Copula函数度量风险价值的Monte Carlo模拟，本文主要内容关键词为：度量论文,函数论文,风险论文,价值论文,Copula论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F830.91 文献标识码：A
引言
Copula的研究起源于Skiar[1]，而Nelsen比较系统地介绍了Copula的定义、构建方法。Archimedean Copula及相依性[2]，Bouye,Durrleman,Nikeghbali系统地介绍了Copula在金融中的一些应用[3]。Copula可以解释为“相依函数”或“连接函数”，是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。Copula目前已被广泛地应用于金融领域，特别在金融市场上的风险管理、投资组合的选择、资产定价等方面，已经成为解决金融问题的一个有力的工具。本文讨论利用Copula函数度量风险价值的Monte Carlo模拟。
在现代金融风险管理中，RiskMetries Technical Document和Dowd提出风险价值(VaR)是最基本和最核心的度量手段[4,5]。在实际研究中，刻画金融资产收益的联合分布是一个很重要的问题，一般来说金融资产收益的分布都是“厚尾尖峰”分布，如果采用大多数风险管理模型中的多个金融资产收益序列或风险因子的联合分布服从多元正态分布，以及资产组合中的每一单个资产的线性相关性假设，可能对实证的结果产生很大的偏差和误导。大量的实证表明，这种假设经常与客观事实相违背[6]，特别是当极端事件发生时，在正态分布假设下进行的资产组合的风险分析及其VaR计算与实际情况偏差较大。因为我们可以将金融资产风险分解成单个资产的风险和由投资组合产生的风险两部分，其中单个金融资产的风险可以由它们各自的边缘分布来描述，而由投资组合产生的风险则完全由连接它们的Copula函数来描述。如果投资组合中的金融资产已经确定，那么市场风险就相当于投资组合中资产结构的风险，可以完全由一个相应的Copula函数来描述。假定随机变量X和Y分别代表两种金融资产的损失，它们的边缘分布分别为F(x)和G(y)，具有Copula函数C(F(x)，G(y))，则投资组合的VaR可表示为：
其中δ代表资产X在投资组合中的权重，γ为限定值，它与置信水平α是一一对应的。若Copula函数已知，但VaR的解析式很难求出，也可以通过模拟的方法计算VaR值。由于Copula技术是对整个联合分布建模，并且很容易推广到条件分布的情形[7]，因此可得到与真实分布更接近的联合分布，从而可以建立更为有效的风险管理模型。
本文将Copula函数运用于风险管理的实证，选取三种有代表性的Copula函数描述的金融时间序列的相依关系，通过Monte Carlo模拟计算投资组合的VaR，并将其与传统正态模拟计算的投资组合的VaR结果比较。结果表明，正态模拟在α对应的不同分位数下计算的VaR都和实际值之间存在着较大误差，而三种Copula函数的模拟结果明显好于正态结果。由事后检验看出，三种Copula函数的结果跟实际的经验分布结果非常接近。在α=1%时，Gumbe Copula函数在不同模拟次数下的结果和实际经验结果几乎相同；在α=5%和α=10%时，Gumbel Copula的模拟结果从总体上看也好于正态Copula和t-Copula函数。从三种Copula函数在不同模拟次数下的事后误差检验结果可以看出，模拟1000次的结果最差，虽然模拟5000次和1939次结果相当，但1939次总体上略好一些。
一、Sklar定理、Copula函数和相依性
（一）Sklar定理
二、实证研究
本文中我们取上证指数和深圳综指的每日收盘价为样本数据，时间长度为1996年12月16日至2004年12月31日共1939组数据（日收益率波动情况见图1（略））。在实证中，我们采用对数收益率、等权重投资，在三个置信度0.90、0.95和0.99下来度量组合的风险价值。
我们首先通过样本数据估计各种分布函数的相关参数和确定两个股指的边际分布；然后通过样本求得的参数确定具体分布函数进行Monte Carlo模拟，产生收益率数据，计算投资组合的VaR。
（一）分布及参数估计
(1)描述统计
日度收益定义为：
为股指在时刻t时的收盘价，样本数据对数收益率的容量为1939组数据，基本的描述统计见表1。
(2)边际分布
在计算样本对数收益率后，我们还需确定Copula函数所选取的边际分布，这里分别用正态分布和t分布拟合两组序列，图2和图3（图略）给出了两组收益率序列分布的密度函数拟合图。
从图中可以很清楚地看出，自由度为3的t分布对两组序列的拟合效果要远好于正态分布拟合，说明t分布能够比正态分布更好地捕捉金融时间序列的“尖峰厚尾”特性，因此在计算Copula函数时，我们将边际分布选取自由度为3的t分布。
(3)参数估计
为了对所选取的Copula函数的各个参数进行估计，我们首先将两组序列转化到均匀分布，分布的散点图如图4（略）。
表1 各股指和投资组合的描述统计
从表3可以看出。正态模拟在α对应的不同分位数下的误差都和实际值相差较大，而各种Copula函数的模拟结果明显好于正态结果。从事后检验看出，三种Copula函数的结果跟实际的经验分布结果非常接近。在α=1%时，Gumbel Copula函数在不同模拟次数下的结果和实际经验结果几乎相同；在α=5%和α=10%时，Gumbel Copula的模拟结果从总体上看也好于正态Copula和t-Copula函数。从三种Copula函数在不同模拟次数下的事后误差检验结果可以看出，模拟1000次的结果最差，而模拟5000次和1939次结果相当，1939次总体上略好一些。
三、结论
本文采用Copula函数的方法来对上海和深圳股票市场的指数进行Monte Carlo模拟，以度量证券市场的风险。从实证结果可以看出，用Copula函数描述两个时间序列的相依性关系时得出的VaR结果要优于正态情形；在所选的三种Copula函数中以GumbelCopula函数模拟的VaR效果最好；在模拟次数的比较中，可以看出当模拟次数增大时效果变好，当模拟的次数与实证数据长度接近时效果较好。同时我们也注意到，对收益序列进行边际分布拟合后，选取t分布作为边际分布，其模拟的VaR结果明显优于其他分布。因此在应用Copula函数对金融序列建模时，边际分布的选取可能对实证的结果也有着重要影响。
尽管在1959年Sklar等人就开始用Copula函数进行统计研究，但将Copula函数真正应用于金融、经济研究还是近几年的事，正处于起步阶段。Copula函数本身所具有的许多优良的统计特性，使其在金融领域，特别在金融市场上的风险管理、投资组合的选择、资产定价等方面有着广泛的应用前景，随着对其研究手段的发展和成熟，Copula函数必将成为金融计量和金融分析的得力工具。