高中“数学情境与提出问题”的教学实践——“归纳—猜想—证明”教学案例，本文主要内容关键词为：情境论文,归纳论文,教学实践论文,教学案例论文,高中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学设计
本节课的目标是以数学归纳法的应用为基础，并利用从特殊到一般的归纳思想，解决一类探索性问题的求解，同时深化数学归纳法的应用，总结“归纳—猜想—证明”思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力.这是一节求解探索性问题的课型，这本身就决定了本节课应该是调动学生积极性，充分讨论，积极思考，集思广益，探索方法和结论的过程.所以采用“情境—问题”教学法.
笔者在课前做了如下准备：①将全班同学分为若干小组，每组6人左右，原则自愿组合，老师适当调整，使每组尽可能具备讨论问题氛围基础.②将合适题目，精选出6个，制成思考题单，课前发到各小组，各组就自己感兴趣的问题分析思考，以此奠定上课时各组之间研究问题的基础.③做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示.在上课的第一步，通过介绍哥德巴赫猜想的话题，借此具有感染力的事例调节课堂气氛，同时埋下“归纳—猜想—证明”这一探索真理重要方法的伏笔.关键之二，是使情境、问题形成锁链，相互孕育，有序展开.为此，本案例讨论的第一个问题，选择了具有直观意义的几何问题，在讨论思考运用“归纳—猜想—证明”的过程中，顺势扩展到更广的领域，并在总结中进一步提升认识未知世界的重要思想方法之一——“归纳—猜想—证明”的深远意义.
二、教学过程
1.展示数学情境
教师：同学们，1742年，德国数学家哥德巴赫（Goldbach）给当时住在德国的大数学家欧拉（Leonhard Euler）的一封信中，提出了一个猜想，每个大于或等于6的偶数，都可以表示成2个奇素数之和，这就是著名的——哥德巴赫猜想，它引起了许多数学家的广泛兴趣，曾经有人对33×10[6]以下的每一个不小于6的偶数一一进行验证，都表明是正确的，然而，验证不能代替证明.18、19世纪过去了，证明没有取得实质性进展，直到20世纪，才在不同程度上陆续获得成果，特别是我国数学家陈景润的研究成果，目前还保持世界领先地位.同时，国内外还有很多的数学工作者，至今还在孜孜不倦地为结果的最终证明而奋斗.
教师：从科学家们对哥德巴赫猜想的研究中，蕴含着一种探索真理的思维方法，请同学们说说看，是否对此有所感悟？
众学生：别人发现我证明；先发现，后证明；经过证明的结论才能可信……
学生1：从局部的特殊的发现，到一般的严格的证明.
教师：说得都不错，今天我们的共同任务，就是学习体验从特殊入手，探索一般结论的方法，解决一类探索性问题.
通过课件在屏幕上依次画直线，满足两两相交，任何3线不共点.学生准确迅速数出直线的交点数、平面区域数，并做记录.当画出第六条直线时，数数开始出现错乱.
2.提出数学问题
教师：同学们，体会刚才的数数活动，相信大家有疑要问，有言要发，现在请畅所欲言.
学生2：如果直线很少，相信人人会数，但如果直线越来越多，数起来就费力了.
教师：越来越多？100条多吗？能数吗？
学生2：100条？估计没有人能数清楚.
学生3：这问题一定要数吗？是否应该研究一下有没有规律呀！
学生4：我赞成.
教师：各小组发言踊跃，提出了各自的疑问及想法，综合起来大致归为如下几点：
（1）逐一数数是不是解决这问题的好方法？
（2）有没有规律可循？怎样寻找规律？
（3）那些点数、区域数有没有联系？它们和直线的条数之间是什么关系？
（4）是否可以像哥德巴赫那样去猜想规律？
（5）n条直线所划分的平面区域数f（n）的表达式是什么？n条直线所形成交点数g（n）的表达式是什么？
3.解决数学问题
教师：现在我们来探讨大家提出的问题.
看屏幕，上面是刚才画的直线，下面增加一张表格，请各小组迅速看图、填写，并陈述来自表格的信息（如表1）.
表1 直线划分平面区域数
注：规定1条直线的交点数为0.
各小组积极讨论探索，大约五分钟后.
学生5：我们小组填表完毕，前3列可直接数得；横向看每次增加的数构成等差数列，由此得出最后一列的结果：
教师：很好！归纳不错.其他小组结果怎样？
有的小组表示不很清楚.
教师：现在，请填完表的那个小组指定一名同学陈述一下思考过程（利用投影仪），让大家对比一下.
学生6：我们小组已完成了区域数问题，当直线为1条时，平面区域为2个，增画第二条直线，平面区域增加了2个，当增画第三条直线时，平面区域增加了3个，……由此，我们猜想，当画出第n条直线时，平面区域个数比n-1条直线时增加了n个，由此可以得出n条直线所划分平面区域的个数f（n）.即f（1）=2，f（2）=f（1）+2=2+2，f（3）=f（2）+2=2+2+3，……
还有交点数问题，方法相同.
教师：（其他同学都表示赞同）看来很有道理.我们现在是否已经完全解决了大家提出的问题？
学生7：我们小组赞同刚才的结论，但这只是根据几个特殊数据的规律做出的猜想，还需要严格证明.
