“数学研究纲领方法论”何以可能？——拉卡托斯之后数学哲学研究的新发展，本文主要内容关键词为：方法论论文,数学论文,纲领论文,新发展论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数学研究纲领方法论”是拉卡托斯生前尚未实现的梦想。讨论拉卡托斯的“数学研究纲领方法论”就不能不涉及他的“科学研究纲领方法论。”
众所周知，“科学研究纲领方法论”是拉卡托斯科学哲学的中心思想和最高成就。拉卡托斯以他的精致证伪主义思想为主线，以他在数学哲学研究中“发现的逻辑”方法所提供的框架为轮廓，构建了一个具有内在联系和层次结构的科学理论系统，以期对科学理论的进步作出说明。这就是他的“科学研究纲领方法论”。拉卡托斯的研究纲领，确实在一定程度上“解决了波普尔和库恩所没能解决的问题”，对诸如科学理论的结构、科学理论的评价标准、科学理论的进步以及科学史的理性重建等问题都作出了较为合理的解释。
拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”为他在科学哲学领域赢得了极高的荣誉。然而，如果说拉卡托斯是一个科学哲学家，勿宁说他首先是一个数学哲学家。这不仅是因为他首先提出了拟经验的数学观以及“证明分析法”的数学方法论等对数学哲学发展产生了巨大影响的数学哲学理论，而且是因为他的最终兴趣所在仍然是数学哲学。拉卡托斯在初步提出一系列数学哲学理论之后，他本人并不满意，他认为他的数学哲学理论需要进一步改进和发展。但在实现这一愿望以前，他被要求写一篇关于波普尔哲学的论文，并因此把注意力转向了科学哲学。当拉卡托斯建立起了他的“科学研究纲领方法”之后，比较起来，他的数学哲学就越发显得需要完善和发展。因此，拉卡托斯曾雄心勃勃地打算把他在科学哲学中的新观点应用到他的拟经验的数学哲学中去，建立起“数学研究纲领方法论”，从而系统地完善他的理论。然而就在这时，拉卡托斯却不幸英年早逝（1922—1974，52岁），所幸的是，拉卡托斯在留下他未了的心愿及一堆未及发表的材料的同时，“也留下了（这是他最能引以为自豪的成就）一个在伦敦经济学院和其他地方由一些年轻学者正在实行的兴旺的研究纲领，他们正在从事于发展和批判他的激励人心的思想，并应用这些思想于新的领域。”（注：《现代西方科学哲学文集》，复旦大学哲学系编，第435 —436页。）从某种意义上说， 他们的工作可以看作是拉卡托斯数学哲学研究的一部分，以下就对这些研究工作作以简单地介绍。
一、数学性质问题研究的新发展
由于数学有着很多不同于一般自然科学的特点，因此，数学和一般自然科学向来就被绝大多数人认为是两种性质不同的学科。自然科学是一种经验科学，这是一般人都易于接受的理论；但是数学，关于它的性质究竟是经验的还是先验的这一问题，则一直存在着很大的争论：以穆勒为代表的传统经验主义认为，数学中的大部分命题都是所谓的“经验的一般化”，即是建立在对经验事实的直接归纳之上的。与经验论相反，先验论者则认为数学真理具有与生俱来的先验性，是“先天综合判断”（康德语），数学的认识可以唯一地依赖于直觉或概念的分析而建立，而无需依赖感性经验或实践。拉卡托斯对数学经验论持同情态度，但由于拉卡托斯亦不否认数学有着不同于一般经验科学的特殊性，所以他在这一方向上并没有走得如此之远以至采取彻底的经验论立场。他的观点是：数学是拟经验的。在这样的意义上，拉卡托斯的数学拟经验论的意思是指，对于象公理化集合论那样高层次的数学理论，可以通过检查它们在如数论那样低层次的数学理论中的结论加以检验。这一过程与通过观察对一般的自然科学理论进行检验是相类似的。两者的区别在于：在数学的情况，另一类基本命题取代了观察命题。从而，数学的情况就类似于、但又不同于自然科学的情况，而这也就表明了使用“拟经验”这一名称的合理性。
拟经验的数学观尽管承认数学具有一定的经验性，但这种经验性又不同于传统的经验主义。从而在拉卡托斯看来，数学与一般的自然科学就其认识论基础而言，仍然存在着很大的区别。
