多一张奖券 中奖概率翻倍吗——小议中奖概率与奖券总数的关系，本文主要内容关键词为：奖券论文,概率论文,翻倍论文,总数论文,关系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
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以上是某网站吸引人们参与活动的一个广告，其中涉及一些很有意思且容易答错的概率计算问题.这些问题的答案有些依赖于具体的抽奖模型.奖券总数的有限或无限，是区分这些模型的一个重要标志，也直接决定了问题的答案.类似的计算问题在中学数学中还有，甚至在高考题中都已有所涉及.下面笔者将一一展开.
首先，广告中声称的每多1个抽奖号码中奖概率翻倍肯定是不对的.因为如果这样，起始中奖概率就算只有百万分之一，那么只要多20个抽奖号码，中奖概率就会超过1，因为
这当然是不可能的.
但是，如果提问下述问题，回答起来可能就不是那么简单了.
问题一 有2张彩票中奖的概率，是有1张彩票中奖的概率的2倍，对吗？
《普通高中数学课程标准（实验）》［1］（以下简称《课标》）中提到，“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义.教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识（如‘中奖率为
的彩票，买1000张一定中奖’）.”
但是，从教学实践中可以发现，要达到《课标》的目标，并不是一件容易的事.实际上，即使是要解释《课标》中提到的错误认识，也不是那么简单.
问题二 中奖率为
的彩票，买10张的中奖率为多少？①
事实上，上述问题一和问题二的答案都依赖于具体的彩票模型.
模型一 已知某种类型的彩票，共10张，其中只有1张写有“中奖”字样.
模型一中，每张彩票中奖的概率都是，而问题一的答案：对；问题二的答案：100%.
实际上，对于模型一而言，如果有2张彩票，用A和B分别表示事件：对应彩票中奖，则A与B是互斥事件，从而有
因此有2张彩票时中奖概率是有1张时的2倍此时有2张彩票时中奖的概率也可以这样求：
在模型一中，如果有10张彩票，那么中奖的概率为100%是对的.
模型二已知某种类型的彩票，共20张，其中有且只有2张写有“中奖”字样.
模型二中，每张彩票中奖的概率还是，但是问题一的答案：不对；问题二的答案：
.
实际上，在模型二中，如果有2张彩票，用A和B分别表示事件：对应彩票中奖，则A与B不再是互斥事件，因此此时中奖概率的计算不是简单地加起来就可以了，而正确的算法应该是
P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）.
然而，这种计算方法中，P（A∩B）的计算是一个难点，因为事件A与B并不独立，不能使用公式P（A∩B）=P（A）P（B）去计算（这也是学生容易犯错误的一个地方），其实
当然此时有2张彩票中奖的概率也可以按以下方法得到：
模型二中，如果有10张彩票，用类似的方法可以算出中奖的概率为
模型三 已知某种类型的彩票，每卖出10张（称为一批）后，会随机确定1张作为中奖彩票.
模型三中，每张彩票中奖的概率仍是，但此时要回答前面的问题一和问题二，就比模型一与模型二要复杂一些.
实际上，此时问题一中的2张彩票，是否来自同一批非常重要.如果是来自同一批，那么解法与模型一中的一样，答案为：对；如果不是来自同一批，那么从2张彩票都不中奖入手，可知所求概率为
，即有2张彩票时，中奖的概率为
，所以答案为：不对.
同样的道理，此时问题二的解答中，10张彩票是否来自同一批也是非常重要的.当然此时可能的情况已经不止两种了，最极端的两种情况是：10张都来自同一批；任意两张都不是来自同一批.前一种情况的计算方法同模型一，后一种情况下，有10张彩票中奖的概率为1-
=0.651 321 559 9，约等于65%.
如果将模型三中的卖出10张确定1张作为中奖彩票，改为卖出20张确定2张作为中奖彩票，可以得到另外一个模型，但讨论的方式跟前面基本一致，这里不再详述.
值得注意的是，对于问题二而言，模型二和模型三（假设没有两张来自同一批）的解法中有一个非常重要的区别：前者是奖券总数有限的模型，而后者是奖券总数无限的模型.在模型二中，2张彩票各自是否中奖不是相互独立的事件，而模型三中，2张不是来自同一批的彩票，各自是否中奖是相互独立的.换句话讲，在模型二中不能得到这样的结论：两张彩票均不中奖的概率为
.
中学数学中，“无限”这一思维方式，虽然涉及的地方并不是特别多，但无疑是一个难点，也是高考中经常考查的［2］.对于概率统计中的“无限”而言，亦是如此.
以下是2010年全国统一高考广东卷第17题.
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495］，（495，500］，…，（510，515］，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率.
这个题中，第（1）小题是基本的，40件产品中重量超过505克的（以下简称“特殊品”）共有12件.但第（2）小题与第（3）小题之间的区别，就是“有限”与“无限”了.
显然，第（2）小题是超几何分布的一个实例，难度不大.Y的取值只能是0，1，2，而且容易算出
但有学生和老师曾经提出，第（3）小题能不能换个方法解呢？假设总体仍是40件，那么其中有特殊品12件，则从总体中抽取5件，恰有2件特殊品的概率是
他们觉得这样做也应该正确，理由是：在前面的假设条件下，每一件产品为特殊品的概率是没变的.
不难看出，这种解法错误的原因在前面已经提到过了：所含特殊品的概率不变，假设总体有限，将会改变任意两件产品是否为特殊品之间的独立性.第（3）小题正确解法的实质是5次独立重复试验，题目中的“从流水线”上这几个字非常关键.
而且，有意思的是，在上述提到的错误解法中，如果其他条件不变，而提高总体的数量，那么所得结果将会越来越接近正确答案，如下表所示.
这也充分说明了无限的情形可以用有限逐渐逼近.当然，上述表格的结果仅仅只是概率论中Poisson定理的实例而已.［3］
Poisson定理设随机变量ξ服从超几何分布H（n，M，N），则当N→+∞时，ξ近似地服从二项分布B（n，p），即N足够大时，有
这个定理表明，当总体足够大时，有放回的抽样和无放回的抽样相差很小.这也是符合我们的直观认识的.
总的而言，概率的相关知识离我们生活是如此的近，以至于大家都对概率知识有一定的认识，这种认识甚至也是教学过程中必须依赖的，比如，得出结论“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面出现的概率和反面出现的概率相等”的过程，更多的是依靠经验而不是推理.然而，也正是因为这些认识，会成为学生掌握和理解相关公理化知识的障碍.以上谈到的中奖概率计算问题只是其中一例.事实上，笔者曾在一个班（中等程度学生组成）做过试验，要求学生完成以下题目.
因此，怎样厘清概率论中经验与理论之间的关系，更好地借助学生已有经验来解释理论，实现《课标》中概率论的教学目标，可以说是任重而道远.
注释：
①为了计算方便，笔者有意压缩了题中的数字，下同.