教师：说得好，从特殊获得的猜想，是一种不完全的归纳，只有加上严格的证明，才是安全可靠的结论.哪个小组展示一下严格证明？
学生8：我们小组是用数学归纳法证明的，先说对f（n）的证明：
第一步：n=1时，显然成立：
教师：同学们，我们用短短十几分钟的时间，真实体验了“从特殊事例的观察归纳→科学的假设猜想→一般性严格证明”的探索方法的全过程.我提议，为我们探索的成功，也为我们的问题的彻底解决喝彩！（教室响起了兴奋的喝彩声、掌声）
4.总结数学应用
教师：我们可以把刚才的探索问题的方法总结为屏幕上的3个步骤：
“归纳—猜想—证明”.归纳——是来自对特殊事例的观察；猜想——来自归纳的发现；证明——确保猜想的正确性、推广应用的安全性.由于我们今天涉及的是与自然数相关的问题，所以证明的主要方法，就是数学归纳法.
请看大屏幕，下边是求解数列通项公式的题目，我们研究一下怎么解决.
与题设条件的关系较为隐蔽，让人感觉不好下手，怎么办？
学生9：猜想.
教师：怎么猜？能否说得具体点？
学生10：先看n=1，2，3等特殊情况，是否可以从中发现什么规律，从而做出合理的猜想，然后再证明.
这时大多数同学表示赞同.
教师：各组马上实践，看看刚才的思路是否可行？（大约五分钟后）
学生11（激动地）：老师！有了，我们小组的结果是
教师：很好，其他小组有意见吗？请各组把求解结果放到投影仪上来，相互借鉴.
先后有3个小组将解答交上来，当它们从投影仪上显示时，很多同学对其中只有猜想而没有证明过程的解答提出了异议，而没有递交答案的小组，借鉴其他小组的思路完善了自己的结果.
教师：刚才的问题，初步看来，条件与结论之间的关系并不明显，但同学们从特殊入手，发现了问题的奥秘，从而提出了科学的猜想，并用数学归纳法严格地证明了猜想的正确性，问题获得了彻底解决.这是同学们用“归纳—猜想—证明”的思想方法在代数问题中的成功应用，但规范表达上可进一步提炼.请看屏幕上的完整解答步骤，供参考.
教师：现在解答下列2个题目：
（2）求数列的通项公式.
这说明本课学生思想活跃，能不拘一格地改用不同的数学方法分析问题和解决问题.
巩固训练：用“归纳—猜想—证明”完成下
说明结论及相应的理由.
三、教学反思
结合评课及学生学习效果反馈情况，进行认真思考，形成以下认识：
（1）课堂气氛活跃.整堂课学生们自始至终保持了较高的讨论思考问题的兴趣和热情，显示了学生学习的积极性和自信心，奠定了实现课堂教学目标的良好基础.
恰当创设情境是顺利展开问题教学探究的关键，引入哥德巴赫猜想对本案例教学目标有较好的指导性，对于本堂课的良好气氛的形成，功不可没.
（2）本课的基本目标是用“归纳—猜想—证明”的思维模式，解决一类探索性问题，由于课堂民主和谐气氛贯穿始终，同学们讨论思考非常积极，思维明显活跃，不仅对老师预期的问题展开了充分讨论，实现了预期目标，而且有的同学还提出了其它解法，这在传统教学中，会因“不符本堂课主题”被忽视，客观上打击了学生的思维热情，造成学生不敢游离老师的既定思维半步，而只能枯燥地接受老师的填鸭，久而久之，学生便失去了数学学习的兴趣和能力；而在今天的课堂上，这种积极活跃的思维品质，得到充分肯定，同学们可以围绕要解决的课题，积极思维，提出自己的见解，在广泛的讨论交流比较中，提高分析问题和解决问题的能力.
（3）在高三阶段，怎样处理培养数学思想与解题训练的关系是一个值得探讨的问题.
多年的应试教育，形成了高三数学课的“概念、例题、训练”机械化填鸭模式，认为由于时间紧，老师争分夺秒不厌其烦地讲个不停，而学生囫囵吞枣，死记硬背，生搬硬套老师灌输的知识、技巧、题型等内容，看起来，每节课的容量大，但这些知识、技巧、题型的存在背景、来龙去脉，彼此间的相互关系，很多学生没有精力和时间去消化，其结果，熟悉的内容得高分，不熟的内容得0分.在本案例中，师生围绕几个典型问题展开了充分的讨论，学生在质疑、讨论、评价、总结的过程中，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果.
（4）最后2个练习题，老师没有做任何提示，原则上由各自独立完成，结果与预期相吻合.在几分钟的时间里，同学们几乎都能够利用从特殊到一般的归纳思想，顺利地得出定性结论，但在应用数学归纳法证明结论的过程中，部分同学遇到一定困难，尤其是不等式的放缩变形成为难点，同学们普遍认为，数学的抽象性是客观存在的，对本节课讨论涉及的思想方法有较好的理解.
（5）对“情境—问题”教学模式的体会：
①“情境—问题”教学法，顺应国家教育改革思想，是实用方便，行之有效的创新教育模式（注：汪秉彝，吕传汉.创新与中小学数学教育[J].数学教育学报，2000.9（4）.34）.
②“情境—问题”教学法和当今提倡的“研究性学习”思想相得益彰，有利于解决“研究性学习”在我国推广普及应用于课堂教学（注：吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2001.10（4）.9-14）.
③“情境—问题”教学法，优化思维情感，符合认识知规律.该教学法强调创设能激发思维火花的情境，融师生和谐于一体，围绕相关问题而探索，集思广益，共同提高，这将对国家倡导的“大力弘扬民族精神”有深远的意义.