中学数学应用数学史实教学的一些建议，本文主要内容关键词为：史实论文,应用数学论文,中学数学论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
目前在数学史与中学数学结合方面，可供选择的教学方案还不多.本文给出了在数学新概念的入门教学中运用数学史实的一些建议.
1.用猜数游戏和速算原理引入整式运算
用字母代替数的过程在历史上持续了上千年的时间，这说明人们接受代数字母是极不容易的.初中的学生很可能不知道为什么要用字母来代替数.古代的猜数游戏和乘法速算原理可以帮助学生理解这一点.这两个例子都与我们使用的十进制数系有关，例如一个二位数（正整数）可以表示成10a+b的形式.有这样一个猜数游戏：要你先认定一个二位数，然后要你将该数的十位数乘以5，加上7，2倍之，加上该数的个位数，并告诉我最后的结果，我悄悄地从此结果中减去14，就得原数（伊夫斯《数学史概论》）.这种初看上去很神奇的猜数游戏是很适合作开场白的.这种猜数本领一旦用代数字母来解释就平淡无奇了：2（5a+7）+6=（10a+b）+14.字母同样也可以说明各种速算原理.例如，两个二位数相乘，如果它们的十位数相同，个位数之和等于10，那么把十位数乘上比它大1的数，并在后面跟上两个零再加上两个个位数的乘积，就是原来的这两个二位数的乘积.这个方法的原理是：（10a+b）（10a+c）=100a[2]+10a（b+c）+bc=100a（a+1）+bc.类似的方法还有（10a+5）[2]=100a（a+1）+25等，后者可以用于引入完全平方公式（笔者记得自己在学生时代第一次看到这些有关速算的推导时，对代数的作用深感佩服）.
2.用几何图形验证整式乘法公式
课本上用几何图形的面积割补来表示完全平方公式是非常好的.古时候的人们习惯以线段代替数，用正方形表示平方，用正方体表示立方.他们总是用面积或体积的割补来表达相关的运算规律（即公式）.这种表达可以帮助学生理解公式的内涵.教师可以进一步补充其他公式的图形表示.例如，用一个大正方形割去位于一角的小正方形而得到一个L形图形，然后进行一次简单的面积割补就可以用来验证重要的平方差公式.又如文艺复兴时期的卡尔达诺在用“三维配方法”解三次方程之前，先用正方体体积割补的方法证明了关于（a±b）[3]的两个公式（割补的方法与平面的情形完全类似），然后再利用这两个公式来求解三次方程.这一割补过程也可以向学生介绍.
3.怎样理解无理数与二次根式的运算
当今天的学生在计算器上轻松地得到
可以说，古希腊毕达哥拉斯的苦恼就在于此.因此，从古至今，人们对付无理数的主要方法就是用无理数的近似值来代替无理数本身.除了让学生用计算器验算平方根的近似值（如1.414[2]=1.999396）外，手算也是理解无理数近似值的好方法.如果嫌以前课本中的开平方的笔算求法（也就是古希腊西翁的方法）太繁的话，可以介绍古代数学家曾经用过的近似公式：
要比
更精确.
4.关于一元二次方程的教学
中世纪的阿拉伯数学家花拉子米用一种图解法求出方程x[2]+10x=39的正根为3，其主要想法还是用几何图形的面积来表示方程中含字母的项，由此生动形象地提示了配方法的内涵，所以很值得向学生介绍.此外，古代印度数学家的配方方法也很有趣：在ax[2]+bc+c=0的两边同乘以4a再配方后得（2ax+b）[2]=b[2]-4ac，然后开方得求根公式.这个方法有两个优点：一是判别式是怎么来的看得比较清楚（菲尔兹奖得主芒福得曾经说过这样的话：“对于我来说，b[2]-4ac至今仍像是个死记的偶像”）；二是在课本上的求根公式推导过程中，b[2]-4ac/4a[2]开平方后分母中含有绝对值，而这里就没有这个麻烦.
5.用正多边形引入平面几何基本概念
在开始教平面几何时，如果没有一定数量的直观实验几何的材料，则在介绍平行线、圆对称、平行四边形、全等三角形和相似三角形等基本几何概念与性质时，就会使学生感到空洞和乏味.在这方面，古代数学家经常研究的正多边形和镶嵌（也称铺地砖）问题是极好的教学材料.几乎所有的平面几何基本概念都可以在这里找到原形.例如，在作正五边形时要用到圆，而据此所作出的美丽的五角星中，又含有等腰三角形、相似三角形和黄金分割.把这么重要的内容放在初三快结束时才讲，好象是太晚了.又如，毕达哥拉斯可能是通过观察铺满平面的正方形而发现毕氏勾股定理的，在《名师授课录（中学数学）·初中版》中可找到将此发现过程用在教学中的一个很好教案.
6.关于论证几何入门教学
在中学数学的所有内容中，平面几何是最为古老的.然而，平面几何也是一座巨大的人造迷宫，容易让人迷失方向.因此，在论证几何教学中必须抓住一条主线—全等三角形.欧几里得的天才在于他选择了全等三角形作为论证的基本要素，他对“等边对等角”和毕氏勾股定理的证明已经成为经典.要让学生知道，论证就是一种说理游戏，其规则是“言必有据”.
