重视数学的“持久理解”促进学生的深度学习_数学论文

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      由美国两位知名的课程与教学领域的专家格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰合作写的《理解力培养与课程设计：一种教学和评价的新实践》一书中提出教学设计的新思路——逆向设计.逆向设计分3个步骤：步骤1，确定预期的学习目标；步骤2，确定如何证明学生实现了理解的标准和措施；步骤3，安排各种教学活动，指导学生学习.其中第1步确定预期的学习目标就是要确定哪些内容最值得也是最需要理解的.他们把课程内容做如下分类：应当熟悉的课程内容；应当了解并能进行实际操作的课程内容；应当持久理解的课程内容[1].

      把学习目标聚焦于学生最需要理解的内容对教学的意义重大.随着社会的发展，信息量的增加，全部深入理解课程内容是不可能的，也是不必要的.确定哪些内容是学生需要持久理解的（简称“持久理解”）？如何评估学生的持久理解？如何应用持久理解进行教学设计？下面笔者将自己在高中数学教学中的实践和体会与大家分享.

      一、如何确定持久理解

      持久理解往往针对学习的某些主题.比如：人教B版（下同）《数学》（必修1）中“函数”与“基本初等函数”两章.我们想这两章最需要学生理解什么？当然是函数的概念.函数的概念反映了两个量之间的对应关系，这种量与量之间的对应关系又是怎样的？图1帮助我们认识从小学、初中、高中到大学阶段函数自变量取值范围伴随数学研究对象的发展，而对应关系则伴随学生思维从单一到复杂的变化[2].

      

      从初等数学到高等数学，函数始终是一个核心概念，函数刻画量与量之间的对应关系是学生需要持久理解的内容，居于课程的中心；同时关系和对应的思想对学生今后生活有指导意义，现在是一个全民焦虑的时代，就业焦虑、身份焦虑、成功焦虑，这些现象与哪些量有关？客观分析这些量间的关系，引导大家正确认识自我努力、机遇与成功间的关系.

      除了函数的概念，还有什么是需要学生持久理解的？我们分析函数性质是如何得到的，一般有两种途径：一种是画出函数图象，观察函数图象的特征，直观得出函数性质，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的研究；一种是分析函数解析式结构给出函数性质，比如《数学1》（必修）第2章研究一次函数和二次函数的性质，两节课的标题就是“一次（二次）函数的性质与图象”，目的是引导学生分析一次（二次）函数的解析式进而给出性质，再画图象验证，这与初中学习一次（二次）函数不同.前者从图象到性质，再到图象，后者从解析式到性质再到图象，二者结合、对照，体现数与形的融合.研究函数的两种途径立足于函数的表现形式：解析式、图象、表格、自然语言.分析表现形式得出性质，这是一种研究方法，可以迁移到其他学科中，是一种持久理解.再进一步，研究函数的角度一般是分析解析式，给出函数的定义域、对称性、特殊点、零点、函数值的正负区间、单调性、渐近性、最值、值域、函数图象，这也可以作为研究函数的一个持久理解.

      因此持久理解往往超越孤立或零散的知识，是知识背后反映的关键性的概念（观念）、原则和方法，具有超越课堂之外的价值，对学生的一生都有重大意义[1].每个主题的持久理解不一定唯一，也有主次之分.

      格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰给出筛选持久理解的内容的4条标准：持久的价值，学科的中心，需要发现，有吸引力.结合优先选择课程内容的次序结构，勾画出对课程内容的理解筛选并最终实现持久理解的示意图（图2）[1].

      学科不同，持久理解和判断标准会有差异，立足以上4条标准，结合数学学科的特点——数学知识几乎都是概念，笔者给出确定每一单元持久理解的4个角度；核心概念（一般是标题，比如函数、对应、单调性、变化率等），核心概念所反映的数学本质（数列是一种特殊的函数），核心概念所蕴含的数学方法（坐标法、直观法、特殊到一般、转化），学生理解概念的障碍点和需要学生逐步发现、重点改变的观念（复数、向量、概率、随机性、相关性）.一个核心概念可能涉及以上4个角度中的某几个.持久理解也可称为基本线索、贯穿线索.

