新增内容，新的思维，新的交汇，本文主要内容关键词为：思维论文,内容论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
大家都认为新增内容“向量”与平面三角、平面几何、立体几何、解析几何的知识既相互联系又相互转化，这些知识的内在联系为知识网络交汇点设计问题提供了良好素材.其实新增内容在中学数学学科中的交汇远不止这些，只要仔细观察有很多在知识网络交汇点设计问题的题材.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间的内在联系，包括各部分知识之间的深刻的内在联系和各部分知识之间的横向联系.新增内容对于原教材支撑学科知识体系的重点知识密切地交汇在一起，编织成五彩缤纷的交汇网.本文就新增内容的交汇实录几个片断.
一、线性规划
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，线性规划是直线方程的一个简单应用，它与解析几何、向量、不等式、概率可交汇进行综合命题.
1.线性规划与求轨迹的交汇
例1 已知点M（a，b）在由不等式组
确定的平面区域内的面积为S[，1]，点N（a+b，a-b）所在平面区域内的面积为S[，2]，在坐标系中表示出S[，1]∩S[，2].
解析 容易作出M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内的面积为S[，1].（见图1）
代入方程组①得可行域
由此可确定N（a+b，a-b）的平面区域内的面积为S[，2]，（见图2）
∴S[，1]∩S[，2]为图中阴影部分（见图3）.
2.线性规划与向量的交汇
向量的另一种表示式——“坐标表示式”的出现，与线性规划的交汇显得自然.
的动点P的变动范围（图4中阴影部分，含边界）是（
）
解析 设点P的坐标P（x，y），则由已知得0≤（x，y）·（1，（1/2））≤1，0≤（x，y）·（0，1）≤1即0≤x+（1/2）y≤1，0≤y≤1，新的思维：线性规划.因此动点P的变化范围是A中的阴影部分且包括边界，选A.
可见线性规划问题中的可行域，是解决线性规划问题的基础，但它并不光是求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值问题，它的应用是广泛的.
3.线性规划与函数中的“恒成立”交汇
例3 f（x）=（3a-1）x+b-a，x∈[0，1]，若f（x）≤1恒成立，求a+b的最大值.
解析 使用数形结合思想，由已知f（x）≤1恒成立，可得
欲求a+b的最大值，新的思维：归结为线性规划问题.
4.线性规划与概率的交汇
学习了排列、组合以后学习概率，让学生去感受它在实际问题中的应用.要掌握求“概率”的思考方法，培养学生分析和解决实际问题的能力.有人认为概率相对独立，较少有交汇，其实不然.
例4 在长为l的线段AB上任意地作两点L及M，求｜LM｜＜｜LA｜的概率.
解析 将线段AB放在数轴的正方向上，以A为原点，点B坐标为l.设点L、M的坐标分别为x、y，0≤x≤l，0≤y≤l.（如图5）.而可能结果的全体G为边长l的正方形，｜LM｜＜｜LA｜，即｜x-y｜≤x，∴2x≥y≥0，满足这关系的区域为图中的阴影部分（如图6）.
故所求概率
例5 若以连续掷两次骰子（各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）分别得到的点数m、n作为点P的坐标，求点P落在不等式组
表示的平面区域内的概率.本题所求的概率为（1/2）.
二、向量
1.向量与解几的交汇
新教材增加了平面向量和空间向量，这为处理解析几何问题提供了新的工具，它们的交汇更为普遍.
例6 如图7所示，在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）、B（1，0），平面内两点G，M同时满足以下条件：
求△ABC的顶点C的轨迹方程.
解析 设C（x，y），G（x[，G]，y[，G]），M（x[，m]，y[，m]），∵M为外心，∴M在线段AB的中垂线上，x[，m]=（-1+1/2）=0，又GM//AB，∴y[，m]=y[，G].又G为△ABC重心，∴x[，G]=
化简得顶点C的轨迹方程为x[2]+（y[2]/3）=1.（y≠0）
2.向量与三角的交汇
同样“坐标表示式”的出现，也为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.
例7 在△ABC中，C=2A，cosA=（3/4），
（1）求cosB；
（2）求AC的长.
解析 （1）cosC=cos2A=2（3/4）[2]-1=（1/8），cosB=-cos（A+C）=-cosA cosC+sinAsinC=-（3/4）×（1/8）+
4[2]+6[2]-2×4×6×（9/16）=25，b=5即AC的长为5.
3.向量与立体几何
由新大纲9（B）编写的教科书内容，对传统的立体几何进行了重大改革，主要思想是引进了向量工具改造传统立体几何.
4.向量、三角、函数、导数的交汇
（1）试求函数m=f（θ）的关系式；
（2）令t=tanθ，求出函数m=g（t）的极值.
解析 本问题以向量为桥梁，三角为载体，函数为主体，求导为方法.
解析 本题涉及向量的垂直，向量的坐标表示以及向量的数量积，将向量与函数联系起来，从导数这一角度去思维，从而最终解决与函数有关的问题.
三、导数
导数与函数的交汇，已经成为一种新颖命题模式，它们的融合、交汇自然贴切，形式上新颖脱俗，内容上更趋理性化.
例9 定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x[，1]，x[，2]∈D，都有｜f（x[，1]）-f（x[，2]）｜＜1则称函数y=f（x）为“A函数”，否则称“非A函数”.函数f（x）=x[3]-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）是否为“A函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.
解析 本问题思维是：从求导入手，确立f（x）的最大值与最小值之差小于1，就可判断对于任意的x[，1]、x[，2]都有｜f（x[，1]）-f（x[，2]）｜＜1的思想.
函数f（x）=x[3]-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）的导数是f′（x）=3x[2]-1
当x∈[-1，1]变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表1：
从表1可知，函数f（x）=x[3]-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）的最大值为a+
，最小值为a-，
故｜f（x[，1]）-f（x[，2]）｜＜｜f[，max]-f[，min]｜=
＜1.
所以函数f（x）=x[3]-x+a（x∈[-1，1]，a∈R）是“A函数”.
四、概率与数列的交汇
例10 抛一枚均匀硬币，正面或反面出现的概率都是（1/2），反复这样的投掷，数列｛a[，n]｝定义如下：
设S[，n]=a[，1]+a[，2]+…+a[，n]（n∈N[+]），试分别求满足下列各条件的概率：
（1）S[，8]=2；
（2）S[，2]≠0，且S[，8]=2
解析 （1）当S[，8]=2时，在8次试验中，正面是5次，反面是3次，共有C[，8][3]种可能，因此，概率为
（2）当S[，2]≠0即a[，1]=a[，2]=1，S[，2]=2或a[，1]=a[，2]=-1时S[，2]=-2，这里就要加入分类讨论思想.
当S[，2]=2时，S[，8]-S[，2]=0，即从第3次开始的6次中，正面出现3次，反面出现3次，因此这种情况共有C[，6][3]种.
当S[，2]=-2时，S[，8]=2，S[，8]-S[，2]=4，即从第3次开始的6次中，正面出现5次，反面出现1次，因此这种情况共有C[，6][5]种，而任意投掷一枚硬币，有两种可能，反复投8次，共有2[8]种可能.故概率为
由此看来，注意知识网络交汇，特别是与新增内容的联姻，对于培养学生对中学数学不同分支重要基础知识联系的深层次的理解是极为重要的.
在学习和研究新增内容中，多关注新增内容的“牵缠”“链接”，要充分发挥新增内容下的新的思维和新的空间.