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中图分类号：NO3文献标志码：A文章编号：1008-4339(2006)02-0148-05
目前，在数学、科学、技术和哲学等学科中，“非线性”是使用频率最高的术语之一，而且非线性数学、非线性科学和非线性哲学也变成了非常时髦的学科名称。可是，如果仔细分析就会发现，“非线性”在各种语境中的含义并不相同，而且造成了语义混乱，它是一个模糊和含混的概念。下面就详细阐述“非线性”在数学、自然科学和哲学中的不同含义，并分析非线性概念语义混乱产生的原因及其造成的后果。
线性和非线性本来是数学概念，具有明确的定义，后来扩展到哲学等其他学科中，经常失去明确的含义，语义变得模糊起来，有时甚至成为诗化的概念。即使在数学中，线性和非线性的定义也需仔细辨别，否则也会出错。
一、数学中的“非线性”
非线性概念是线性概念的否定，因此，在数学中，首先定义“线性”，然后通过否定就可得到非线性概念。如在许国志主编的《系统科学》中，将线性定义为：
令f代表某种数学操作，如关系、变换、运算、函数、泛函、方程等，x记为数学操作的对象（如变量），f(x)代表对x施加操作f的结果；如果f(x)满足条件（k为常数）
加和性f(x[,1]+x[,2])=f(x[,1])+f(x[,2])(1)
齐次性f(kx)=kf(x) (2)
就称数学操作f为线性的，如线性关系、线性变换、线性运算、线性函数、线性泛函、线性方程等等。将式(1)与式(2)合并为
f(ax[,1]+bx[,2])=af(x[,1])+bf(x[,2])(3)
称为叠加原理，a、b为常数。满足叠加原理是线性操作区别于非线性操作的基本标志[1]。
根据以上对线性操作f的定义，一次函数f(x)=ax+b（a、b为非零常数）就不是线性函数。因为在一次函数的情况下，f(x[,1])=ax[,1]+b,f(x[,2])=ax[,2]+b，而f(x[,1]+x[,2])=a(x[,1]+x[,2])+b=ax[,1]+ax[,2]+b，很显然，f(x[,1]+x[,2])≠f(x[,1])+f(x[,2])，所以一次函数不满足加和性。同理，f(kx)=akx+b=kax+b，而kf(x)=k(ax+b)=kax+kb，明显得出f(kx)≠kf(x)，即它不满足齐次性。因此，既然一次函数f(x)=ax+b既不满足加和性，也不满足齐次性，那么它就不是线性函数。
但是，中国科学院的郝柏林教授却认为，一次函数为线性函数，他写道：“本书是‘非线性科学丛书’的第一册，我们就从非线性讲起。‘线性’和‘非线性’首先用于区分函数y=f(x)对自变量x的依赖关系。函数y=ax+b对自变量x的依赖关系是一次多项式，在(x,y)平面中的图象是一条直线，我们就说‘y是x的线性函数’。其他一切高于一次的多项式函数关系，都是非线性的。”[2]
在上面两个关于线性和非线性的定义或说明中，相比较来说，第一个是最准确、最全面的定义，它定义了线性数学操作f；第二个，即郝柏林教授对线性函数与非线性函数的说明和解释，并不是严格的定义。但是，对于一次函数是否为线性函数，它们却得出两种截然相反的结论。根据严格准确的定义，一次函数确实不是线性函数，因此，郝柏林教授对线性函数的解释欠妥当。可是，也不能说郝柏林教授对线性和非线性函数的说明完全错误，把一次函数也称为非线性函数。因为，一次函数y=ax+b通过简单的坐标平移，完全可变成线性函数y=kx，两者在坐标中的图象都是直线，所以，一次函数y=ax+b与线性函数y=kx具有等价性，它们是一个等价类，二者之间没有什么本质差别。但是，非线性函数（如y=x[2]）无论通过什么样的坐标变换，都不能变成线性函数，二者之间有本质的差别。