正象波普尔的证伪主义哲学仅仅是针对经验自然科学而言一样，拉卡托斯的科研究纲领方法论也是仅对自然科学所作的结论。如它在判断一个的研究纲领是否为进步的纲领的时候，关键就是看新纲领是否比旧纲领能够预见更多的经验事实。那么在数学中，什么是数学的经验事实呢？因此，要想把在经验科学的前提下建立起来的科学研究纲领方法论理论推广应用到数学中去，首先需要解决的问题就是：数学是否也与经验科学一样具有完全经验的性质？或者退一步讲，数学是否存在着与自然科学中“经验事实”相对应的同源物？我们难以想象两门性质不同、基础各异的学科却遵从着与其性质有着密切相关的同一评判标准。为了解决这个问题，继拉卡托斯之后，关于数学性质问题的研究又有了新的发展。
（一）非经验的数学观
现代数学的实际发展表明，数学理论并非绝对的真理。数学理论的可错性已为广大的数学家特别是数学哲学家所普遍认同和接受。因此，形形色色的数学先验论观点愈来愈多的遭到冷落和抛弃。尽管数学等同于经验科学从而具有与经验科学相同的经验性质的观点还远远没有深入人心，但数学绝对的先验性的看法已不再占有太大的市场。比较一致的认为是：数学，就其是否具有经验性质而言，不同于经验科学。因为这种观点又非先验论，所以我们姑且称之为“非经验的数学观”。米歇尔·哈利特（Micael Hallett）就持这种观点。哈利特认为：“数学与自然科学是如此的不同，以致对于‘在数学的一系列理论中是否有一种理论存在着类似于拉卡托斯科学研究纲纲领方法论中所描述的自然科学的基本性质’这一问题的回答只能是否定的。”（注：Michae Hallet:Towards a Theory of Mathematical Research Programmes(Ⅰ).载Britain Journal of Philosophy of Science,30(1979)。）他进而举例说道：“例如，证明在数学中起到了非常重要的作用，但它在物理学中则不然。证明之于数学尤如经验事实之于自然科学，但证明与经验事实却是绝缘同不的。”（注：Michae Hallet:Towards a Theory ofMathematical Research Programmes(Ⅰ).载Britain Journal of Philosophy of Science,30(1979)。）这样，在哈利特看来， 数学与经验科学就是否具有经验性质而言就是绝缘不同的。经验科学具有经验性质，所以数学就是‘非经验’的。另外，大多数正在从事实际数学活动的数学家也持这种看法。
由于这种观点仅仅是强调了数学与经验科学的性质不同，既否定了数学具有先验性，也不同意数学是经验的；但却没能明确地给出自己对数学性质问题的确切见解。因此，严格说来，这种看法就不能算作为一种系统的观点，而只能看成是一种较为模糊的认识。
（二）D.吉利斯（D.Gillies）的彻底的经验论数学观
吉利斯是拉卡斯生前的学生和合作者，后任教于伦敦大学国王学院。吉利斯在读大学时接触到了拉卡托斯的《证明反驳》，并为之所吸引。结果他在1966年的秋季就成了拉卡托斯的博士研究生。
在拉卡斯以后，吉利斯把拉卡托斯的拟经验的数学观逐渐地发展为一种彻底的经验论数学哲学。这种改进了的经验主义观点是：数学知识即是由经验所确证的数学信念。这种经验的确证可以采取多种形式。例如，就象微积分构成了牛顿力学的一个组成部分，一个数学理论可以表现为一个科学理论的一个成分，从而，如果这一科学理论作为一个整体由观察和实验得到了确证，这也就是对理论的数学成分的确证。另外，数学理论也可能在实际中得到应用，如果这种应用是成功的，相应的数学理论也就得到了确证。例如，十进位制的算术法则就由于在现代欧洲早期发展的会计事物中的成功应用得到了确证。由此，“与拟经验论相反，数学理论看来就与一般科学理论一样也是由观察、实验以及在实际中成功应用得到确证的。”（注：D.吉利斯：《发展经验论的数学哲学的一个尝试》，载《数学哲学新论》，郑毓著，江苏教育出版社1990年版，第216页。）
显然，吉利斯的这种彻底的经验论数学观不仅在一定程度上又回到了穆勒那里，而且也是在包括数学在内的更广泛的范围内重新恢复了实证主义的实证原则。因此，吉利斯的经验论的数学观，就复兴的数学经验主义而言，是对拉卡斯拟经验数学哲学的发展；但就拉卡托斯的证伪主义思想而言，它却是对拉卡托斯的一种倒退和背叛。
