆平衡学中，物理学几乎可以完全还原为数学”[7]113－114。这种特点明显地展现在阿基米德的伟大成就中，我们在《试论阿基米德的科学精神》一文中已讨论过这个问题。[9] ［收稿日期］2013－10－20标签：数学论文; 托勒密论文; 应用数学论文; 希腊化时期论文; 天文论文; 希腊历史论文; 光学论文; 数学家论文; 欧几里得论文; 欧多克斯论文;