      二、如何评估持久理解

      逆向设计和传统教学设计最大的区别就是明确目标后，先确定如何证明学生实现理解的标准和措施.而不是进入理解活动设计.每当我们感到评估难确定时，往往是目标不够清晰，评估能够帮助教师进一步论证目标是否清晰.

      

      目标、评估、活动三者是一致的.目标确定学生要到达的目的，评估使我们清楚学生已经到达哪里？活动引导学生如何到达目的（图3）.

      评估贯穿于教学设计和学生学习的全过程，评估是持续性的.持续性评估需要解决3个问题：一是评估学生持久理解的维度和标准，二是采取哪些形式对学生进行持久理解的评估？三是学生哪些外在的表现反映了学生的内在思维水平，证明学生已经实现持久理解？

      

      1.评估学生持久理解的维度和标准

      由于数学知识几乎都是概念，数学的核心概念基本都需要持久理解.我们借鉴数学概念理解的评估研究，“概念理解”的具体说法不一，比如英国数学教育家斯根普认为，“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式之中.”具体地说，理解是在感知的基础上，通过思维加工，把新学的内容同化到已有的认知结构中，或者改组扩大原有的认知结构，把新学习的内容概括进去，逐步达到认识事物的本质和规律的一种思维活动.

      概念理解评价模型很多，比较有代表性的是以下3个：

      （1）斯根普的理解模型（1987）.

      工具性理解（知道如何做），关系性理解（知道为什么，何时选择应用），形式性理解（在数学符号和思想间建立联系），直观性理解（直觉）.

      （2）皮瑞—基伦的理解模型.

      皮瑞—基伦关于理解的理论是基于如下信念：数学理解是一个根植于学习者内部并且与学科内容及特殊环境有关的过程.数学理解分为8个水平：初步理解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构、发明创造.各种理解水平按照一个非线性的、递归的序列排列，每一个高一级的理解都包含低一级的理解.

      按照皮瑞—基伦的观点，人无论在哪一级的理解水平，面对一个不能马上理解或解决的问题，为了加深和扩充自己的理解，都有必要返回到内侧水平.但是重新返回到内侧水平所进行的理解活动与原先内侧水平的理解不同，具有外侧理解水平特点，所以图示中有些折线[3].

      （3）以课程与教育专家安德森、教育心理学家梅耶、测评专家克拉斯沃尔以及教师团队修订的布卢姆的教育目标分类学，将认知领域的教育目标按照知识与认知过程两个维度进行分类.

      在认知过程中，由低级到高级被分为记忆（再认、回忆）、理解（解释、举例、分类、概要、推论、比较、说明）、运用（执行、实施）、分析（区分、组织、归属）、评价（核查、评判）、创新（生成、计划、产生）6种水平，共19个认知过程.其中理解（从口头、书面和图画传播中的教学信息中建构意义）被分成7种认知过程：解释（释义、描述）、举例、分类（归属）、概要（抽象、概括）、推论、比较（对照、映射）、说明（构建）.而运用（在给定的程序中执行或使用某程序）分为：执行（把程序应用于熟悉的环境，直接用）和实施（把程序应用于不熟悉的环境，即能迁移应用）[4].

      由于认知过程的复杂性，在实际认知过程中学生并不一定按照以上认知的次序进行.我们有时候看到一些学生会跳过简单认知直接洞察到问题的实质，却不能很好地解释或证明.我们常常把学生能够运用所学知识解决问题误认为学生已经理解，但有些时候学生会用某一个公式求解某一类问题，并不代表学生真正理解.