吉利斯意识到他的这种观点将会招致各种各样的反对意见，为此，他不得不对一些可能的反对意见和质疑作出解答。吉利斯遇到的第一个困难就是对诸如数这样的数学对象的经验性质的解释。一门典型的科学，比喻动物学，它的研究对象（动物）显然是物质的自然世界（我们把人也包括在内）的一个部分；然而，算术的对象（数）却似乎具有影子般的性质，从而很难被看成物质世界的一个部分，那么，算术又怎么可能是与其他科学一样的一门自然科学呢？
对于这一问题，吉利斯首先批判了布劳维尔的数是数学家主观心智构造的这一直觉主义观点，认为数及其他一些数学对象是一种社会的产物，是一种随着人类社会与文明的发展而不断演变的人类构造，而非一种超时空的、永无变化的存在。接着，他通过对数与词的意义的对比及数与钱的对比来对此进行说明。他认为，词的意义和钱都是抽象的东西而并非物理的对象；但是，他们又显然是存在的，并显然是人类的构造。他从维特根斯坦的语言理论出发，认为词的意义是通过符号在规则指导下的社会实践中的用法的建立得到创造的；类似的，钱是通过在经济生活中建立为社会所接受的某些筹码的用法得到创造的。从而类比地得出结论：数是通过算术计算在社会实践中的应用得到创造的，而不是柏拉图世界中超时空的存在。这样，由社会实践所创造的数（及其他数学对象）就在一定程度上反应了自然世界的性质，它们与物质世界的其他对象共同构成了现实的集合，从而算术理论以致整个数学也就部分地反映了自然世界。
如果说简单的、初等的数学现实经验性还较易为人接受的话，那么对于现代纯数学的某些部分而言，比喻康托尔的大于c 的超穷基数理论，这些部分则显然是与任何可以经验地检验的感性经验都有着很大的差距。那么，经验论的数学哲学观也能适合于数学的这些分支吗？这是吉利斯所遇到的第二个困难，它也是数学经验主义一直都面对的一个传统的但又是最尖锐的质疑。
对于这一问题，吉利斯的回答就显然显得有些苍白。他说：“我对这一困难的回答是：关于科学和形而上学的区分贯穿于整个数学。”（注：D.吉利斯：《发展经验论的数学哲学的一个尝试》，载《数学哲学新论》，郑毓著，江苏教育出版社1990年版，第216页。）吉利斯认为，象数学中的实数及建立于其上的分析理论， 由于它出现在很多观察和实验以及为实际中的成功应用所确证的物理理论中，所以，实数理论也就由经验得到了确证，它部分地反映了物理世界的时空特性，从而实数理论就是科学。而就康托尔的大于c的超穷基数理论而言，由于它并未在物理学与实际中得到任何应用，从而就不能被看成经验地确证了的，因而，它就是一种形而上学，但不是维也纳学派的无意义的和毫无价值的形而上学。他认为形而上学尽管不能被认为是知识，但它却可能对科学起着有益的启发性的指导作用，今天的形而上学可能是明天的科学。
显然，按照吉利斯的区分，数学由其“科学”的部分和“形而上学”的部分所组成。科学的部分是经验的，但形而上学的部分却是非经验的。既然形而上学也是数学的一部分，因此，在一定程度上说，吉利斯也就根本没有彻底解决“数学的经验性”问题。况且在数学发展到今天，数学中类似于康托尔的大于的超穷基数理论的纯数学部分所占的比重越来越大。
其实，即使是在吉利斯彻底的经验主义数学的条件下，拉卡托斯的科学研究纲领方法论也不能推广应用于数学。因为拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”是以证伪为基础的，而吉种斯的数学却是实证的数学。
（三）模式论的数学观
模式论的数学观是我国著名的数学家徐利治先生和数学哲学家郑毓信先生所提出的一种新颖的数学哲学观点。该观点集中地体现在一本叫做《数学模式论》（Pattern Thoery of Mathematics广西教育出版社，1993年版）的专著中。该书在通过对数学抽象的分析之后，提出数学是“通过相对独立的量化模式的建构，并以此为直接对象从事客观世界量性规律性研究的”一门科学。接着，他们分别从本体论、真理论、认识论和方法论的角度较为全面地分析和论述了这种模式论的数学哲学观。
