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张飞群 浙江省诸暨市海亮高级中学 311800
【摘要】乔治·波利亚（George·Poiya,1887-1985）曾说：“掌握数学，就意味着解题，解题是人类最有特征的一种智力活动”，解题是中学数学最有用的精华，解题方法的选择很大程度上影响着解题的正确率.
形如，其中为等差数列，为等比数列，这样的数列我们一般称为差比型数列.差比型数列求和问题是高考的热点问题.这类题型典型的求解方法就是错位相减法，不管是新授课还是复习课，每个老师都会强调.错位相减的步骤简单，思路清晰，学生接受容易，但是从目前的教学效果来看学生掌握的不够好，这个问题一直缠绕着我，直到最近与特级教师吴国建老师的一次学习讨论中，认识到差比型数列还可以用裂项相消的思想来进行求解，于是我查阅了一些材料，以2018年浙江高考数学的第20题的数列为例，整理自己的一些想法，以飨读者，有不当之处，请批评指正.
【关键词】差比型；错位相减法； 裂项相消法；待定系数法
中图分类号：G661.8文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）07-045-02
1.1原题展示
已知等比数列的公比，且，是，的等差中项.数列满足，数列的前项和为.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式
解析：（1）是，的等差中项，，
，，，
解得或，，.
（2）由（1）可知，设，的前项和为，则，
当时，，当时，，当时也符合上式，，即，，
，
，
本文主要讨论有关的几种解法.
2.不同角度的试题的求解
2.1错位相减法
我们可以根据等比数列的前项和的推导过程，类比推出用错位相减法解决差比型数列的一般步骤，我把它简化为“加、乘、减、除”这四个步骤，让学生对解题思路过程得到进一步的明确.
已知，其中为公差为的等差数列，为公比为的等比数列，求数列的的前项和.
第一步“加”：；
第二步“乘”：×得
，
即；
第三步“减”：
－得
，即
；
第四步“除”：.
根据此解题步骤，可对例题中的作如下的求解过程.
×得
，
－得
，
，即，
错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于差比型数列的求和，但不是只能用在这种类型的数列求和上，例如：求的和，也可以用错位相减法[1].但是在平时练习和历年高考中，我们发现用“错位相减法”求这类数列的和，学会的错误率颇高.从错位相减法本身来说，我们可以分析它的易错点，通过注意三点，即“变符号，定项数，细化简”来提高正确率，另外，在计算结果中可以通过代入“”来进行检验答案的正确率，并结合实例突破错位相减法[2].那么有没有其他方法可以代替错位相减法来求这类数列的和，从而减少错误率？
2.2裂项相消法
先让我们看一下的等比数列前项和的另一种推导方法[3]。
设等比数列的首项为，公比为，前项和为，则，
于是
上述推导法的实质上是“裂项相消求和”，其核心技术是将通项分裂成了相邻两项和的差.在差比型数列中，等差数列的通项公式是关于的一次函数的形式，等比数列的通项公式是的指数函数的形式，因此的通项也可以分裂成相邻两项的差，从而差比型数列的前项和也可以用“裂项相消法求和”.
已知，其中为公差为的等差数列，为公比为的等比数列，求数列的的前项和.
设，则
，
其中是待定系数.
该方法成功避开了错位相减法这个拦路虎！不妨一试.
设
,
所以解得
于是,
所以
.
此法利用等差数列为关于的一次多项式，可以运用待定系数法对通项进行变形和构造，方法简单，容易操作，很好的进行了裂项相消法和错位相减法之间的沟通，简洁明了，只要在求系数时仔细认真一点，就可以熟练掌握此种方法求解.
数学的学习，主要是在解题.运用和构造裂项相消法来解决“差比型数列”求和问题，为学生开辟了一条新的求和 途径，拓宽了学生的解题思路，所以对任意的“差比型数列”，都可以通过构造和待定系数法把它转化为裂项相消的方式解决，充分利用函数的思想方法来处理数列问题，此解法过程简单，思路清晰，计算量大为减少，准确率大为提高，并且求得的结果是最为简洁的，这种解法不仅适合小题，对于解答题也可得满分（可见后面所举例题的解答）[4].
3.裂项相消法和待定系数法的应用
在高三备考复习中，我们会遇到很多数学数列求和的问题，一般我们都会根据数列通项公式的特征来决定采取哪种数列求和方法，从大量地试题中，不难发现运用裂项相消和待定系数法求某些数列和的方法总是那样别出心裁，让试题大方光彩.
“差比型数列”是一个多项式和一个指数式乘积组成的数列，它的求和问题，可以通过裂项相消法来求解，其实只要是多项式乘积或多项式和指数式乘积组成的混合型数列的求和问题，仔细观察数列的同向特征，同样可以用裂项相消求和，其关键是数列中呈现一种有规律的形式，通过适当的变形和推理可以裂开成两项相邻项进行抵消求解.韩智明的《从裂项相消求“差比型数列”之和说开去》就列举了很多这样的例子，大家可以去阅读一下.
总之，数学充满了奥妙，很多思想方法都是相通的.只要我们有一双发现的眼睛，挖掘各种方法的内涵，找准问题的关键，就能将方法进行有效地迁移，收到意想不到的效果，这就是数学的魅力所在.
参考文献：
[1]林秋林.错位相减法的应用归纳[J].福建中学数学，2015.10.20
[2]陈泽龙.三步骤突破错位相减法[J].数学学习与研究，2016.4.20.
[3]陈世明.让“错位相减法”“退出”数列求和的舞台[J].中学数学研究（华南师范大学版）.2014.7.10.
[4]韩智明.从裂项相消求“差比型数列”之和说开去[J]。中学数学研究。2019年第1期.
论文作者:张飞群
论文发表刊物:《中小学教育》2019年7月1期
论文发表时间:2019/5/22
标签：数列论文; 等比数列论文; 前项论文; 消法论文; 相减论文; 方法论文; 待定系数法论文; 《中小学教育》2019年7月1期论文;