从上面关于线性和非线性的定义或说明中，可清楚地看到，所谓线性或非线性在数学中表示的是一种变量之间的关系，这种关系可表示为一种数学表达式或模型等。数学操作（或算子）f作用于某一对象x（如变量），就得到操作（或运算）结果f(x)。故f(x)的数学表达式表明了变量x与操作结果f(x)的一种关系；或者说，对于某一数学操作（或算子）f，输入x，其输出为f(x)，x经过数学作用，转变成f(x)，f(x)的表达式表明了自变量与因变量二者之间的关系。因此，判断一个事物、关系或作用是线性还是非线性，只能根据表达它们的数学关系式来做出结论，除此以外别无他法，否则，就会陷入语义混乱的境地。离开数学语言系统来谈论线性或非线性是不可能的，至少不能说明它们的精确含义，因为语词只有在一定的语境中才能获得其意义。如人们定义线性或非线性系统时，都用到数学方程或模型、数学表达式或数学关系式，下面举几个例子：
能够用线性数学模型描述的系统，称为线性系统，线性的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性，都满足叠加原理[1]15；
对一个系统而言，如果其特性是各部分值的一个线性函数，那么，该系统的数值特性是线性的（相对于系统各部分的赋值）[3]；
线性系统服从叠加原理，即两个解的组合会产生另外一个解，……对于在远离平衡态运作的系统，叠加原理通常不再适用，这时非线性就不可避免了，因为不能把非线性系统的两个解组合在一起得到另外一个解，所以非线性问题必须当作一个整体来求解[4]。
上述三个关于线性或非线性系统的界定，虽然没有直接使用数学表达式，也不一定等价，但却表明，系统的线性或非线性只能通过描述系统的数学模型、状态参量或数值特性来判断。同样，在复杂性科学中，经常提到的非线性过程、非线性现象、非线性关系和非线性相互作用也必须通过数学模型或表达式才能阐明它们的含义。如德国的克劳斯·迈因策尔(Klaus Mainzer)就这样写道：“在本书的复杂系统的数学框架中，复杂性首先是定义为一种非线性，这是混沌和自组织的必要条件，但不是充分条件。另一方面，线性意味着叠加原理，用通俗的说法是‘整体只是其部分之和’。”[5]在物理学、化学或其他非数学学科中，必须利用描写物理、化学等过程的数学模型或方程来判断该过程是线性或非线性，即利用数学方法来进行分析判断。只有把过程、现象、关系、相互作用抽象为关于变量之间关系的数学表达式，才可以说它们是线性的或非线性的。如有些人根据氢气和氧气发生化学反应生成的水具有不同于氢和氧的性质，就说氢气和氧气这种相互作用是非线性的。其实，这种说法是引人误入歧途的。因为，只有当把这种化学反应过程刻画为某个数学操作以表达该反应的某些方面的性质时，才能说它是线性的或非线性的。否则，这种“非线性的相互作用”就是模糊的文学比喻，与本意的非线性并不相干。如果通过线性数学操作，不能从氢气和氧气的性质得到水的性质，那么同样也不能通过非线性数学操作得到。再如两个人合作完成某一项工作，他们之间相互作用的性质也需通过数学关系来表明。假设，每个人单独完成这项工作都需10天，并共同完成这项工作，如果需5天，那么这种合作就可说是一种线性相互作用；相反，两人合作所需工作日不等于5天，那么他们的合作就可说是一种非线性相互作用。在这里，这种线性或非线性相互作用指的是每人工作效率与总工作效率的数学关系。
由以上论述不难看出，线性和非线性只能是数学概念，离开数学语言就无法精确刻画它们。但是，有些人总想把“非线性”抽象成一个模糊的哲学概念，结果造成不必要的语义混乱。
二、哲学中的“非线性”
对“非线性”的明确阐释只能在数学语境中完成。对此，当然会有不同的看法，如清华大学的吴彤教授在一篇总结复杂性和非线性研究的论文中写道：“我们看到，关于非线性的定义和认识基本上还没有离开自然科学层面，定义还出现强的自相关性，另外抽象程度还不足。关于‘非线性’及其相关问题的定义，典型的如，如果描述一个系统演化的动力学方程是非线性的，则我们认为这个系统是非线性系统（姜璐等）；‘非线性’是指两个变量之间没有像正比例那样的‘直线’关系；事物之间的相互作用是非线性关系，可以用非线性方程加以描述，这种相互作用就是非线性相互作用（申仲英等）。上述三个定义中，第一、三个自相关，第二个过分简单了，非线性并不是自明的。