导数运算在工程经济学中的应用研究
王海萍，马树燕
（昆山登云科技职业学院 公共课部，江苏 苏州 215300）
[摘要] 导数在经济领域的应用非常广泛，运用导数对工程经济活动中的实际问题进行边际分析和弹性分析，可以为企业对经济活动中的工程预算、决策和分析等行为给出科学的量化依据，利用这些分析方法还可以帮助企业理解各种经济趋势和政策导向，为企业在处理优化问题和各种决策行为时起到很好的促进作用。
[关键词] 导数；工程经济学；边际分析；弹性分析
工程经济学（Engineering Economics）是研究工程技术实践活动经济效果的学科，研究如何有效利用资源，提高经济效益的学科。综合性、实用性、定量性、比较性和预测性是工程经济学的几个主要特点。工程经济学的主要任务就是运用经济理论和定量分析的方法，研究工程投资和经济效益的关系，以有限的资金完成工程任务，得到最大的收益。要很好地完成这些任务单靠技术是远远不够的，而是必须通过效益和成本的计算比较才能解决这些实际问题，从而更好地做出最优决策。所以在运作过程中必然要进行大量的分析、计算，而微积分中的导数就是一个很好的运算工具，在此我们主要讨论导数运算在边际分析和弹性理论和最优化中的应用。
1 导数的应用——边际分析（marginal analysis）
边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法，在经济管理中有着很重要的地位和作用。 我们已经了解到，函数
在点x 处的导数f ′(x )称为边际函数，在经济学中主要涉及到边际成本，边际收益和边际利润。我们从导数的定义形式
可以看出，导数是用来刻画两个变量的相对变化率的。进而可以看出边际函数是描述一个经济变量变化一个单位后会引起另外一个经济变量变化f ′(x 0)个单位。
1.1 边际成本
设总成本函数C =C (Q )，其中C 表示总成本，Q 表示产量，则称总成本函数C =C (Q )的导数
（或者
）为边际成本函数。 其经济意义为：当产量达到Q 时，如果再增加一个单位产品，将增加的成本为C ′(Q )个单位。换言之，边际成本指的是每一单位新增生产的产品带来到总成本的增量。 这个概念表明每一单位的产品的成本与总产品量有关．比如，仅生产一辆汽车的成本是极其巨大的，而生产第100辆汽车的成本就低得多。但是随着生产量的增加，边际成本可能还会增加。比如已知某商品的成本函数为
，求得
可得
时的边际成本
，结果表示当生产第11件产品时所花费的成本为5元。另外平均成本函数为
，可得
时的平均成本
由以上数据分析，当产量
时，从降低单位成本的角度考虑，可以继续扩大生产量。
经检验、护理，对患者不良反应、依从及满意率进行分析，其中不良反应包括：恶心呕吐、发烧、心悸，依从及满意率应用本院自制评定表评估。从患者完全依从、基本依从及不依从三方面评估依从率，分值0～100分，分值高依从性高；从护理态度、质量、及时性及人员素质评估满意率，分值100分，分值越高，满意度高。同时观察图像检查质量，图像质量Ⅰ级图像清晰，分辨率高；图像质量Ⅱ级：图像模糊，分辨率低[4]。
如今，走进云南中行各地的网点，市民便可体验到智能柜台带来的便利；即使没空去网点，手机银行同样会让市民感受到银行科技创新的快捷服务；或者是在社区，居民也可在银行工作人员带来的移动柜台轻松办理各项金融业务。
对于近日公募密集发力政策性金融债券指数的现象，业内人士表示，今年以来利率债牛市格局较为显著，未来或有望延续，但国内信用风险目前仍未 出清，而政策性金融债信用评级高、体量大、流动性好，是较为稳健的投资标的，其指数化投资方式也为投资者带来众多便利。
1.2 边际收益
影响需求价格弹性的因素很多，主要有： 商品对消费者生活的重要程度。一般来说，生活必需品的需求价格弹性较小，比如食品、燃料及药品等生活必需品一般都缺乏弹性；非必需品的需求价格弹性较大。例如，电影票的需求价格弹性是比较大的；拥有替代品的物品比比没有替代品的物品的弹性要大。比如牛肉价格上涨，人们可以用鸡肉等其他肉类食品来替代牛肉来满足自己的肉类需求，这样直接导致牛肉需求量大幅度变化，所以牛肉的价格弹性在这里就比较高。而假设所有的食品或鞋子价格上涨，人们不会因为这些物品价格上涨而不吃食物或光脚走路，因而基本上不会影响需求量，所以食品和鞋子的需求缺乏价格弹性。另外奢侈品也大多富有弹性，奢侈品或有替代品的物品，这类物品消费者有较长的时间调整其行为的物品，所以需求的价格弹性比较大。消费者调整需求量的时间。一般而言，消费者调整需求的时间越短，需求的价格弹性越小，相反调整时间越长，需求的价格弹性越大，如汽油价格上升，短期内不会影响其需求量，但长期人们可能寻找替代品，从而对需求量产生重大影响。购买商品的支出在人们收入中所占的比重大，弹性就大；比重小，弹性就小，比如买一包口香糖，一般不大会注意价格的变动。