模式论的数学认识论是与相应的数学本体论和真理性理论相联系和相补充的。因此，在介绍这种模式论的数学认识论之前，有必要对其相应的数学本体论和真理性理论作一概要的了解。
模式论的数学本体论的主要结论是：“（1 ）数学对象是数学世界（不同于真实世界，但又以数学对象为客观世界——注）中的独立存在。（2 ）数学世界是抽象思维的产物：数学对象是借助于明确的定义逻辑地得到建构的；也正因为此，数学对象就具有确定的‘客观内容’，并构成了数学研究的直接对象。（3）就实际的数学活动而言， 数学对象的建构是一种社会的活动，也即是一种“社会的建构”，数学知识作为社会共同体的同共财富构成了人类文化传统的一个重要组成成分。”（注：徐利治，郑毓信：《数学模式论》，广西教育出版社1993 年版，第8页。）
作为模式论的数学本体论的直接推论或必然发展，模式论的数学观建立起了一种数学真理的层次理论。该理论的核心内容即是引进了两个相对独立的真理性概念：现实真理性和模式真理性。现实真理性是指数学对象是对于客观世界量性规律性的正确反映；而模式真理性讲的是，如果一个数学理论建立在合理的抽象思维之上，即可认为确定了一个量化模式，这一理论就其直接形式而言则可被认为是关于这一模式的真理。模式论的数学真理层次理论是在充分考虑到数学现代发展事实的情况下，代替了原来单一真理性理论的一种新理论，它不仅较好地解决了“数学真理性丧失”的困难，同时又把被吉利斯称为“形而上学”并排除在科学之外的纯粹数学重新纳入到科学的数学之内。从而就使得这种观点较易为人们特别是数学家们所接受。
真理层次理论的现实真理性和模式真理性比较客观地反映了现实数学中两个不同层次的数学实际。而这里的现实真理性和模式真理性则显然是和数学哲学中关于数学性质问题的经验论和拟经验论分别相对应的。因而，对数学的经验性和拟经验性的同时确认，就应是模式论数学哲学理论的自然结论。模式论的数学认识论认为：数学是经验的，同时也是拟经验的。这就是说，数学的真理性不仅取决于它在社会实践中（包括在其他自然科学中）应用的成功性，而且，在一定范围内，也可以建立在它在数学研究活动的成功性之上。
模式论的数学认识论，由于它对数学经验性的确认，表明了数学与其他自然科学的共同点；又由于它对数学拟经验性的确认，表明数学又有着不同于其他自然科学的特殊性。即数学的认识不仅是一种“发现”的活动，而且也是一种“创造和发明”的活动。这种理论强调数学认识是一种客观的实践活动，不过它已把实践的范围由社会实践扩展到了数学实践。
模式论的数学观尊重实际的数学研究和数学事实，强调实践在数学认识中的作用，把实践的观点引进了数学的认识论。这是和马克思主义的辩证唯物主义相一致的，是辩证唯物主义认识论在数学认识活动中的推广和应用。模式论的数学观客观、公正地反映了数学的实际，并具有一定的辩证性质。但就其与拉卡托斯的比较而言，它在关于数学的性质问题上，是对拉卡托斯拟经验数学观的完善和发展；而在关于数学的真理性评判标准问题上，则显然坚持的是确证的原则。因此，如果是在这种理论框架下建构所谓的“数学研究纲领方法”，则其显然是与拉卡托斯心目中的研究纲领大相径庭的。
二、建立数学研究纲领方法论的尝试
（一）M.哈利特（Michae Hallet ）的“一个进行中的数学研究纲领”（注：Michae Hallet:Towards a Theory of MathematicalResearch Programmes(Ⅰ).载Britain Journal of Philosophy ofScience,30(1979)。）
尽管哈利特否认数学是经验的（如前述），但他却仍然认为数学中可以存在一个类似于拉卡托斯在自然科学中所建构的科学研究纲领。拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”表明了一个进步的理论和一个退化的理论的区分。哈利特则试图使他的“数学研究纲领”达到同样的目的，即给出一个对数学理论规范和恰与其分的评价标准而不是象大多数数学家那样只是在直觉上对什么是“好数学”（good mathematics）和“坏数学”（bad mathematics）作出含混的判别。哈利特认为， 拉卡托斯科学研究纲领方法论的建立有赖于如下的两个前提：经验的性质和启发性方法。对于“启发性方法是否适于数学的研究”这一问题的回答显然是肯定的；但是，对于“数学是否是经验的”这一问题，由于数学和自然科学在人们的印象中是如此的不同，答案可能是否定的。在拉卡托斯的科学研究纲领方法论中，科学进步的标志是新纲领能够预见更多的经验事实，但在数学中却没有“经验事实”。那么，“数学研究纲领方法论”何以可能呢？