科学上的‘非线性’与‘线性’相比应该至少存在着两个差别：1)体系状态不满足均匀性和叠加性的要求；2)对不同的初始状态条件，体系可有完全不同类型的运动或完全不同的运动结局。故可以按照上述思想定义有哲学意义的‘非线性’。”[6]吴彤教授的上述观点并不仅是个人的，而是具有代表性的。尽管如此，这些看法并不一定正确，值得仔细分析。他说的“关于非线性的定义，基本还没有离开自然科学层面”，几乎正确，可还是宽泛了一点。从他所列举的三个非线性的定义中，可以看到有两个用非线性方程，一个用正比例关系，用的都是数学术语。所以，这些关于非线性的定义并没有离开“数学”层面，说“自然科学层面”是范围太广了一点。其实，自然科学中的“非线性”定义也只能通过数学关系式来完成，这再一次充分表明离开数学无法精确说明“非线性”。吴彤教授认为，在他所列举的三个非线性定义中，第一、三个自相关，实际上，第二个也是自相关的；第二个定义的含义，说得简单一点，就是指“非线性为非正比例”，用汉语来说，线性和正比例是两个术语。但是，在数学中，线性和正比例都可用同一个函数式来表达，即y=kx，二者的含义完全相同。因此，线性就是正比例，正比例就是线性，这个定义实质上为一同语反复——“非线性是非线性”，它也是自相关的。三个定义的自相关说明离开数学语境无法谈论非线性。吴彤教授还说“非线性并不是自明的”。前面的分析和定义说明，线性和非线性在数学中有精确严格明白的定义，它们的语义非常清晰，并非不是自明的。相反，笔者认为，离开数学语境谈论非线性，就会造成语义混乱。如吴彤教授在这里所界定的“科学上的非线性”就是如此，在他谈论的关于线性和非线性两个差别中，如果仔细分析这些语句的含义，发现只有“体系状态满足叠加性”具有较精确明白的含义，除此之外，其他语句的语义就不很清晰明白。如“体系状态不满足均匀性”是什么意思？它是指体系状态不相同，还是别的什么意思，即“均匀性”指“同一性”，实在无法搞清。
尽管吴彤教授界定的“科学上的非线性”就已经表现出语义的含混性，但他还是希望“按照上述思想”定义抽象的、有哲学意义的“非线性”，并且指出已有的非线性定义都“抽象程度不足”。前面已指出，只有把对事物的认识抽象概括，表达为一种数学关系式，才能判断其是否为非线性，这种抽象概括的结果是数学理论或表达式等，而不是哲学。能否把数学中精确明白的非线性概念抽象为哲学意义的“非线性”？虽然不能给予否定回答，但它是一个值得讨论的问题，因为数学概念抽象上升到哲学概念并没有必然的逻辑通道。研究哲学的人往往喜欢把数学和具体科学中的概念抽象为哲学概念，在这个抽象转化过程中，原来精确严格的数学和科学概念变为模糊的哲学概念，造成语言混乱，引起哲学争论，为研究哲学的人创造了研究课题；但这种“抽象转化”并不一定能使人类的认识深化和促进人类知识的增长。“非线性”是一个语义明晰的数学概念，出于人类认识的考虑，并不一定需要抽象概括为一个关于非线性语义混乱的哲学概念；只是研究哲学的人可能需要一个语义混乱的“非线性”哲学概念，否则，就不存在“非线性哲学”了。
“非线性思维”和“非线性语言”就是两个似是而非、语义混乱的哲学术语。非线性思维如果意指用非线性数学和科学理论、观点和方法来思考和解决问题，那么它的含义是明白的，也是可理解的。可是有的人，仅从字面上理解，把非线性思维解释为非理性、跳跃式思维、发散式思维、扩张式思维或直觉等，甚至解释为情绪化思维、胡乱联想等。在这种情况下，“非线性思维”就成了一个无定形的术语。“非线性语言”更是一个不知所云的术语，对于语言的语法和语义等因素，很难进行数学刻画，以形成数学模型来精确地界定什么是线性语言、什么是非线性语言。目前，至少笔者本人没有见到“非线性语言”的严格、精确说明。圣塔菲研究所的朗顿(Langton)认为，科学语言是线性语言，而文学、诗歌是非线性语言。很显然，科学语言更精确，并以理性为基础；而诗歌、文学语言更模糊，语义更跳跃，并以非理性、直观和常识为基础。朗顿虽然是一个科学家，但却抱怨他被科学语言的线性所困扰。