1.3 边际利润
设总利润函数为
（其中L 表示利润，Q 表示销售量），称利润函数L (Q )的导数L ′(Q )为边际利润函数。在经济学中，边际利润的经济意义是指增加单位产量所增加的利润，即厂商每增加一单位的产出（或销量）所带来的纯利润的增加。因为，
即边际利润为边际收益与边际成本之差。因此，边际利润的多少取决于边际收入和边际成本.并且
不同物品的需求价格弹性或者说对价格的敏感程度差别很大，有些物品的需求量对价格变动的反应比较强烈，而有些物品对价格变动的反应微弱。所以需求价格弹性的分类根据需求价格弹性系数的大小可以把商品需求划分为五类：完全无弹性、缺乏弹性、单位弹性、富有弹性和无限弹性。
“先到这儿有爿店，”她低声向他说，“我耳环上掉了颗小钻，要拿去修。就在这儿，不然刚才走走过去就是了，又怕你来了找不到人，坐那儿傻等，等这半天。”
则
，即
，求得
此时总利润最大，且可求得最大利润为
可以看出利用导数运算可以帮助企业进行盈亏平衡分析，以判断项目对不确定性因素变化的适应能力和抗风险能力。找到盈亏平衡点，可以进一步确定项目对减产、降低售价，单位产品可变成本上升等因素变化所引起的风险的承受能力。
2 导数的应用——_弹性分析（elasticity analysis）
例如设某商品的需求函数
利用需求弹性公式可求得
当
时，
此时价格上涨1%，需求下降0.6%，但下降的幅度不大；当P =5时，
，此时价格上涨1%，需求下降1%，价格与需求的变动相同；当P =6时，
，此时价格上涨1%，需求下降1.2%，下降的幅度比较大。
混沌是非线性动力学系统所具有的一类复杂动力学行为,由于混沌信号频谱类似噪声,具有极好的随机性[1],而且用混沌电路可以比计算机更快的产生随机性更好的伪随机数,因此混沌电路在信息加密、保密通信等信息工程领域得到了广泛的应用[2-3]。大部分非线性状态方程都可以通过混沌电路模拟出混沌现象,所以混沌电路成为非线性科学研究领域的一个重要载体。典型的混沌电路有蔡氏电路[4]、考毕兹振荡器[5]、文氏桥混沌振荡器[6]、基于非线性元件的振荡电路[5,7]以及基于混沌或超混沌系统的等效电路[8-9]。
2.1 需求弹性（price elasticity of demand）
实际生活中我们看到，作物大丰收不但没有给农民带来更多收益，反而降低了农民收入。这是怎么回事呢？在了解需求弹性的基础知识之后，我们就可以来分析这种现象，也就是经济学中的著名的悖论之一——丰收悖论。显然农民种植的小麦、玉米等基本粮食作物缺乏弹性，产量增加即供给量提高，进而价格降低，但是价格下跌并不会使得需求量增加很多，所以导致农民的总收益下降，“谷贱伤农”就是这个道理。
边际问题是讨论函数改变量与函数变化率，它们是绝对改变量和绝对变化率，但在经济学中要更多地研究函数的相对改变量和相对变化率，为此我们引进弹性的概念，它可以比较客观地反映一个经济量对另一个经济量改变的程度。 弹性概念是经济学中的另一重要概念，用来定量地描述一个经济量对另一个经济变量的变化程度.在经济学中，弹性是对供求相对于价格变动的反应程度进行定量分析的方法。当
时，函数
的相对改变量与自变量的相对改变量之比
的极限称为函数
在x 处的弹性函数（简称弹性），记为
.即
称为
在
处的弹性值.它表示当x 改变1%时，函数f (x )近似地改变
在这里我们主要讨论需求的价格弹性。
当
时，
其经济意义是，如果产量已达到Q ，再多生产一个单位产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润有所增加；当
时，
