为了帮助学生学会思考，请允许有争议的问题存在_数学论文

为了帮助学生学会思维，请允许争议题的存在，本文主要内容关键词为：思维论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      近段时间，媒体上出现了一些关于“难题”“神题”的报道.2014年5月7日《现代快报》有一篇报道《小学二年级数学题难倒副教授爸爸和工程师妈妈》，5月8日的《金陵晚报》又有一篇题目为《一年级神题：船上有13头牛、6只羊，请问船长年龄多大》的报道.还有前些年，崔永元在文章《当数学是灾难时》中所提到的、让他做噩梦的那道“神经题”：水池里有一个进水管，5小时可注满；池底有一个出水管，8小时可以放完满池的水.如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？虽然这些题都是小学数学题，但带来的批评之声可不少.

      作为教师，我们要理性看待这些批评，既不能不加分析地一味听媒体的，也不能一边倒地批评媒体不负责任，我们应该通过自己独立的分析，再结合其他观点，做出自己的判断与选择.下面，我抛砖引玉，从数学帮助学生学会思维这个角度，谈谈自己粗浅的、不成熟的想法.

      一、数学的抽象性让学生学会从具体到抽象

      数学最为重要的一个特征是它的抽象性，学习抽象问题是学校数学教育的必然选择和最终目标.当然，学生学习抽象的数学知识离不开实际问题，有时候，从实际问题到抽象问题之间必须有一个过渡，有人把它称为“具体的抽象”.一位杂志编辑认为：“‘边注水边放水’问题就是对诸如大城市、公园、广场、剧院、体育场、火车站、机场这些个别而具体的实际中出现的人流进出的现象的抽象……这个人人熟悉的中间模型比‘货币流动’问题、‘资本流入流出’问题等更容易让人懂.”它揭示了一种大家熟悉、易懂的动态平衡，因此这“实在是一个具有普遍性意义的好问题”.至于从这个中间模型最终得到一个什么样的数学模型，由于笔者水平有限，也说不出任何结论.但我想通过一个类似的问题，谈谈从实际问题通过抽象最终得到的一个数学模型.

      

      例1.一个人骑自行车过桥，上桥的速度为每小时12千米，下桥的速度为每小时24千米.上下桥所经过的路程相等，中间没有停顿.那么此人过桥的平均速度是多少？

      例2.一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？

      例3.某人沿电车线路匀速行走，每15分钟有一辆电车从后面追上，每10分钟有一辆电车迎面开来.假设两个起点站的发车时间间隔是相同的，求发车时间间隔.

      

      数学主要有两种价值：实用价值、思维价值.孰重孰轻，有时很难评判.数学的实用性可以使人们清楚地认识到数学是一种有意义的活动.但是，如果我们始终局限于某种现实必须存在的、有意义的情境中，而忽视数学最为重要的一个特征——抽象性，忽视理想化情境在抽象为模型的过程中所起的作用，那么，学生的思维就得不到训练与发展.从这个意义上讲，请允许让类似于“边注水边放水”这样理想化的问题存在，从理想化的问题抽象出数学概念、模型等可以帮助我们更好地研究和解决实际问题.

      二、归纳思想让学生学会如何得到新发现

      二年级数学题难倒副教授爸爸，这道题让二年级的学生去做是不太合适的，确实有点儿难度，放在三四年级可能是比较合适的.让我们来看看这道题：

      写几道进位加的算式，先把两个加数各位上的数相加，再把和的各位上的数相加，然后把相加后的两个和相减.例如：

      57+25=82 358+169=527

      5+7+2+5=19 3+5+8+1+6+9=32

      8+2=10 5+2+7=14

      19-10=9 32-14=18

      再写几道这样的算式，算一算，比一比，看有什么发现.

      这道题符合课程标准（2011）课程目标规定的“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”.教师出这道题的目的是：让每个学生经历“归纳—猜想”的推理过程.事实上，归纳推理是人类发现新知的重要思维方式，也是形成创造能力的根本.过去我们的数学教育忽视了这种能力的培养，副教授爸爸的朋友圈中很多人都做不出这道题，可以说明过去的教育在这方面的缺失.

      从这道题，我们至少可以归纳出以下四个猜想.为了更好地表达猜想，我们把一个正整数各位上的数之和称为这个整数的横加数.

      猜想1：不进位加的算式，两个加数的横加数之和与这两个加数和的横加数的差等于0.

      猜想2：只有一个数位上有进位时，两个加数的横加数之和与这两个加数和的横加数的差等于9.

      猜想3：只有两个数位上有进位时，两个加数的横加数之和与这两个加数和的横加数的差等于18.

      在上面猜想的基础上，进一步归纳出：

      猜想4：两个加数的横加数之和与这两个加数和的横加数的差是9的倍数.

      得到猜想以后，学生会提出问题：这些猜想是不是都成立？有没有反例？如果举不出反例，有没有方法证明它们是对的呢？等到学生学了同余知识以后，证明就比较容易.

      通过归纳发现新规律是有一定难度的，它需要我们有一定的洞察力.学生的洞察力可以通过训练来获得，但我们反对过早、过多的训练.

      三、反思是一种重要的思维品质，它会提高师生思维的深刻性

      最后让我们来看看一年级神题：船上有13只牛、6只羊，请问船长年龄多大？如果把这道题稍微改动一下，就成为：“一艘船上有26只绵羊和10只山羊，船长多少岁？”弗赖登塔尔就是用这道题在97名同学中做了一次调查，结果有76个学生算出了船长的年龄.为什么学生会发生这样的错误？主要原因是在他们的头脑中存在着某些“基本原型”.如：“红花36朵，白花10朵，一共有多少朵花？”总之，“老师出的题一定有答案”“这道题属于某个‘基本原型’”等错误认识有着十分深刻的认识论根源.对此，我们一方面要容忍这些错误的发生，因为它是思维发展的一个必然过程；另一方面要引导学生反思，自觉地实现观念的更新和知识的重构，提高思维的深刻性.

      面对不少同学通过自己的推理得到了船长的年龄时，我们教师也应该反思.弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书中指出：“很多丰富的背景在教学中并没有真正发挥作用，教师和教材更倾向于过早地干预，从而掩盖了而不是揭示和沟通了儿童和成人的现实之间的差别.”这些观点对于过分强调数学生活化的当前课堂教学是不是有一些启示作用呢？

      虽然这些争议题被议论了无数次，批评了无数次，但它们的存在确实可以让数学帮助学生学会思维，请留给它们一席之地.

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