中学统计与概率教学重点问题探究,本文主要内容关键词为:概率论文,重点论文,中学论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
随着科学技术的迅猛发展,信息化时代的到来,人们常常需要收集大量的数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,作出合理的决策.统计是研究如何合理收集、整理、描述和分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据,又为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.
一、统计与概率的本质理解
《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)中明确指出[1]:“要使学生经历运用数据描述信息,做出推断的过程,发展统计观念”,首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一.因此,要想培养学生具有从纷繁复杂的现实情境中收集数据,能够整理、处理和描述数据,做出恰当的选择和推断的能力,就应该将统计的基本知识和思想方法作为义务教育阶段数学课程的重要组成部分.
统计与概率在社会生活及各学科领域中的应用日益广泛,如何使每个学生具备基本的统计观念、知识、思想与方法,以便更好地适应当今社会和科技发展,教师是关键.然而,有些数学教师缺乏应有的统计知识,教学观念和评价理念滞后,对新课标不熟,因而导致课程资源开发不足,只用考试成绩进行终结性评价,忽视了教学过程中统计观念、概率直觉、数据意识和数据处理能力等方面的发展性评价.在统计与概率教学中,重视繁杂的计算,忽视和淡化统计概率模型的理解、建立和应用,缺乏问题意识,没有让学生主动参与实验,亲身经历数据的收集、整理、描述、分析的完整过程,学生不知如何利用统计知识建立基本模型去解决实际问题,以教师讲实验、说实验来代替学生的实践活动,很少利用生活情境、教学资源和信息技术去做实验或者模拟实验,造成学生只会应试而不能运用数据做决策.也就是说,要正确理解数学与统计学的区别[2]:首先,研究问题的思维模式不同.数学是确定性的科学,而统计与概率属于“不确定”数学,要寻找随机中的规律性.数学思维模式具有确定性,也就是说从同样的条件出发就应当得到同样的结论,是不可或缺的重要专业素养之一;而统计的基本思维模式是归纳的,利用部分的数据来推测全体数据的性质,具有随机性,因而作出的结论不可能绝对准确,总带有一定程度的不确定性,这种不确定性可用概率来刻画,这一点与确定性思维不同.其次,研究问题的出发点不同.数学研究问题的出发点是定义或公理或规则,是从现实生活中抽象出来的数和图形.而统计的出发点不是定义,也不是公理,甚至不是规则,而是数据,故又称其为数据分析.统计是在构建一些模型的基础上进行研究,可以说数学是进行统计分析的工具.第三,研究问题的立论基础不同.数学是建立在概念和符号的基础上的,而统计学是建立在数据和模型的基础上,虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的,但统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的.第四,研究问题的方法不同.数学的推理过程在本质上是演绎法,依赖公理和假设,是一个从一般到特殊的方法;而统计学的推断过程在本质上是归纳法,依赖数据和数据产生的背景,强调根据背景寻找合适的推断方法,是一个从特殊到一般的方法.第五,研究问题的判断原则不同.数学在本质上是确定性的,它对结果的判断标准是对与错;而统计学是通过数据来推断数据产生的背景,它对结果的判断标准是好与坏.第六,发展的路径不同,数学是依靠处理内部矛盾或关系的过程中发展起来的,而统计则是依靠处理外部的联系或关系的过程中发展起来的.
二、统计与概率知识脉络的整体把握
我国数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统,中小学教学过程应发扬这种传统.就以初中数学统计与概率教学来说,在内容处理上要以随机思想和数据分析思想为主线,把教学知识编织在一起,从局部到整体,从整体到局部,整体上把握知识脉络,头脑里建构一张无形的网,并且不断地梳理和完善,把整个数学课程的知识融会贯通.例如:编制统计与概率知识脉络图,如下图1、下页图2所示.整体上把握教学内容,有助于削枝强干,掌握通性通法;有助于开阔视野,抓住本质;有助于发现学科知识的内在联系;有助于形成好的学习习惯和学习能力.
