2004年数列考题解析，本文主要内容关键词为：数列论文,考题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数列是高中数学的重要内容，其涉及的基础知识、数学思想与方法、在高等数学的学习中起着重要作用，因而成为历年高考久考不衰的热点题型.因此，有必要对这类考题进行概括分析.下面结合2004年全国各地不同考卷中的数列考题分类解析，供读者参考.
一、等差（比）数列基本概念与公式问题
判断或证明一个数列是等差或等比数例，并由此求其通项公式或确定a[，n]与S[，n]的关系问题也是高考命题一直考查的热点.
例1 （2004年全国高考天津卷理科试题）已知定义在R上的函数f（x）和数列｛a[，n]｝满足下列条件：
a[，1]，=a，a[，n]=f（a[，n-1]），（n=2，3，4…），a[，2]≠a[，1]，f（a[，n]）-f（a[，n-1]）=k（a[，n]-a[，n-1]）（n=2，3，4，…），其中a为常数，k为非零常数.
（1）令b[，n]=a[，n+1]-a[，n]（n∈N[*]），证明数列｛b[，n]｝是等比数列；（2）求数列｛a[，n]｝的通项公式.
（1）证明：由b[，1]=a[，2]-a[，1]≠0，可得b[，2]=a[，3]-a[，2]=f（a[，2]）-f（a[，1]）=k（a[，2]-a[，1]）≠0.
由数学归纳法可证：b[，n]=a[，n+1]-a[，n]≠0（n∈N[*]）.
因此，数列｛b[，n]｝是一个公比为k的等比数列.
上式对n=1也成立.所以，数列｛a[，n]｝的通项公式为a[，n]=a+（f（a）-a）（1-k[n-1]/1-k）（n∈N[*]）.
当k=1时a[，n]-a[，1]=（n-1）（a[，２]-a[，1]）（n≥2）.
上式对n=1也成立，所以，数列｛a[，n]｝的通项公式为a[，n]=a+（n-1）（f（a）-a）（n∈N[*]）.
例2 （2004年高考全国卷二理科试题）数列｛a[，n]｝的前n项和记为S[，n]，已知a[，n+1]=（n+2/n）S[，n]（n=1，2，3，…）.证明：（1）数列｛S[，n]/n｝是等比数列；（2）S[，n+1]=4a[，n].
证明：（1）∵a[，n+1]=S[，n+1]-S[，n]，a[，n+1]=（（n+2）/n）S[，n]，
∴（n+2）S[，n]=n（S[，n+1]-S[，n]）.
整理，得nS[，n+1]=2（n+1）S[，n]，所以（S[，n+1]/n+1）=2×（S[，n]/n），故｛S[n]/n｝是以2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，（S[，n+1]/n+1），=4×（S[，n-1]/n+1）（n≥2），于是S[，n+1]=（4（n+1）/n-1）·S[，n-1]=4a[，n]（n≥2）.
又a[，2]=3，S[，1]=3，故S[，2]=a[，1]+a[，2]=4.因此，对于任意正整数n≥1，都有S[，n+1]=4a[，n].
二、a[，n+1]=Pa[，n]+f（n）型通项公式问题
对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列把问题解决.这类问题多年来一直是高考久考不衰的热点题型，尤其是2004年全国高考试卷十分明显.直接求此类问题的通项公式，许多学生常常感到困惑不解，有时显得束手无策.其实，这类问题可以通过变形与构造等比数列把问题转化.
例3 （2004年高考全国卷一理科试题）已知数列｛a[，n]｝中，a[，1]=1，且a[，2k]=a[，2k-1]+（-1）[k]，a[，2k+1]=a[，2k]+3[k]，其中k=1，2，3，…（1）略；（2）求｛a[，n]｝的通项公式.
解：（2）a[，2k+1]=a[2k]+3[k]=a[，2k+1]+（-1）[k]+3[k]，所以a[，2k+1]-a[，2k-1]=3[k]+（-1）[k]，
同理，a[，2k-1]-a[，2k-3]=3[k-1]+（-1）[k-1]，……，a[，3]-a[，1]，=3+（-1）.
把以上k个等式两边分别相加，得
a[，2k+1]-a[，1]=（3[k]+3[k-1]+…+3）+[（-1）[k]+（-1）[k-1]+…+（-1）]=（3/2）（3[k]-1）+（1/2）[（-1）[k]-1]，
于是a[，2k+1]=（3[k+1]/2）+（1/2）（-1）[k]-1，
a[，2k]=a[，2k-1]+（-1）[k]=（3[k]/2）+（1/2）（-1）[k-1]-1+（-1）[k]=（3[k]/2）+（1/2）（-1）[k]-1.
