教学内容：“三步骤”确定方法及其思考，本文主要内容关键词为：教学内容论文,步骤论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
数学教育学研究的对象是数学教学，研究的核心问题是：①教什么？——教学内容问题；②怎样教？——教学方法问题.但方法与内容又是紧密联系的.肯定了“教什么”，才能研究“怎样教”.尽管数学课程专家在课程标准（内容标准）中规定了“教什么”的基本内容，但内容标准呈现的大多是显性的“结果形态”的知识，没有显化（也很难显化）隐性的“过程形态”和“关系形态”的知识.怎样根据内容的数学本质、价值及学生的现实（生活现实、数学现实和其他学科的现实）选择具体的课堂教学内容是数学教师的任务.特别是依据以学定教的思想在诸多数学内容中如何取舍和如何把握“过程”与“结果”的辩证关系是数学教师在确定教学内容时需要考虑的问题.但是，通过调研发现：教师在确定“教什么”时带有盲目性和随意性的现象具有普遍性.其主要原因是传统的确定教学内容方法不能满足教师在新课程背景下认识“教什么”的需要.鉴于此，笔者采用“边学习、边实践、边研究”的方式，对确定教学内容的方法进行了探索.初步的理论求证和实践验证表明，探索中形成的“三步骤”确定教学内容的方法对认识“教什么”有积极的作用.本文以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“3.1圆第1课时”为载体，介绍“三步骤”确定教学内容的方法，供读者参考、研究.
二、“三步骤”确定教学内容的方法
第1步：理清“知识点”——绘制并解析“知识地图”
理清“知识点”就是站在系统的高度来认识数学知识及其关系：不仅要关注显性的“结果形态”的知识，也要关注隐性的“过程形态”和“关系形态”的知识；不仅要关注知识的“生长点”和“延伸点”，也要关注知识的数学本质.具体可分以下三个步骤展开：
（1）依据知识的逻辑体系绘制“知识地图”.知识的逻辑体系指知识的形成过程、形成方法及知识与相关知识的联系.“知识地图”指组织和表征知识的网络图——将某一主题的有关知识置于方框或圆圈中，再用各种连线将相关的知识连接.完整的知识地图由三部分组成：节点、连线、连接语词.节点表示知识；连线表示两个知识之间的意义联系，并用箭头符号指示方向；连接语词是用来标注连线的，描述两个知识间的关系.如“圆（1）”这节课，依据知识的逻辑体系，则“知识地图”可以绘制如下：
（2）用全面的知识观解析“知识地图”.全面的知识观指数学知识包含三个方面：“结果形态”的知识——数学的结果；“过程形态”的知识——数学结果的形成、发展与应用过程和蕴涵的数学思想方法；“关系形态”的知识——数学知识之间的关系.尽管“知识地图”显示了显性的“结果形态”的知识，但“知识地图”没有显化隐性的“过程形态”和“关系形态”的知识.其实，这些知识与知识、知识与过程或过程与过程的关系比较复杂，难以用简单的语词来标注，需要用文字语言来详细诠释以揭示隐性的“过程形态”和“关系形态”的知识.
如“圆（1）”这节课：涉及“过程形态”的知识主要有：圆的产生过程（圆的产生方法可能具有多样性，但有教育学意义的可行的产生方法可能只有三种）——借助生活中的圆用数学抽象的方法得出圆；借助画图工具用画图的方法得出圆；借助正多边形用极限思想方法得出圆.圆几何特征的概括过程——用定性方法得出圆是封闭曲线；用定量方法得出圆上任意一点到圆心的距离等于半径.圆概念的定义过程——根据圆的本质特征（封闭曲线且曲线上任意一点到定点的距离等于定长）用简练的文字语言描述圆.圆的不变关系的生成过程——用定性方法生成圆分平面上的点为三个部分；用定性与定量相结合的方法生成用数量表示点与圆的位置关系；用定性与定量相结合的方法生成圆具有对称性；用定量方法生成圆上任意两点之间弧长与弦长的不等关系；用定性方法生成圆上任意三点不共线.知识的应用过程——用圆的有关知识解决有代表性的问题.涉及“关系形态”的知识主要有：圆是“生活中圆”的数学抽象——上位学习（现象到本质），思维形式是归纳；圆是“线段旋转”的结果——下位学习（特殊到特殊），思维形式是演绎；圆是正多边形边数无限增加时的极限——下位学习（特殊到特殊），思维形式是演绎；圆的几何特征是从有代表性的圆中并借助画圆经验概括出来的——上位学习（实践到理论），思维形式是归纳；圆的概念是根据圆的本质特征并借助数学表示的经验进行数学表示的结果——并列结合学习，思维形式是类比；点与圆的位置关系和圆的性质（圆中元素之间的不变关系）是从有代表性的圆中概括出来的——上位学习（具体到抽象）——思维形式是归纳；弦、弧的概念是从弧与弦的不等关系中借助数学表示的经验进行数学表示的结果——并列结合学习，思维形式是类比；解决有代表性的问题是借助有关知识和方法进行逻辑推理——下位学习（一般到特殊），思维形式是演绎.
