中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715（2018）04-0015-03
微积分思想和方法毫无疑问是思考物理问题和解决物理问题的重要方法。高中物理教材（人教版）中虽然没有直接应用导数、积分等数学公式解答问题的例题，但在教材中多个地方都介绍了极限方法、积分思想，也就是教师和资料中常说的“微元法”。应用“微元法”这一重要思想解决问题，高考中也多次考到。 本文谈谈个人在教学中的一些体会。
首先要在教学实践中要像重视培养学生“列方程、求解”一样去培养学生的“微积分”思维，因为学生在高中阶段物理学习的过程当中，无论是从培养思维能力，还是训练应对高考答题，理解“微元法”并掌握应用“微元法”去解决问题都很有必要，而从学生进入大学后的学习远景来说，更是必要。
其次在教学时要讲清“微元法”的核心思想，“微元法”的核心思想就是通过针对时间和空间所进行的限制，采用“逐步逼近”的方法，将发生变化的事件或过程转变为稳定的时间和过程，达到“化曲为直”、“化变为恒”的目的。即“增量无限趋近于零，则割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，如此就能以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分思想和方法的精髓所在。
再次要主动帮助学生梳理归纳常见的“微元”情景。高中常见的微“元”有：元质量、元时间、元力、元位移元、元电荷、元电流、元冲量等，涉及到求瞬时速度、变力的功、变力的冲量等许多问题、近年高考中表现为更复杂综合问题的解决。
最后是要引导学生构建应用“微元法”的解题的一般思路。使用“微元法”来解决高中物理问题的思路，就是从局部进行思考，再将自己所思考的答案放到问题的整体之中。简单地说，第一步，就是先把所讨论的物理对象分解为若干个元，答题者选择其中具有代表性的部分进行分析，也就是人们常说的以小见大。常见的解题步骤为：针对研究对象进行判定；分析“元”的运动过程；开展叠加并进行求解。
下面举几例应用“微元法”的解题的实例供参考。
例1、（2008上海）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，（g取10m/s2），试根据图像求：
（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。
（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。
解析：（1）从图中可以看出，在t＝2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为
m/s2=8m/s2
设此过程中运动员受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律，有mg－f＝ma得f＝m(g－a)＝80×(10－8)N＝160N
（2）从图中估算得出运动员在14s内下落了: 39.5×2×2m＝158m
根据动能定理，有
所以有 ＝（80×10×158－ ×80×62）J≈1.25×105J
（3）14s后运动员做匀速运动的时间为： s＝57s
运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间：t总＝t＋t′＝（14＋57）s＝71s
此题本质是利用课本中v-t图象中“面积”的物理意义求位移大小，但操作中突破了“规则”图形的限制; 同是在2008年，江苏高考试题中出出现了利用“微元法”求解的考题，与例1不同的是，它更侧重计算；而且此方法在江苏2009年高考题再次出现，显示命题人对这一方法的重视。
例2、（2008江苏）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为 ，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2，两根质量均为m、有效电阻均匀为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g）
（1）若d进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能 .
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域;此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域.且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求a穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q.
（ 3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v.
解析：(1)a和b不受安培力作用，由机械能守恒知，
……①
（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2，由能量守恒知，
在磁场区域中， ……②
在无磁场区域中， ……③
解得Q=mg(d1+d2)sin ……④
（3）在无磁场区域
根据匀变速直线运动规律v2-v1=gtsin ……⑤
且平均速 ……⑥
有磁场区域棒a受到合力F=mgsin -BIl ……⑦
感应电动势 =Blv ……⑧
感应电流I= ……⑨
解得F=mgsin - v ……⑩
根据牛顿第二定律，在t到t+ 时间内
……（11）
则有 ……（12）
解得v1=v2=gtsin - d1 ……（13）
联列⑤⑥(13)式，解得
由题意知，
例3、（2009年江苏卷）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 ，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“ ”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d <L），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。
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求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm=?
解析： (1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W，由动能定理
且Q=-W，解得
（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d
由动能定理
装置在磁场中运动时收到的合力
感应电动势 E=Bdv
感应电流 I/=E/R
安培力
由牛顿第二定律，在t到t+ 时间内，有
则
有
解得
（3）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动
由动能定理
解得
在高考试卷中出现明确的对学生“微元法及微积分思想”掌握情况的考查，上海江苏开了先河，此后全国卷中也开始出现，类似问题出现在2013年全国I卷和2016年全国I卷中。
例4、（2013全国新课标I）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为c。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B．方向垂直于导轨平面。在导轨上放置质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求(1)电容器极扳上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系：(2)金属转的速度大小随时间变化的关系。
解析：（1）设金属棒下滑的速度大小为v,则感应电动势为E=BL v …… ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U=E …………②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有 …………③
联立①②③式得 Q=CBLv …………④
(2)解法一：动力学观点
设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为fi=BLi …………⑤
设在时间间隔（t,t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，按定义有 …………⑥
△Q也是平行板电容器在时间间隔（t,t+△t）内增加的电荷量。
由④式得△Q=CBL△v …………⑦，式中△v为金属棒的速度变化量。
按定义有 …………⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2=μN…………⑨，式中N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N=mgcosθ……………… ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a,根据牛顿第二定律有
mgsinθ- f1- f2=ma………… ⑾
联立⑤至⑾式得 …………⑿
由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。t时刻金属棒的速度大小为 ………… ⒀
解法二：动量观点
设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t。通过金属棒的电流为i，i=
由动量定理，有mgsinθt- μmgcosθt- =m ,其中 =BLQ=CB2L2v,解得
例5、（2016全国新课标I卷）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为 的喷口持续以速度 竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于 ）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ，重力加速度大小为 ，求：(i)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(ii)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
【解析】(i)在一段很短的 时间内，可以为喷泉喷出的水柱保持速度 不变。
该时间内，喷出水柱高度： …………①
喷出水柱质量： …………②
其中 为水柱体积，满足： …………③
由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为
(ii)设玩具底面相对于喷口的高度为，
由玩具受力平衡得： …………④
其中， 为玩具底部水体对其的作用力。由牛顿第三定律： …………⑤
其中， 为玩具时其底部下面水体的作用力， 为水体到达玩具底部时的速度，
由运动学公式： …………⑥
在很短 时间内，冲击玩具水柱的质量为 ， …………⑦
由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有: …………⑧
由于 很小， 也很小可以忽略，⑧式变为： ……⑨
由④⑤⑥⑦⑨可得：
以上实例均为高考真题，从中我们不仅可以体会到微积分思想方法在解题中的重要作用，掌握应用微积分思想和方法解题的思路和技巧，而且可以清楚的看到，近期的高考命题，命题人是十分看重中学生对“微积分思想和方法”掌握和应用，并把它作为考查学生物理学科素养和选拔优秀学生的重要题型，值得广大物理教师和高中学生重视。
论文作者:龚万钟
论文发表刊物:《基础教育课程》2018年4月08期
论文发表时间:2018/5/18
标签：磁场论文; 金属棒论文; 导轨论文; 区域论文; 大小论文; 水柱论文; 速度论文; 《基础教育课程》2018年4月08期论文;