论可能世界集合的封闭性与否定联结词的关系*，本文主要内容关键词为：封闭性论文,关系论文,世界论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引论
为什么语句p分别为真和假时，p的否定分别为假和真？这是一个古老的哲学问题（PLato，1937）。 本文试图通过研究经典否定词真值函项的哲学预设来解决这一问题。上述研究的动机是：在逻辑系统中，否定词是最基本的逻辑联结词，对它的哲学预设的研究将揭示逻辑系统的哲学基础，为构造新的逻辑系统提供直观背景和辩护的理由。本文的具体论述过程是：首先在经典命题可能世界解释理论的基础上，分析和讨论经典否定词函项所预设的条件，在此基础上提出封闭世界预设和开放世界预设；然后，根据开放世界即一个外延不完备的可能世界集合的特征，提出一种基于内涵的命题可能世界解释理论；最后，从这一命题可能世界解释理论和以上两个预设出发，分别证明一个非经典否定词真值函项和经典否定词真值函项。
1 命题的可能世界解释及其预设
让我们从命题的可能世界解释开始进入本文的研究主题。从逻辑的角度看，不同的世界由不同的个体集和性质集构成。遵从Leibniz 传统，本文将并非自相矛盾的世界定义为逻辑可能世界。因为所有逻辑可能世界的集合也是逻辑可能世界，不加限制地考虑所有逻辑可能世界集合将导致不合法集合；在本文中，逻辑可能世界的集合不包含由逻辑可能世界的集合构成的元素。根据命题的可能世界解释，任一语句p 表达命题[p]，[p]是一个可能世界集合W的一个子集，否定p（记为p ）表达命题[p]在可能世界的集合W中的补集W—[p]（记为[p]，称为命题[p]的否定或否定[p]）。按照R.Stanlnaker（1979）的用语， 可能世界集合[p]确定的性质称为命题的内涵，[p]中的所有元素称为命题的外延。语句p在可能世界W中的真值取决于w与[p]的关系：p在w中为真当且仅当w∈[p]。由于对于任一w，w或属于某一可能世界集合或不属于该集合，语句只取真假二值。因此，否定词真值函项可表述为：p 为真当且仅当p为假。
根据上述真值定义，如果以上否定词真值函项成立，那么，对于任一可能世界w，w∈[p]或[p]，即W 恰包含（满足某一组条件的）所有的可能世界，其中[p]∪[ p]＝W；反之亦然。因此，在命题的可能世界解释之下，经典否定词函项成立当且仅当W 被预设为恰由所有的可能世界组成的集合。这一结论可容易地推广至命题定义在满足某种条件的可能世界集合上的情况，显然，如果放弃上述预设，那么在经典逻辑的范围内讨论语句的真值便是不可能的。
但是，我们始终可以问：何以可能确定一个恰由所有满足某种条件的世界构成的集合。当我们试图证明某一逻辑系统中的某一定理时，一般说来并不需要讨论诸如此类的逻辑哲学问题。但当我们试图探讨某一逻辑系统的哲学基础或构造某一逻辑系统去描述某一类现象时，则必须回答这类问题。
2 可能世界集合的不可穷举性
概括原则似乎对上述问题提供了明确的回答。根据这一原则，一组明确表达的条件（类似地，称之为集合的内涵）确定一个集合，该集合恰包含所有满足这组条件的元素（称之为集合的外延）。但是，概括原则本身并不包含列举满足某组条件的元素的方法，也不要求后者的存在。一般而言，集合的内涵仅仅表明集合的元素应具有的性质，元素应具有的性质并不等价于列举它的方法。事实上，列举方法的存在依赖于集合内涵本身，相关理论和背景条件。例如：若将列举解释为递归可枚举，那么存在递归不可枚举集；若将列举解释为经验科学或日常生活中可实行的选取或区分，那么至少目前无法列举由“球外文明”这一条件定义的集合的元素；而“肯尼迪家族的仇人”这样的性质所确定的集合便是未被穷举的。因此，当集合通过概括原则确定时，它具有明确或清晰的内涵，但它的元素并未被列举出来，它的外延仅仅是虚拟的。
虽然我们可以讨论这样一类集合：它们具有明确的内涵，而外延是虚拟的。但是，从认知和逻辑两个方面看，如此这般的讨论仅涉及到一些仅在标记上有所不同的符号，讨论的结果并不允许对符号之外的对象有所断定，因而缺乏认知意义。另一方面，相对于本文讨论主题而言，上述结论意味着：当W或它的某个子集的外延虚拟时，命题[p]外延是虚拟的。由此，定义在这一类外延虚拟的可能世界集合上的命题不具有明确的意义。因此，我们拒绝运用概括原则解决上述问题。
显然，如果能够根据集合的内涵恰好列举出一个集合的所有元素或每一个元素，由此产生的集合具有明确的内涵和完备的外延。例如：递归集便是这样的集合，其中枚举函数就可视为集合的内涵。类似地，如果能够根据命题的内涵恰好列举出它的所有元素或每一个元素，那么第1节末提出的问题便可以保证命题认知意义的条件下正面地解决。 因此，上述问题可表述为：何以可能列举一个可能世界集合的所有元素或每一个元素？简称为可能世界穷举问题。