三、统计与概率核心概念的本质把握或理解
1.关于随机事件的理解
随机事件是和重复试验紧密相连的,并非所有不确定的结果都是随机事件.要注意以下两种误区:
第一,把目前尚不知道结论是否正确的命题当成了随机事件.例如:解决某一个问题的方案是否可行、某一个猜想是否成立、自己家后山下有无矿产等,显然没有任何随机性,它是完全确定的.只是人们至今尚未知道其结论而已.特别地,在数学中,凡是未被证明或否定的猜想都是这种命题,它们没有任何随机性,更不是随机事件.
第二,把和重复试验无关的不确定结果当成了随机事件.例如:班级干部选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性,因此它不是统计中所指的随机现象,也不存在“概率”的问题.若有人说:学生甲90%能当选班长,但这只是一种猜测,和重复试验无关.类似的猜测我们称为“主观概率”.它反映的是人们主观的想法或愿望.其结论正确与否依赖于该人对所谈事物了解的程度、依赖于该人的经验和学识.研究主观概率有它的实践意义,在现实生活中普遍存在,特别是在很多依赖经验的管理和决策问题中.
2.关于数据的理解
在现实生活与实践活动中,数据历来是一种重要的信息,尤其科学技术突飞猛进的今天,为了更好地理解世界,人们必须学会处理各种信息,特别是数字信息.收集、表示、整理与分析信息的能力已成为信息时代每一个公民基本素养的重要组成部分.数据有两种,一种是在现实生活中原来就有的数据;另一种是人们通过试验设计获得的数据.与此对应的数据收集方法有两种:调查和实验.因此,作为教师应引领学生学会设计调查和实验方案并获取数据,不能总是利用给定的或没有现实意义的数据进行知识技能性训练.
3.关于数据的集中趋势的理解
据了解,初中教学中经常把平均数、众数、中位数的知识当作一种典型应用题来教学,即教师在教学中比较重视于给出若干个数据,要求学生计算出它们的平均数、众数、中位数,并且把数据的复杂程度和学生的计算速度及正确率作为教学的重点.但是,从数学与现实问题的联系、解决问题的作用来看,教学中更应该强调学生对数据的集中趋势的意义、特征的把握,注重其统计含义的理解,让学生在新的问题情境中,正确地运用它去解决问题.也就是说,要求学生正确地计算出平均数、众数、中位数的基础上,把理解其意义作为教学的重点.
平均数反映的是这组数据中各数据的平均大小,中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的两个统计特征量,它们都是帮助学生学会用数据说话的基本概念.平均数是最常用的指标.但在实际问题中,不能一味使用平均数来确定数据的特征.
平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数,因此比中位数和众数更灵敏,能充分利用更多数据的信息,在生活中较为常用,但它容易受极端数字的影响,且计算较繁.
中位数的优点是计算简单,不容易受到极端值的影响,确定了中位数之后,可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半,但不能充分利用所有数字的信息.
众数的可靠性较差,它不受极端数据的影响,很容易从直方图中获得,求法简便,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”,但是不能反映众数比其他数出现的次数多多少,而且也丢失了很多其他数据的信息.众数是一组数据中出现次数最多的数据,是一组数据中的原数据,而不是相应的次数,一组数据中的众数有时不只一个,这些是很容易混淆的.
4.关于统计图表及其制作的理解
统计表不仅反映某一类事物的具体数据,而且还能说明有关数据之间的关系,是统计基础知识教学的起始课,它既不同于计算、应用题等教学,是实践性很强,应用极广泛的内容,而且是下一阶段制作统计图的依据,因而在统计表教学过程中,必须克服重计算和应用题解答,轻统计表的倾向,使学生经历数据表格化的过程,掌握描述、分析数据的数学方法,了解统计表的基本结构及其作用,通过统计表所展示的数据之间的关系获得信息,进行简单的推断预测,体验“运用数据进行推断”的思维方式.