      笔者认为“概念理解”是学生对所学概念不断加深认识、逐步完善与其相关联的关系、永无止境的累积过程.学生从学习一个新概念起，就进入概念的理解，从观察某一类事物的各种属性，分化出他们的共同属性，再概括、抽象出本质属性，形成概念，用符号表示概念，这是理解的初级阶段，通常称概念的形成.认知是从“散”到“聚（抽象、概括）”的过程，接着应用概念分析、解决与概念有直接关系或间接关系的问题，进入概念的应用阶段，这是概念理解的第2个阶段.尽管学生在此阶段并没有完全理解概念，但是这并不影响他解决一些与概念有关的问题，因为问题本身就是有层级的，学生在应用中逐步加深对所学概念的理解，认知是从“聚”到“拆（应用）”再到“重新聚”的过程.这个过程不是线性的，要反复很多次，每一次回归都是在新的水平上加深对原概念的认识，理解的过程是动态的、分层级的、反反复复的、永无止境的建构过程.谁也不可能说已经彻底理解某一概念.概念理解的层级性，与概念发展的抽象性、概念表征的多元性、学生个体心理发展水平、学习的次序性都有关.不同的学习阶段，我们应当有不同的“理解”衡量标准.只要他在一定阶段能够解决某一方面的问题，我们就说他已经理解相应概念[5].

      2.采取哪些形式对学生进行持久理解的评估

      内容决定评估的类型，持久理解往往需要更加开放的、复杂的任务进行评估.结合自身教学实践经验，评估持久理解较好的形式有两个：一是提出指向持久理解的基本问题和单元问题；二是综合性操作任务.

      基本问题具有持久理解的特征：居于课程的核心，横向贯穿很多主题，纵向贯穿于学生整个学习过程，对促进学生理解有重要意义，有争议性，且不容易直接找到答案，学生在尝试回答这些问题的过程中会逐步实现持久理解.比如：函数是如何刻画两个量之间的对应关系的？基本问题看来太宽泛、比较抽象，学生不好回答.因此我们往往把基本问题转化为某一特定论题的单元问题.单元问题提供一种导入某一个论题基本问题的途径，能够较好地和单元内容结合，意在激发和保持学生学习的兴趣，可能需要学生学完整个单元才能较好的回答.比如对于基本问题：函数是如何刻画两个量之间的对应关系的？我们可以根据单元不同提出不同的问题：函数有哪些性质？如何根据函数定义解释函数性质？三角函数如何刻画周期性现象？你怎样理解数列是一种特殊的函数？两个量之间的相等与不等关系是绝对的吗？当然基本问题与单元问题绝不是对立的，截然不同的，它们就像有连续性的光谱一样.由基本问题和单元问题可以设计整个单元，但是具体到某一个课时还包括各个课时的导入性问题，导入性问题包括4项标准：表述简洁，学生易于接受，激发学生学习中的讨论和学生的问题意识，能指向更宏观的基本问题和单元问题.

      很多时候学生的问题可以产生很好的导入性问题或单元问题，直指持久理解.比如在学习“椭圆几何性质”一节时很多学生会问：你怎样想到由椭圆的方程研究椭圆的性质？这些性质（范围、对称性、顶点、离心率）是如何想到的？笔者反问学生：你有没有通过分析方程或表达式得出其性质的例子？研究函数性质：画函数图象或分析函数解析式[5].

      （1）椭圆的几何性质与函数性质的研究顺序对照：

      

      （2）函数性质和曲线的几何性质的对应：

      

      这种对应让学生把新情境和已经学过的知识建立联系，顺应到原来的知识结构中去，起到“锚”的固着作用，帮助学生实现对函数概念和函数性质的持久理解，也为教师的教学设计提供一个思路.

      基本问题、单元问题最好是基于对学生背景知识的分析和相应的调查、访谈，找到学生的疑问，会产生很好的单元问题，也是教学的最佳时机.

      基本问题和单元问题类似于理解教学中启发性论题（理解教学有4个组成部分：启发性论题、理解目标、理解活动、持续性评估），也类似于深度学习中的主题（深度学习主题，学习目标、学习活动、持续性评估）.

      综合性操作任务贯穿于单元或主题学习的始终，能够加深学生的持久理解.比如开始学习《数学》（必修1）函数单元，就设计一个综合性操作任务：函数是什么？（函数家族介绍）这种方式是一种深度学习.这些综合性、复杂的操作任务类似于学生的研究课题，可以让学生持续理解核心概念和持久理解，实现深度学习.