为了解决这个困难，哈利特在建构他的数学研究纲领的时候，对拉卡托斯的“研究纲领”模式作了适当地修改。哈利特的思路是这样的：既然数学中缺乏的是能够起检验作用的“经验事实，那么，只要能在数学中找到“经验事实”的适当的替代物，问题将能够解决。本着这样的考虑，哈利特考察了如下几个评判数学进步的标准，即实践（经验）的标准、构造性标准和解决问题的标准。他认为，在评判标准问题上，希尔伯特的“一个数学理论获得的支持在于它对问题的解决”的看法是合理的。这样，在哈利特看来，“问题的解决”就成了“对经验事实的正确预见”的适当的替代物。他说：“经验科学的建立在于其对经验世界真理的探寻，因此评判经验科学的进步如否就必须将之与事实的关系相对比；数学的建立在于其对数学问题的解决，因此评判数学进步如否就自然会是象希尔伯特所说的‘看其解决问题的能力如何’。”（注：Michae Hallet:Towards a Theory of Mathematical ResearchProgrammes(Ⅰ).载Britain Journal of Philosophy of Science,30(1979)。哈利特正是在这样的分析基础上建立起了他的“数学研究纲领”。
（二）P.马奇（Peggy Marchi）的“定理事实论”纲领（注：Peggy March:Mathematies as a Critical Enterprise.）
和哈利特一样，马奇的数学纲领的建立，也是从在数学中寻找与自然科学经验事实相对应的替代物开始的。不过，与哈利特不同的是，马奇的“替代物”不再是数学中“对问题的解决”，而是数学中的“定理”（theorems）。
马奇基本上是站在拉卡托斯的科学研究纲领方法论的立场上的。他认为波普尔没能真正解决科学进步的问题，在波普尔那里，任何理论都是猜测，而又由于波普尔坚持理论渗透于观察和实验的看法，因此，由观察和实验得到的用来检验和反驳猜想的经验事实就有可能也是错误的。这样，在一个猜想遭到经验事实的反驳时，我们就不能确切地知道究竟是猜想的错误，还是经验事实的错误，从而也就无法改进或提出一个新的猜想，进而解决科学的进步问题。在马奇看来，拉卡托斯在数学方法论中用来反驳猜想的反例也存在着与波普尔的经验事实同样的问题，从而拉卡托斯就也没能对数学的进步性作出说明。但拉卡托斯的科学研究纲领方法论却克服了这一缺陷。
马奇试图把他认为较为完善的拉卡托斯的科学研究纲领方法论推广到数学中去，以解决数学进步的问题。这样，象我们前面的分析一样，马奇首先要解决的问题就是要在数学中寻找与自然科学中经验事实相对应的替代物。经过分析，马奇认为，数学中能充当这一角色的只能是数学中的“定理”。尽管在直觉上“定理”与“事实”有着显著的区别，但马奇认为，至少在以下三种意义上，数学中的定理与科学中的事实是类似的。（1）定理就其被普遍承认和接受的意义上类似于事实。 例如，数学中的“两点间的直线距离最短”、“2+2＝4 ”这样的基本定理，非常类似于自然科学中的“水分子是由两个氢原子和一个氧原子组成”、“水的分子量为18”这样的一些“基本陈述”（波普尔语）。由于它们被人们普遍承认和接受，因此，它们就是数学中的“事实”。 （2）定理作为数学难题的意义上类似于事实。阿加西（J.Agassi）在一篇题为《感觉论》（Sensatienalism）的论文中曾对此作过解释，他说：“作为难题意义上的事实，就是那些被认为是真的，但却一直在被验证的事实。（注：转引自Peggy Marchi:Mathematics as a CrificalEnterprise.）