他说：“诗歌，是在非线性地使用语言，诗意绝不是每一语意单位的简单总和。而科学同样要求不仅仅把整体看作部分之和。进一步的事实表明，系统确实不是部分之和，这意味着传统的方法，比如仅仅刻画部分和它们之间关系的方法，将不足以抓住系统的本质。这不是说就没有一个比诗歌更科学化的方法来做到它，相反，笔者总感到从文明发展的角度来讲，在科学的未来将会涌现出更多诗化的东西。”[7]根据朗顿的以上论述可以认为，诗歌之所以是非线性语言，是因为“诗意绝不是每一语意单位的简单总和”；相反，科学定律、理论仅是每一语意单位的简单总和，故科学语言是线性语言。笔者认为，朗顿的这些看法仅是模糊的文学化的比喻，算不上严肃的科学研究结论。朗顿把科学语言当作线性语言，是由于它的定量化和精确性，而缺少诗意；相反，把文学、诗歌当作非线性语言，是由于它的多义性和模糊性，而富有诗意。根据朗顿的这种分类，虽然非线性是一个数学概念，但是，数学甚至非线性数学都是线性语言，它们“不足以抓住系统的本质”；因而未来的科学将主要使用诗歌等非线性语言，数学等线性语言将不再成为科学的主要工具，未来的科学将更富有诗意。正因为如此，约翰·霍根认为科学正在文学化，科学理论也在编故事、讲故事，“科学（尤其是纯科学）已经终结，伟大而又激动人心的科学发现时代已一去不复返了”[7]1。果真如此，那么，非线性概念的模糊化、诗歌化、文学化、形而上学化和哲学化无疑更加速了科学的终结历程。
三、哲学应清除语言迷雾
非线性概念的模糊化、文学化和哲学化造成了语言混乱，引起了无谓的哲学争论，制造了虚假的哲学问题，迷失了人类的认识方向。维特根斯坦认为，哲学混乱的两大主要来源是语言混乱和本质主义倾向。语言混乱是由误解语言造成的，本质主义倾向即为寻找一般的和共同的东西[8]。他说：“关于哲学问题的大多数命题和问题不是错误的，而是没有意义的。因此我们根本不能回答这一类问题，我们只能确定这些问题是无意义的。哲学家们的大多数问题和命题是由于我们不理解我们语言的逻辑而产生的。”[9]正因为认识到语言问题的重要性，西方哲学在20世纪进行了第二次转向——从认识论到语言哲学。在近代，西方哲学研究方向发生了第一次重大转向，研究的中心课题从本体论变成了认识论，促成这次转向的是笛卡儿”[10]。西方哲学的两次转向使得主流哲学家们逐渐放弃了创造宏大而空洞的、甚至是错误百出的哲学体系，从而研究具体的语言问题，清除语言混乱，治疗“语言疾病”。特别是在20世纪，西方的主流哲学即为分析哲学，它是应用现代逻辑方法去分析语言问题。有人据此认为“西方哲学死了”、“20世纪是西方哲学走向终结的世纪”，其理由是：“他们（分析哲学家）愈来愈只关心枝枝节节的逻辑问题，关心语言、语义、语句等等的精确的分析，他们已经丧失了前期大哲学家们关心人类命运的博大的胸怀和深邃的目光，而只孜孜于眼前理论表述的精雕细刻。他们既无助于伟大的科学事业，也同样无助于伟大的民主事业，他们甚至还比不上从事实际工作的技术专家和艺术家。他们对于人类历史的作用价值已经大大地跌落了。”[11]尽管如此，分析哲学在语言问题的澄清、语义的明晰、清除虚假的哲学问题、指明真正的认识方向等方面，都取得了无数重大成就。哲学可以不直接研究人类命运问题（因为哲学不是万能的和无所不包的），但不能制造语言混乱和虚假的哲学问题。人类命运问题可由其他学科（如宗教学、伦理学）直接研究。同时，哲学直接研究语言问题，其目的也是为了认识世界，为了人类进步和生活幸福。但是，语言迷雾和虚假问题决不会给人类认识带来益处。因此，哲学的任务在于语义明晰，在于批判地考察问题，在于不断地澄清问题，而不是要制造虚假问题，这应该没有什么不妥之处。所以，哲学研究不应该使非线性概念哲学化，以至造成语言混乱和迷雾，而是应该使非线性概念语义明晰，清除关于“非线性”的语言混乱，驱散关于“非线性”的语言迷雾。
收稿日期：2004-08-26
标签：数学论文; 非线性论文; 一次函数论文; 线性系统论文; 线性思维论文; 线性论文; 语义分析论文; 模糊理论论文;