      3.学生哪些外在的表现反映学生内在思维，证明学生已经实现持久理解

      把学生的思维可视化能帮助教师准确掌握学生对问题的理解程度，以便及时介入.思维可视化的途径主要是提问、倾听和看学生对任务的完成情况.其中课堂上的师生相互提问，倾听是关键.教师要为学生思考多创造机会，“你是怎么认为的？”同时善于对学生的回答把脉，然后给出真诚的促进性的追问：你对这个问题有什么新的看法？你能换一种方式表达你的观点吗？一步步把学生引向理解，类似苏格拉底式的助产术，这种民主的学习和交流氛围需要逐渐培养.思维可视化引领学生养成自我思考、自我完善的思考习惯：我看到什么？联想到什么？得到什么结果？哪些证据支持我的结论？怎样表达我的思考？别人的思考结果对我有何意义？我改进了哪些思考？这个结果在什么条件下用？这些能很好地提高学生元认识和思维策略，有利于学生内化、固化自己的思维结果，看到自己的思维和迁移应用过程，实现自我知识建构，实现深度理解和深度学习.

      由于学生的认知特长不同，他们表达理解的途径不同，教师要根据学生的特点激励学生对同一个概念进行多元表征.比如：学习互斥事件概率加法公式一节，对于互斥事件、对立事件学生就从以下6个不同维度进行表征：

      

      三、如何应用持久理解设计理解活动

      根据持久理解的内容和评估形式设计理解活动，首先要进行单元设计，这是实现持久理解的前提.单元设计一般遵循“ADDIE模型”，即分析设计、开发、实施、评价.具体分3个阶段：首先是课前调查访谈，产生基本问题、单元问题、引导性问题、综合性操作任务，做好单元教学设计、课时教学设计和评估标准及形式.单元设计是引导学生进行全局式学习和思考的基础.其次是通过课堂上与学生的对话、交流，展示学生思维过程，引导学生把所学内容和持久理解建立联系，这是实现数学持久理解和发生深度学习的关键.比如：在指数函数学习中有意渗透、明确提出研究函数性质的持久理解，每次学习新函数都引导学生应用这些持久理解.学习《数学》（必修3）第2章“两个变量的相关性”时，当笔者再问：如何研究两个变量的相关性？学生就会联系研究函数的方法：画出图象（散点图）求函数解析式（回归方程）.最后是课后的迁移应用，反馈持久理解完成情况.综合性操作任务、作业、单元测试都是评价学生持久理解的形式.可以把持久理解写在教室的壁报栏里，随时让学生回到持久理解.比如研究数列时，学生每学完一部分，笔者都会让学生解释：哪些证据说明数列是一种特殊的函数？关键是教师在组织问题时要考虑到帮助学生实现持久理解.

      应用持久理解可以很好地进行新课的引入.比如学习《数学》（必修4）第3章“两角和与差的余弦”时，教师可以提这样一个引导性问题，你有哪些求角的三角函数值的方法？这些角有什么特点？学生：定义（单个角）、同角的三角函数基本关系（已知一个角的一种三角函数）、诱导公式（有对称关系的两个角），那么对于任意两个角α、β已知它们的三角函数值，如何求α+β、α-β的三角函数值？这就是一个持久理解.

      关注持久理解有利于学生抓住关键，适应面向未来的学习，减轻学生学习负担.持久理解、连续性、一致性的思考习惯，有利于学生今后做人、做事保持说和做的一致.数学地看待和解决问题的素养是在一节课、一个单元、一个主题的学习中逐步完善的.

      强化持久理解并不是放弃技能训练，我们要逐步平衡技能训练、概念理解、问题解决三者的关系.数学学科最大的持久理解就是让学生通过理解之桥建立起严密的思维线路，发展学生的思维能力，感受到数学思维的严密性和内在魅力，感受到数学的真善美.

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