例如哥德巴赫猜想、费尔玛定理、四色问题等就属此类。自然科学上的一个著名的“难题事实（task—fact）”就是氯的原子量的数值（35.5）的确定。在很长一个时期内人们只是把“氯的原子量为35.5作为一个事实接受下来，但并没有得到具体的确证，直到后来才提到证实。（3）定理在下述意义上亦可作为事实， 即由于它的可接受性依赖于在教条主义无穷回归和心理主义之间的暂时妥协（具体可参见波普尔的《科学发现的逻辑》）。马奇把接受数学定理和波普尔的接受科学事实相类比，认为数学定理也是表达我们的经验的，它表达的是我们的心理经验而不是物理经验，即在我们把数学定理作为事实来接受时，即不依赖心理，也不依赖教条，而是象接受波普尔的科学事实一样来接受它。
马奇就是在这样的前提下来建立他的“数学纲领”的。
（三）C.豪森（C.Howson）的“非经验科学的方法论”
豪森是拉卡斯生前的学术助手。他也非常同意拉卡托斯生前提出但未能解决的这样一种思想：纯数学的理论可能与经验科学的理论从属于同样的方法论评价准则。显然，拉卡托斯这里所指的评价准则就是其科学研究纲领方法论中的准则，它是与理论的经验内容有着本质联系的。因此，把科学研究纲领方法论推广应用于数学研究的主要困难就在于：如何使“经验内容”这一概念能在数学研究的领域内得到定义。豪森是借助于“直觉”来解决这一问题的。
豪森认为：“直觉，并不象通常所假设的那样在数学与经验科学之间造成裂痕，这是由于数学中的直觉的清晰性与经验科学中的‘实验结果’是相似的：两者都从属于修正。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）例如“关于自然数性质的直觉，它和自然科学中的基本经验命题在认识论上说法是近乎相同的。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）豪森最终同意了哥德尔和拉卡斯这样的观点：“数学并没有排斥应用这样一组准则去对它的理论进行评价，包括指出它们的可确证性（可证伪性）。（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）
这样，在豪森看来，“数学外表上的非经验性其本身并非将科学研究方法论应用于数学中的研究纲领的障碍。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）因此，数学纲领就是存在的。数学基础研究的几个规划就可以看成是这种纲领的例证。他以集合论为例说：“以康托尔的工作为开端的全部发展都保持了这样一个不变的原则的内核，这是由诸如ZF的公理体现出来的，以及一个启发性的限制，即通过寻找集合的直观概念的新的性质而使它们成为更为充分的理论。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）从而，豪森就把科学研究纲领方法论推广应用到了数学之中。但是，“这种推广所提供的只是关于实际和合理的评价标准的一个很不完全的描述。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）这主要是因为：经验科学与数学方法论的区别……而这种区别是由于数学的创造性所造成的。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）从而，“一个令人满意的数学方法论将不同于令人满意的经验科学方法论，尽管其原因并不象通常所说的那样，是由于数学并不是经验的……而是由于这两门学科或学科组中对纯理论的进步赋予了不同的重要性。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）豪森的结论是：“科学研究纲领方法论，作为一科暂时的结论，看来提供了关于数学方法论的部分真理，但决不是全部真理。”（注：郑毓信：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第223，223，224，225，225，222，223，226，227页。）