G.Shackle（1949，1961）在分析决策问题时， 首先认识到与上述问题相关的一个困难。他（1961,p.9;1979,pp.5—6 ）指出：竞争行动方案间的选择依赖于对它们可能导致的后果的估计；但是，决策者没有足够的时间和完全的知识去列举行动的所有可能后果，以至于真正的后果不一定包括在已列举的可能后果之中，更一般地说，若将行动方案和它的实施环境视为一组条件，将它们可能导致的后果视为可能世界；那么，根据这组无法穷举满足它的每一个可能世界。这一论断得到了认知心理学有关解空间搜索分析的支持（R.Anderson,1985）。
从可操作性方面看，如果上述问题要得到肯定的解决，我们必须能够列举每一个满足无矛盾性条件的世界或列举满足某组给定条件的可能世界。然而，一般地说这些都是不可能的。因为，若要列举每一个可能世界，则必须能够列举不同个体集和性质集的每一成员。否则，可能世界的结构是不明确的，不可能对它们作出区分，从而穷举它们。但是，我们甚至无法穷举现实世界的每一个体和性质，当然无法穷举所有可能世界。进一步，如果无法穷举所有可能世界，当然无法穷举满足某组给定条件的所有或每一个逻辑可能世界。以上结论不仅归因于时间限制，而且归因于认识能力。因此，一旦考虑到列举的可操作性，可能世界穷举问题不可能被正面地解决。
从逻辑学的角度看，“如果W是所有可能世界组成集合，那么W是可列举的”这一陈述不是重言式。因为该蕴含式的前件表达了集合内涵的特征，后件表达了集合外延的特征；同时，对列举可操作性的研究表明：前者不能决定后者，两者之间没有逻辑蕴含关系。显然，它的否定也不是永假式。因此，单纯从逻辑公理出发既不能证明这一陈述，也不能否证它。可能世界穷举问题在逻辑学范围内不可解。然而，这并不意味着它在局部范围内不可能正面地被解决。事实上，在经验科学，决策论和日常推理中，常见的情况是：尽管当事人明确地知道某一集合的外延是不完备的，但是他理想地假定了外延的完备性；另一种常见的情况是：人们时常基于某种非逻辑假定，通过某种推理方式将某一个可能世界集合视为外延完备的集合，即它恰包含满足某种条件的所有或每一个可能世界。这一看法的局部性可从它的产生方式中得到阐明。一方面，从逻辑的观点看，结论来自论证，作为结论，一个可能世界的集合可表示为一个析取式，每一析取肢表示某一个可能世界；而论证的方法无非就是归纳和演绎。因此，只有在假定论证有效／可靠且前提为真的条件下，才证明集合的明确性。另一方面，不论归纳和演绎，它们的结论都是可错的；前者的可错性主要归之于论证方式的有效性问题，后者归之于附加前提的真实性问题（参见鞠实儿，1993第1章）。显而易见， 无论哪一种局部解决方案只能保证可能世界集合部分地被列举，而不能保证被穷举。
综上所述，从整体上正面解决可能世界集合外延的穷举性或外延的完备性问题是不可能的，可能世界集合只能是局部被列举或具有外延局部完备性；这就是说，始终可能存在着一个未被列举的元素，该元素应属于该可能世界集合。我们称这类内涵明确外延不完备的可能世界集合为开放世界，以下研究定义在开放世界上的命题的集合论和逻辑学特征。
3 开放世界预设下的否定
令W为任一开放世界，它的内涵记为W。由于W的开放性，根据性质p不能穷举所有或每一具有该性质的可能世界。令[p]为W上所有具有p性质的可能世界的集合，根据经典命题可能世界解释理论，[p]定义在W上的命题，它的内涵记为p；否定命题[p]＝W－[p]的内涵记为p。 如所知，“非p”表示负性质或负条件， 它只能表示集合元素不具有的性质，而不能表示它们应具有的性质，从而不能明确地表示命题的内涵（参见普遍逻辑中关于负概念的讨论）。因此，本文限定p 不表示负性质。例如：设“p”表示性质“大于0的有理数”，“p ”表示的不是性质“非大于0的有理数”，而是性质“小于等于0的有理数”。根据外延不完备集合的性质，可能存在一个世界w，w具有W性质，但它不属于W。否则，W就是完备的。由于[p]／[p]是W的子集，故上述w既不属于[p]也不属于[p]。进一步，对于该w与性质p和p的关系，只存在着两种可能性：w具有p或p性质；w既不具有p性质也不具有p性质。正是后一种可能性，使得定义在W的命题具有与众不同的逻辑性质。