而统计图是借助于几何线、形(线段、长方形、三角形、圆形等)以及事物的形象等形式,显示收集到的数据信息,直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况.
据了解,在初中教学中绘制统计图方面某些教师理解不全面.例如:以条形图来说,条形图是以简单的几何图形,即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法.在统计图中,条形图是一种呈现收集数据所隐含信息最为广泛的方法,所表示的数据可以是绝对数、相对数和平均数.
条形图主要用于同类指标在单位、地区、时间等不同观察指标上的比较,反映事物现象及其内部的结构在观察指标上的变化,也可以进行目标与实际完成程度的对比,还可以利用条形图形式表示竞赛、评比的结果等.所以,条形图具有表现形式明确、鲜明醒目、易于阅览,绘制手续简便、易于掌握,易于和其他图形配合,效果突出等特点.条形图的分类方法很多,作为教师必须了解,比如:按其排列形式的不同可分为纵列条形图(垂直条形图或柱式图)和横排条形图(水平条形图或带式条形图)、按条形图的形式和资料内容的不同可以分为单式条形图、复式条形图、分段条形图(结构条形图)、对称条形图、距限条形图、累积条形图等.那么,作为教师能否按照以上分类情况都能够绘制统计图并且灵活运用呢?这是值得反思的问题.
5.关于概率的理解
在现实生活中,人们常听到概率这个名词.比如:天气预报中提到的降水概率.如果降水概率是90%,那就很可能下雨;但如果是10%,就不大可能下雨.因此,从某种意义说来,概率描述了某件事情发生的机会.显然,概率不可能超过100%,也不可能少于0%.换言之,概率是在0和1之间的一个数,说明某事件发生的机会有多大.
在初中阶段的概率教学中,要澄清对概率的一些误解:首先,有些概率是无法精确推断的.比如:你对别人说你下一个周末去公园的概率是80%.但你无法精确说出为什么是80%而不是84%或78%.其实你想说的是你很可能去,但又没有完全肯定.实际上,到了周末,你或者去,或者不去.不可能有分身术把80%的你放到公园,而其余的放在别处.其次,有些概率是可以估计的.比如:掷骰子.只要没有人做手脚,你得到任何点的概率都应该是1/6,这反映了掷骰子的规律性.但掷出骰子之后所得到的结果还只可能是6个数目之一,这体现了随机性.如果你掷1000次骰子,那么,大约有1/6的可能会得到6;这也说明随机结果也具有规律,而且有可能通过试验等方法来推测其规律.我们就是要通过观测数据,在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性.第三,在初中教材中,概率的概念是通过频率来介绍的.通常称为概率的“统计”定义.事实上,这种定义只是一种描述性的说法,并不严格.因此,老师们一定不要去细究这种说法在用词上的含义.比如,我们说,当试验次数很多时,频率会“稳定”在一个常数附近.什么叫“稳定”就是含糊的.一方面要让学生认识到频率会“稳定”在概率附近.另一方面,也要认识到随机性是本质的.有的教师总认为把一个均匀骰子掷6次,就应该每个面都出现一次;把一个均匀硬币掷10次,就应该出现5次正面5次反面.事实上,把一个均匀硬币掷10次,“10次都是正面向上”发生的概率是.这个事件是完全可能发生的.因此,不能指望在课堂上做有限次的试验,频率一定靠近概率.认识到随机性是很重要的.在课堂上做试验时,有的教师总想让频率无限靠近概率,偏差大一些就觉得不好,甚至把这样得到的数据去掉.这都是不对的,是对随机性缺乏认识的结果.
总之,统计教与学的过程中教师正确理解统计基本概念的前提下要关注调查与实验方案设计、关注案例库建设与案例教学、关注统计的实际应用与统计中信息技术的使用、关注实践活动的参与和设计、关注统计过程与不同阶段内容之间的衔接.