（四）、T.凯特西尔（teun Koetsier ）的“数学研究传统方法论”（注：参见Teun Koetsier:Lakatos'Philosophy of Mathematics,a Historical Approach,North-Holland,Elseries SciencePublisthers,1991.）
凯特西尔是荷兰Vrije大学数学系的一位教授。 他自称为拉卡托斯的数学哲学所鼓舞，从而多年来一直从事对拉卡托斯数学哲学的研究工作。他的研究是顺着拉卡托斯的思路进行的，即力图把拉卡托斯的科学研究纲领方法论应用推广到数学中去，并且他的研究方法也是和拉卡托斯相同的历史的“案例分析法”。他的研究成果于1991年以一本专著的形式发表，书名为《拉卡托斯的数学哲学：一个历史的方法》（Lakatos'philosophy of Mathomatics:a Historical Approach）。
凯特西尔在这本专著中，通过对拉卡斯哲学思想的分析和对数学史中一些案例的考察和再考察， 建立起了他的“数学研究传统方法论（methodology of mathematical research traditions）。尽管凯特西尔的最初目的是想把拉卡托斯在自然科学中的科学研究纲领方法推广到数学中来，但他的“数学研究传统方法论”，却正如他自己所说，是借助于劳丹的“科学研究传统”建立的。劳丹的研究传统是这样定义的：“一个研究传统就是这样一组普遍的假定，这些假定是关于一个研究领域中的实体和过程的假定，是关于在这个领域中研究问题和建构理论的适当方法的假定。”（注：劳丹：《进步及其问题》，上海译文出版社1991年版， 第81页。）相应的，凯特西尔所定义的数学研究传统为：“一个数学研究传统就是在一定时期内同一的研究活动，它的特征是其为关于一个特定基础数学研究领域的实体的普遍假设，其中包括为证明这些实体性质的适当方法。”（注：Teun
Koetisier: Lakatos'Philosophy of Mathematies,a Historical Approach,North-Holland,Elserier Science Pubblishers.1991，第151、154页。）凯特西尔数学研究传统的建立是通过他的数学发展动力不同层次的区分来表述的。
凯特西尔把数学研究活动分为微观、中观和宏观这样几个不同的层次。凯特西尔的微观层次即是单个数学家的数学研究活动，包括个体数学家所从事的诸如证明定理、阐述猜想、检验定理以及寻找反例以证伪命题等研究。在此层次上，数学家们遵循的是波利亚及拉卡托斯的启发性方法，这正是拉卡托斯在《证明与反驳》中所揭示的模式：寻找证明——发现反例（局部或全局）——使证明由隐到显——反驳反例……
凯特西尔的中观层次是指由一批数学家所组成的团体的研究活动，他称这种研究活动为“研究规划（research project）。用凯特西尔自己的话讲：“一个研究规划是由许多研究目标和一系列企图达到这些目标的线索组成。这个规划包括对某种目标所展示的问题的解决范例及关于目标线索的有效性。”（注：Teun Koetisier:Lakatos' Philosophyof Mathematies,a Historical Approach,North-Holland,ElserierScience Pubblishers.1991，第151、154页。）
最后，由一些相互关联的研究规划构成“研究传统”，这就是凯特西尔的宏观层次。凯特西尔的“数学研究传统方法论”正是以他的研究规划和研究传统为基础建立起来的。
凯特西尔的“数学研究传统方法论”能够为他的案例所很好的说明，这表明他的理论在一定程度上是合理的。
总之，围绕着“科学研究纲领方法论”在数学中的推广应用问题，继拉卡托斯之后的数学哲学研究中出现了不少的“规划”和“纲领”。他们分别从不同的途径和依不同的方法，对拉卡托斯的哲学思想进行了不同程度的批判、发展和完善。尽管这些观点的正确性还有待于对此问题的进一步研究及数学实践的检验，但它却从另一个侧面在反映了拉卡托斯的研究成果及其所开创的研究方向对现代数学哲学研究的重大影响。