上述第二种可能性并不是逻辑的虚构。事实上，从认识论的角度看，由于W是开放世界，[p]和p的形成，以及根据它们在W上的划分等并未考虑到所有具有W性质的元素，并未对W之外的元素及其性质有所认识。因此不能排除具有W性质但不具有p或p性质的元素的存在。其次，从本体论的角度看，如果将W视为一个不断扩充的整体，那么， 同样不能排除具有上述特征的新元素的存在。最后，从逻辑学的角度看，上文对可能世界穷举问题局部可解性的讨论蕴含着如下结论：论证可能世界集合完备性所使用的前提和论证方式不但不保证可能世界集合的完备性，而且对W之外的可能世界的性质没有任何约束。 下文的事例将对第二种可能性作一直观的说明。
为了进一步研究开放世界的逻辑性质，根据上文的结果，我们引入下述两预设。设W是一个开放世界，W是它的内涵；[p]和[p]部分地定义在W上；p和p分别是[p]和[p]的内涵，两者互不相容。
根据开放世界预设，对于任一开放世界W，可能存在着可能世界w，w具有W性质，但w既不具有p性质，也不具有p性质。因而， 它既不属于[p]也不属于[p]。根据命题的可能世界解释，此时，语句p和p两者在w中同时为假。更进一步， 由于可能存在着具有上述性质的可能世界，当某一个可能世界不具有p性质，因而不属于[p]时，我们并不能从中推出该可能世界一定具有p性质且属于[p]；换一句话说， 语句p为假时，语句p不一定为真，或p的真值不确定。一个有趣的例子可以帮助我们直观地理解这一开放世界的逻辑特征。例 校园内发生一起谋杀案，嫌疑犯特征明确。不过，由于取证和其它技术方面的困难，警察无法列举出所有涉嫌人员的名单。进一步的证据表明，名单中的某些人不是凶手（断定这些人为凶手的语句为假）。但是，对于真凶是否隐藏在其余涉嫌人员之中，警察依据上述三个预设分别作三个判断：（1）根据开放世界预设，至少存在一个涉嫌人员没有列入名单，他可能不具有其余涉嫌人员共有的特征；因此，虽然有理由增强对其余涉嫌人员的怀疑，但仍然无法断言凶手必在其中，应该继续寻找新的疑点。（2）根据弱封闭世界预设， 至少存在一个涉嫌人员没有列入名单，但他不可能不具有其余涉嫌人员共有的特征；因此，虽然无法断言凶手必在其中，但应该继续寻找具有相同特征者。（3 ）根据强封闭世界预设，所有的涉嫌人员皆列入名单之中，凶犯一定隐藏在其余涉嫌人员之中；因此，应该对其余人员逐个调查逐个排除，最后的剩余者将作为凶犯被起诉。如果您是警察，您采用哪一个判断？
4 一个非经典的否定词真值函项
本节将以定理的形式给出一个非经典的否定词真值函项，从而描述满足开放世界预设的可能世界集合的逻辑特征。
在以上的讨论中，我们使用了传统的命题可能世界解释理论。该理论的关键是将命题视为一个可能世界集合，或通过可能世界集合的外延定义命题。但是，开放世界本身及其定义在其上的命题的外延是不完备的，而不完备的外延是对命题不完备的描述。另一方面，开放世界及其定义在其上的命题的内涵是明确的。在此条件下，有必要修改传统理论，使用可能世界集合的内涵来定义命题。根据概括原则，一组性质决定一个可能世界集合；同时，为了避免集合的虚拟性，保证命题的认知意义，以及恰当地描述开放世界的逻辑和集合论特征，我们要求可能世界集合的元素必须具有可列举性。事实上，如果我们对可能世界集合元素的可列举性不作任何要求，那么就不能避免集合的虚拟性；进一步，如果要求可能世界集合的元素必须是已列举的，那么就不能允许存在着可能世界w，w具有W性质，但它既不具有p性质也不具有p性质。因此，本文将命题定义为：依据性质p可列举的（可能）世界的集合[p]；对于任一个可能世界w，w∈[p]当且仅当w被列举且被判定具有性质p；语句p表示命题[p]，p在w中为真当且仅当w∈[p]。
根据以上定义和开放世界预设，我们将给出一个定理，该定理表达了开放世界的逻辑特征。设W[*]为所有可列举的且具有W 性质的可能世界的集合，
证明 根据引理2和4直接可证。
本文第1节的结论、引理2和4分别讨论了虚拟可能世界集合、 已列举可能世界集合和可列举可能世界集合与经典2 —值逻辑否定词真值函项的关系，定理2将上述讨论推广至3—值逻辑的场合。它们的结论表明：命题定义在其上的可能世界集合的封闭性是经典2—值逻辑和规范3—值逻辑的否定词真值函项成立的充要条件。这一条件严格地阐明了这两类否定词真值函项的哲学预设和合理性条件。通过引入开放世界预设，引理1表明：一旦削弱封闭性条件， 否定词真值函项就表现出非经典的特性，而这一特性只有在3—值逻辑的范围内才能充分地被表达。 值得注意的是：定理1恰恰给出了它的一种表达方式。 由此本文完成了它的主要工作。
最后，定理1 的结论使得我们有可能发展出一种基于开放世界预设的3—值逻辑系统。本文的后继论文（鞠实儿，1997 ）将致力于实现这一可能性。* 本文写作过程中，作者曾与美国哥仑比亚大学的I.Levi 教授和A.Variz教授，以及中山大学的倪德明博士和周青博士讨论有关问题，在些谨表谢意。