7.关于相似三角形入门教学
相似三角形的基本性质是对应边长成比例.生活在三千年前的巴比伦人就已经知道这一性质，如果等到初三才让学生知道也许太晚.实际上，在初二学习的正比例函数是对相似直角三角形对应边成比例这一性质所作的抽象.因此，在讲正比例函数之前，可先介绍相似直角三角形及其性质.在引入相似直角三角形时，最好的例子莫过于古希腊泰勒斯测量金字塔的高时所用的方法.
8.关于三角恒等式的入门教学
三角学其实是相似三角形理论的延伸.三角函数虽然有六个，但本质上只有一个函数，即正弦函数.三角学的全部精华在于：只要有了一张正弦函数表，就可以解决所有的三角形边角计算的问题.这充分显示了古代数学家的聪明才智.三角恒等式最早就是为了制表而产生的，例如，两角和与差的正弦公式和半角的正弦公式在古希腊托勒密的制表工作中就已经反复使用.我们今天所讲的例题“求sin75°和sin15°”，实际上就是在重复托勒密做过的事.因此，如果让学生自己来编制一张简易的三角函数表（例如在霍格本《大众数学》上册里有一张间隔为7.5°的三角函数表），想必会对三角恒等式的实际用途有所体验.另外古代数学家证明三角恒等式的平面几何方法也富有启发意义，例如，韦达就是用这种方法推出正弦函数的和差化积公式的.虽然这种证明方法会对角的范围有所限制，但由于三角函数具有良好的对称性和周期性，这种证明还是可以被认可的.
9.用简化乘除的问题引入对数的概念
在计算手段十分落后的十六世纪，迫切需要解决简化乘除计算的问题.纳皮尔以其惊人的把相乘转化为指数（也就是对数）相加的天才想法震动了科学界.后来的布里格斯又把纳皮尔的对数简化为以10为底数的常用对数，常用对数的优点是对数表比较容易制作，并因此才得到推广.在引入对数时，可以先讲常用对数.具体步骤是：在介绍了历史上的简化乘除问题之后，详细解释由布里格斯制作的常用对数表的含义及用法，例如17.96和0.08304的常用对数分别是1.2543和-1.0807，这样，两个数相乘就可以转化为两个常用对数相加：17.96×0.08304=10[1.2543]×10[-1.0807]=10[0.1736]=1.491（最后那个数字也可在常用对数表上查到）.等学生仿此多算几个实例后，这时再给出常用对数的概念与记号就顺理成章了，并且还容易看出对数的主要性质：lgMN=lgM+lgN.讲完常用对数后，教师再强调指出：以上这两个数的相乘也可以通过以其他不等于1的正数（例如2）为底数的对数来完成：17.96×0.08304=2[4.1667]×2[-3.5900]=2[0.5767]=1.491.由此也可引入一般的对数概念与性质.
10.关于解析几何的入门教学
十七世纪的笛卡儿是在试图解决一个古希腊留下来的很难的几何轨迹问题的过程中发现解析几何方法的.受此启发，我们可以用一些比较繁的平面几何的求证问题（例如三角形三中线交于一点和九点圆定理等）来引入直线与圆的方程，目的是用坐标方法重新证明这些命题.为此要讲中点公式，推导直线和圆的方程，用斜率重新描述平行与垂直，把求三角形的高转化为求点到直线的距离.学生将看到新的坐标方法的优点是不需要任何技巧，只要按部就班地进行计算就可以得到结论.另外值得一提的是，向量近年来被引进中学课程.在历史上，向量的概念来自于复平面，它浓缩了解析几何的精华.因此，解析几何中的一些方程和公式也可以用向量来推导（如直线方程和点到直线的距离公式等），这样做可能有助于学生对向量的理解.
11.关于组合数与二项式定理的教学
课本上先讲组合数，然后用它表示二项式定理.然而也可以用二项式定理来引出组合数的概念，这样更自然、更符合历史发展的顺序.教学方案是：先对较小的n写出（a+b）[n]的展开式，然后归纳出“杨辉三角”（即帕斯卡三角），其中的数都是组合数，再解释组合数的含义，给出记号C[m][，n]推导组合数公式，最后从“杨辉三角”图中可看出
和其他一些规律，接着证明这些规律.
12.怎样引入复数的概念
在历史上，从自然数到复数的三次数系扩展中，最后一次最为艰难.现在的学生难以理解象复数这样的抽象代数系统是毫不奇怪的.在十七世纪，人们发现，如果承认复数，则一元代数方程根的个数就与方程的次数相同.从此以后人们就不那么排斥复数了.这个历史经验可以提供回答学生提出的“为什么要有复数”这一问题的策略.具体的教学方案如下.用卡尔达诺曾经考虑过的方程x[2]-10x+40=0的求解问题来引入.尽管这个方程没有实根，但我们可以象
称为纯虚数.这样，方程的解都可以写成a+bi这种形式，其中a和b都是实数.这种由实数与纯虚数“复合”起来的“数”就称为复数.复数可以象实数那样进行四则运算，并且实数集包含在复数集中.学生应当能够明白：有了这种想象出来的复数，任何一个一元二次方程总有两个根，这个简单而整齐的结论对应了“任何一个一元一次方程总有一个根”这样的结论，而如果没有复数，则一元二次方程的求解理论是不完善的一要时时检查判别式是否小于零.