（3）用数学的本质观揭示学习内容的数学本质.数学的本质观是对数学的一种看法：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”.它不仅包括数学的结果（数量关系和空间形式），也包括数学结果的形成、发展与应用的过程和蕴涵的数学思想方法.由此可推出：数学的本质是研究数量关系和空间形式及其蕴涵的数学思想方法.因此，“圆（1）”内容的数学本质是圆的几何特征与圆的不变关系及圆的几何特征与圆的不变关系形成与应用过程和蕴涵的数学思想方法（具体到抽象、特殊到一般和一般到特殊的思维方法，概括几何图形特征和发现几何图形性质的思维方法，定性描述与定量刻画相结合的研究方法，数形结合的思想方法、数学抽象方法、运动变化的观点等）.其核心是蕴涵在圆的几何特征与圆的不变关系的形成与应用过程中的数学思想方法.由此可知，本节课的教学重点（最基本、最核心、最主要、最关键、有广泛应用的内容）是：圆的几何特征与圆的不变关系（点与圆的位置关系及圆的部分性质）及圆的几何特征与圆的不变关系的形成与应用过程和蕴涵的数学思想方法.
第2步：论证“生长点”——分析学习所需要的条件
论证“生长点”就是分析学习所需要的条件（包括认知所需要的有关知识、技能、经验、数学活动方式等）.具体可按数学发展的三个阶段（数学的发现、数学理论的建立、数学理论的应用），从以下三个方面来展开分析.
（1）导入阶段的教学所需要的条件.研究对象可行的产生方式可能具有多样性，就决定了导入阶段教学方式可能具有多样性.因此，先要用辩证的方法经历“多选一”的过程，再分析其所需要的条件.如“圆（1）”这节课，圆产生的教学存在三种基本方式：①借助正多边形用极限思想方法得出圆.这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是下位学习——特殊到特殊，思维形式是演绎）和新课程理念（从学生已有的知识与经验出发展开教学），并且借助多媒体直接给出圆花时少，但这种方式不能反映圆的数量特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量不高，同时与现实生活缺少沟通.②借助生活中的圆用数学抽象的方法得出圆.这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是上位学习，思维形式是归纳）和几何发展规律（“平面几何理论是在对物质世界进行了抽象的基础上借助一些概念、公理和法则经演绎推理而来的，它属于经验性与演绎性在实践基础上辩证统一的产物”），并且暗示了圆具有广泛的现实情景，有利于学生感受进一步研究圆的必要性，但借助多媒体抽象得出的圆不能反映圆的数量特征，并且教师演示学生观察的方法学生思维含量不高（学生没有实质性经历数学抽象的过程），也容易导致学生混淆“生活中圆”与“数学中圆”.③借助画图工具画图得出圆.这种方式符合认知同化理论（学习的形式类型是下位学习——特殊到特殊，思维形式是演绎）和几何发展规律，并且学生经历了动手操作的过程，也暗示了圆的形状特征和数量特征，但没有反映圆现实情景的广泛存在性，并且画图操作花时较多.通过对这三种教学方式的优劣分析，圆产生的教学可选择第3种方式.因为这种教学方式最能反映数学的本质（暗示了圆的形状特征和数量特征）和最有利于学生认知（尽管需要学生有借助画图工具画圆的经历与经验，但圆是在小学阶段初步认识基础上的再认识，并且学生在认识图形变换时也接触过圆，学生有画圆所需要的经验，也知道圆的基本要素及其作用和圆的部分性质）.
（2）数学理论生成阶段的教学所需要的条件.如“圆（1）”这节课，概括圆的几何特征和发现圆的不变关系要运用“抽象问题具体化”和“一般问题特殊化”的策略，需要学生具有概括几何图形特征和发现几何图形不变关系的经历与经验.有关概念的建构要运用“特殊到特殊或一般到一般”的类比方法，需要学生具有用文字、符号表示几何概念的经历与经验.尽管圆的结构比较简单且学生有概括几何图形特征的经历与经验，但圆的本质特征比较抽象，用文字形式表述圆的本质特征也有一定的难度，估计大部分学生在概括与表示的过程中会遇到困难，特别是概括圆的数量特征是教学的难点（理解、掌握或运用比较困难，容易产生混淆或错误的内容）；尽管学生有发现几何关系的经历与经验，但大多数学生缺乏发现几何关系的科学视角，估计大部分学生很难发现：圆分平面上的点为三个部分、圆上任意两点之间的部分长（路程）和连接这两点之间的线段长（距离）存在不等关系、圆上任意三点不在同一条直线上；尽管学生有定量刻画几何关系的经历与经验，但定量刻画点与圆的位置关系包括三种情况及其正反两个方面比较复杂，估计部分学生会遇到困难.
