解答排列组合应用题的常用方法，本文主要内容关键词为：应用题论文,常用论文,排列组合论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解答排列组合应用题有哪些方法呢?首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)问题还是组 合(无序)问题，抑或是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理 地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须 满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特 征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分 步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉 ，有机结合，可以是类中有步，也可以步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排(组)分清；合理分类，用准 加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解， 检验真伪。
下面对几种典型的排列组合应用题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。
一、特殊优先，一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元 素优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个?
解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位位置有A[2][,4]个，0在十位位置 有A[1][,2]·A[1][,3]个；第二类，不含0，A[1][,2]·A[2][,3]个。
故共有(A[2][,4] + A[1][,2]A[1][,3]) + A[2][,3]A[1][,2] = 30个。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A[2][,4]个；第二类，0不在个位， 先从两个偶数中选一个放在个位，再选一个数学放在百位，最后考虑十位，有A[1][,2] A[1][,3]A[1][,3]个。
故共有A[2][,4] + A[1][,2]A[1][,3]A[1][,3] = 30个。
练习1 (89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有____个(用数字作答)。
答案：36
二、排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒 的放法有几种?
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C[2][,4]A[3][,4] = 144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不 重复的有多少个?
答案：有C[3][,4]C[2][,3]A[5][,5] = 1440(个)
三、元素相邻，整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与 其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法?
解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列，同时，3个女生自身也应全 排列，由乘法原理共有A[6][,6]·A[3][,3] = 4320种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种?
答案：A[4][,4]·2[4] = 384(种)
四、元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法?
解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A[5][ ,5]A[3][,4] = 2880种排法。
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔 的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握 准。
练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种?
答案：2A[4][,4]·A[4][,4]
例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏路灯，但不能 同时关掉相邻的两盏路灯，也不能关掉两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种?
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的 即可，有C[3][,5]种。
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法?
答案：C[3][,8]。
五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排列数，或先 在全部位置中选出定序元素的位置不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好 定序的元素，再一一插入其它元素。
例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况?
附图
六、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可选按制约条件“组团”， 视为一个元素再与其它元素排列。
例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手 之间有两名男歌手，则出场方案有几种?
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A[2][,4]A[2][,2]种方 法，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列，有A[3][,3]种方法，由 乘法原理，共有A[2][,4]A[2][,2]A[3][,3] = 144种出场方案。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?
答案：A[2][,2]·A[4][,4]
七、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入 ，必须先分堆再排入。
例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一人，有几种不同的分配方法?
解：先把5位老师分成3堆，有两种分堆方法：
附图
八、相同元素进盒，用档板分隔
例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法?
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同 的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“ 档板”分成5格(构成5个盒子)有C[4][,9] = 126种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法?
答案：C[9][,11]
九、两类元素的排列，用组合选位法
例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法?
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。 故有C[3][,7] = 35种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号?
答案：C[2][,5]
例11 沿图中的网络线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条?
附图
解：每一种最短走法，都要走三段“｜”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序 的排列问题，故有C[4][,7] = 35种走法。
例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法?
解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子) ，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“挡板 ”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有C[4][,14] = 1001种选法。
练习11 (a + b + c + d)[10]的展开式有几项?
提示：因为每一项都是由a，b，c，d中的一个或多个相乘而得到10次式，所以可以看 成10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C[3][,13]项。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不 同的放法?
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求)，再把9个球放入3个盒内即可， 可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题)，有C[2][,11] = 55种。
十一、多类元素组合，分类取出。
例14 车间共有11名工人，其中有4名是车工，5名是钳工，A、B二人能兼做车钳工。 今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法?
解：不同的调法按车工人数分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳 工，从A、B中调1人作车工；第三类调2车工4钳工，把A、B二人作为车工。故共有C[4][ ,4] + C[4][,7] + C[3][,4]C[1][,2]C[4][,6] + C[2][,4]C[2][,2]C[4][,5] = 185种 不同调法。
注：本题也可按钳工人数分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂。
练习12 求无重复数学的六位数中，能被3整除的数的个数。
提示：因为能被3整除的数，它的各位数字之和能被3整除，所以将0，1，2，3，4，5 ，6，7，8，9这十位数字按被3除所得的余数分成四类，并将每一类所选取的个数列表 如下：组别
各组中所选数个数1、4、7
3
3
0
2
3
2
1
02、5、8
3
0
3
2
0
2
1
33、6、9
0
3
3
2
2
1
3
20
0
0
0
0
1
1
1
1
附图
相加得150种不同取法。
练习14 在无重复数学的三位数中，能被3整除的数有多少个?
答案：228个
十二、正难则反，间接处理
对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制 条件的排列，再减去其反面情况的总数。
例15 编号为1、2、3、4、5的五人入坐编号也为1、2、3、4、5的五个座位，至多有2 人的编号与座位编号一样(称为对号)的坐法有几种?
解：问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一人对号；有且仅有两人对号。这 三种情况都较难处理。而反面只有两种情况：全对号(四人对号时一定全对号)；有且仅 有3人对号。而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人(有C[3][,5]种) ，使他们对号入座，其余两人不对号入座(有1种入座法)即可，由加法、乘法原理得反 面情况共有1 + C[3][,5]·1 = 11种。
五人全排有P[5][,5]种。
所以满足要求的坐法种数为P[5][,5] - (1 + C[3][,5]·1) = 109。
练习15 图书室新到20本不同的书，某老师要借其中的5本，但3本字典至少留1本不借 出，问有多少种不同的借法?
提示：分三类得解，共有C[5][,17] + C[1][,3]C[4][,17] + C[2][,3]C[3][,17] = 1 5368种借法。
也可使用间接法求得：共有C[5][,20] - C[2][,17] = 15368种借法。这种解法显然要 简单得多。
上面把常见的几类排列组合问题，进行了解题策略分析，并找到一定的规律，构造了 相应的解决问题的模型。当然，在具体解决问题时，要注意认清问题的特征，灵活选用 有效方法，以便快速合理地解决问题。