所以a[，n]的通项公式为：当n为奇数时，a[，n]＝
例4 （2004年高考全国卷三理科试题）已知数列｛a[，n]｝的前n项和S[，n]满足S[，n]=2a[，n]+（-1）[n].
（1）写出数列的前3项a[，1]，a[，2]，a[，3]；（2）求数列｛a[，n]｝的通项公式.
解：（1）由a[，1]=S[，1]=2a[，1]-1，得a[，1]=1.由a[，1]+a[，2]=S[，2]=2a[，2]+（-1）[2]，得a[，2]=0.
由a[，1]+a[，2]+a[，3]=S[，3]=2a[，3]+（-1）[3]，得a[，3]=2.
（2）当n≥2时，有a[，n]=S[，n]-S[，n-1]=2（a[，n]-a[，n-1]）+2×（-1）[n]，即a[，n]=2a[，n-1]+2×（-1）[n-1]，
经验证a[，1]也满足上式.所以a[，n]=（2/3）[2[n-2]+（-1）[n-1]]（n≥1）.
三、a[，n+1]=f（n）·a[，n]型通项公式问题
求递推数列的通项公式的思维方向是转化与归化，这样处理问题的目的是化陌生为熟悉，当然首选方向是化成等差或等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的.等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.
例5 （2004年高考全国卷—理科试题）已知数列｛a[，n]｝满足a[，1]=1，a[，n]=a[，１]+2a[，2]+3a[，3]…+（n-1）a[，n-1]
解：由a[，n]=a[，1]+2a[，2]+3a[，3]+…+（n-1）a[，n-1]，①
得a[，n+1]=a[，1]+2a[，2]+3a[，3]+…+（n-1）a[，n-1]+na[，n]，②
②-①得，a[，n+1]-a[，n]=na[，n]，所以a[，n+1]=（n+1）a[，n]，即（a[，n+1]/a[，n]）=n+1，
所以有（a[，n]/a[，2]）=（a[，3]/a[，2]）·（a[，4]/a[，3]）·…·（a[，n]/a[n-1]）=3×4×5×…×n，即a[，n]=3×4×5×…×n·a[，2].
由于a[，1]=1，a[，2]=a[，1]=1，所以a[，n]=（n！/2）.
四、数列求和综合问题
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是高考常见的试题，对于等差数列或等比数列的求和主要是运用公式，求一般数列的前n项和可以借助错位相减法或裂项相消法解决.
例6 （2004年全国高考江苏卷）设无穷等差数列｛a[，n]的前n项和为S[，n].
（1）若首项a[，1]=（3/2），公差d=1，求满足S[2][，k]=（S[，k]）[2]的正整数k；
（2）求所有的无穷等差数列｛a[，n]｝，使得对于一切正整数k都有S[2][，k]=（S[，k]）[2].
解：（1）当a[，1]=（3/2），d=1时，S[，n]=（3/2）n+（n（n-1）/2）=（（1/2）n[2]）+n.
由S[2][，k]=（S[，k]）[2]，得（1/2）n[4]+n[2]=（（（1/2）n[2]）+n）[2]，即k[3]（（（1/4）k）-1）=0，又k≠0，所以k=4.
（2）设数列｛a[，n]｝的公差为d，则在S[2][，k]=（S[，k]）[2]中分别取k=1，2，得
当a[，1]=0时，代入②得d=0或d=6.
若a[，1]=0，d=0，则a[，n]=0，S[，n]=0，从而S[2][，k]=（S[，k]）[2]成立；
若a[，1]=0，d=6，则a[，n]=6（n-1），由S[，3]=18，（S[，3]）[2]=324，S[，9]=216知S[2][，3]≠（S[，3]）[2]，故所得数列不符合题意.
当a[，1]=1时，代入②得d=0或d=2.
若a[，1]=1，d=0，则a[，n]=1，S[，n]=n，从而S[2][，k]=（S[，k]）[2]成立；
若a[，1]=1，d=2，则a[，n]=2n-1，S[，n]=1+3+5+…+（2n-1）=n[2]，从而S[2][，k]=（S[，k]）[2]成立.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：a[，n]=0；a[，n]=1；a[，n]=2n-1.
例7 （2004年全国高考湖南卷文科试题）已知数列｛a[，n]｝是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S[，n]是其前n项和，a[，1]，2a[，7]，3a[，4]成等差数列.
（1）求证：12S[，3]，S[，6]，S[，12]-S[，6]成等比数列；（2）求和：T[，n]=a[，1]+2a[，4]+3a[，7]+…+na[，3n-2].
（1）证明：由a[，1]，2a[，7]，3a[，4]成等差数列，
得4a[，7]=a[，1]+3a[，4]，即4aq[6]=a+3aq[3]，变形得（4q[3]+1）（q[3]-1）=0，解得q[3]=-（1/4）或q[3]=1（舍去）.
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