（3）数学理论应用阶段的教学所需要的条件.如“圆（1）”这节课，用生成的数学理论解决具体问题（数学问题和生活中的问题），需要学生具有解题的三层次思维策略和一定的逻辑推理能力.尽管学生有借助有关知识和方法解决问题的经历与经验，也具有一定的逻辑推理能力，但用点与圆的位置关系解决问题后的反思（解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？）要求较高，估计大部分学生会遇到困难.
第3步：确定教学内容——分析基础上的决策
确定教学内容就是在综合分析的基础上，用全面的内容观和辩证的哲学观进行决策——选择能满足学生需求的教学内容.全面的内容观指数学教学的内容包含三个方面：本体性内容——“数学”（知识——数学事实、数学概念、数学原理、数学思想方法、数学认知策略；技能——辨别、具体概念、定义性概念、规则、问题解决；态度——分接受、反应、价值化、组织、性格化五个层级）；条件性内容——“条件”（学生学习新内容所需要的“生长点”）；实践性内容——“经验”（与新内容有关的学生经验、人类科学（文化）活动和人类生活经验等）.辩证的哲学观指在诸多的教学内容中，要选择最基本、最核心、最主要、最关键、有广泛应用的内容，且要根据学生的现实（生活现实、数学现实和其他学科的现实）来确定能满足学生需求的教学内容.如“圆（1）”这节课：涉及本体性内容主要有：圆的“结果形态”的知识、“过程形态”和“关系形态”的知识及用圆的有关知识解决具体问题.涉及条件性内容主要有：用圆规画圆的经验，多角度观察几何图形特征的经验和发现几何关系的科学方法，独立学习基础上交流合作的方式及一般的认知策略等.涉及实践性内容主要有：与圆有关的生活常识、学生经验，人类认识圆的方法与经验，人类用圆的有关知识解决有关问题的方法和经验等.这样“圆（1）”这节课，依据其知识的逻辑体系、内容的数学本质、学习所需要的条件，其教学的主要内容是：圆的产生方法——介绍常见的三种方法；圆的特征——圆是封闭曲线（形状特征），圆上任意一点到圆心的距离等于半径（数量特征）；圆的不变关系——点与圆的位置关系（重要）和圆的部分性质——圆的对称性（次要：学生已熟悉且后继学习会进一步深化），圆上任意两点之间的弧长与弦长的不等关系（尽管课本不要求，但是满足引出弧、弦概念的需要），圆上任意三点不共线（尽管课本不要求，但是“确定圆的条件”的“生长点”）；认识圆产生所需要的画圆经验、圆的生活常识等；认识圆的特征和圆的不变关系所需要的思想方法（特别是多角度观察几何图形特征的经验、发现几何关系的科学方法、特殊到一般的思维方法、定性与定量相结合的方法和数形结合的思想方法等）；用圆的有关知识解决有代表性问题所需要的思想方法（特别是解题的策略、方法和技巧）；圆与其他几何图形的关系等.
三、对“三步骤”确定教学内容方法的思考
数学课堂高效教学行为的基本特征是：高立意的教学设计、高认知的思维活动、高情意的学习氛围.但高认知的思维活动和高情意的学习氛围来自于高立意的教学设计.而高立意教学设计的主要视点是“教什么”和“怎样教”，并且选择“怎样教”的依据是“教什么”.“三步骤”确定教学内容的特点是：充分认识“数学”——用知识的逻辑体系、全面的知识观和数学的本质观，理清知识及其关系（特别揭示了隐性的“过程形态”和“关系形态”的知识）；充分认识学习的条件——依据内容的认知特点和学生的认知基础，揭示了学生学习所需要的条件；充分认识教学内容——用全面的内容观和辩证的哲学观确定教学内容——不仅关注了数学的结果，也关注了数学结果的形成、发展与应用的过程和蕴涵的数学思想方法，同时关注了学习所需要的条件.这样的教学内容体现了数学素质教育的思想和根据“个性化”来开展“针对性”教学的思想，能满足学生实现和谐发展的需要——能使学生在数学学习活动的过程中，理解和掌握数学的知识与技能、体会和运用数学的思想与方法、积累数学活动的经验以及增强发现和提出以及分析和解决问题的能力，并形成敢想、敢说、敢于创新的良好个性.