，此时再增加产量，所增加的收益要小于所增加的成本，从而总利润将减少。这也说明，对厂家来说，并非生产的产品数量越多，利润就会越高。利用导数，可以进一步求出产量为多少时，利润可达到最大化。例如设某产品的需求函数为
，成本函数为
由题意知
设总收益函数为
，其中R 表示总收益，Q 表示销售量，称总收益函数R (Q )的导数R ′(Q )为边际收益函数。由总收益函数可表示为
（其中P 为价格）可知边际收益函数为
在经济学中，边际收益其经济意义为：在销售量为Q 时，再多销售一个单位产品所增加（或减少）的收益，也可理解为最后一单位产品的售出所取得的收益，它可以是正值也可以是负值. 例如某产品的需求函数为
（其中P 为价格，Q 为销售量），我们来讨论销售量为15个单位时的平均受益和边际收益. 总收益函数为
，从而有平均收益
，边际收益
.当销售量为15个单位时，总收益为
，可得平均收益为
，边际收益为
.结果表明，此时再销售一个单位时，收益会增加14。易求得
，我们可以理解边际效用递减的规律，虽然开始产出总量是递增的，但是其二阶导数为负，使得其增长速度不断变慢，最终趋于峰值，并有可能衰退，即随着销售量的增加，边际收益要经历递增、递减、最后变为负值的过程。利用导数我们还可求得要达到峰值状态的销售量和收益，方便销售商作出合理的进货、库存安排。
需求的价格弹性，在经济学中一般用来衡量需求的数量随商品的价格的变动而变动的情况.需求价格弹性是需求变动率与引起其变动的价格变动率的比率，反映商品价格与市场消费容量的关系，表明价格升降时需求量的增减程度，即当价格P 改变1%时，需求函数Q (P )近似地改变
公式表示为
为商品在价格为P 时的需求价格弹性（也称需求弹性）。
除了解释经济现象，利用需求价格弹性知识还可以帮助我们理解各种经济趋势及政策方面的问题。比如产业革命带来了农业的衰落，政府对市场干预所产生的各种结果等。
2.2 供给价格弹性（price elasticity of supply）
消费不是唯一受价格影响的变量。企业在制定生产决策时也会受到价格的影响。即商品供给量对市场价格的反应程度——供给价格弹性。更准确地说，供给的价格弹性是供给量变动的百分比除以价格变动的百分比。设商品的供给函数
在P 处可导，称
为商品在价格为P 时的供给价格弹性，微分形式为
例如某产品的供给函数为
，若想知道价格
时的供给弹性， 先求得供给弹性函数为
当价格P =3时，
因为供给函数
是价格P 的单调增加函数，因而
，且变量Q 和P 均为正数，故总有
，即供给弹性恒正。
影响供给弹性的的因素主要有两个方面：行业中增加生产的困难程度。比如服装产业，因为相应的投入品容易购得，价格稍有上升就会导致大量的生产扩张，表明服装产业的供给弹性相对较大。而另一方面，比如钻石，即使价格上升， 介于开采和加工的难度等因素，产量也不会增加很多，这就是供给缺乏弹性。 考察时间的长短。随着企业做出反应的时间的增加，给定的价格变动就会对供给量产生较大的影响。短时期内，企业可能无法进行各种物资投入，供给一般会缺乏弹性，但是随着时间推移，生产者有足够的时间去扩大生产能力，这样，供给弹性就会变得相对较大。一般情况下，在短期内劳动密集型产品比资本密集型产品的供给弹性要大。
3 结语
数学作为基础学科，在各个领域都得到广泛研究，把抽象的数学知识应用到具体的社会实践中，尤其在经济学中，利用数学中的微积分知识对微观经济学进行定量的分析，可以为经济研究工作者和决策者提供多方面指导，给企业经营者提供新的思路和视角。在消费者理论和生产者理论中，数学方法的应用使得经济学内容更加清晰明了，数学模型更是为经营决策起到了不可替代的作用。因此，数学理论是经济学发展中不可缺少的强大后盾。
【参考文献】
[1] 曼昆. 经济学原理[M]. 北京：北京大学出版社，2018.
[2] 陈笑缘. 经济数学[M]. 北京：高等教育出版社，2009.
[3] 保罗 .萨缪尔森，威廉.诺德豪斯. 经济学 [M]. 北京：人民邮电出版社，2004.
[4] 吴传生. 经济数学[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[中图分类号] F
[文献标识码] C
[文章编号] 2096-1995(2019)18-0122-03
作者简介： 王海萍(1978-),女，山西平遥人，硕士，讲师，研究方向为高职数学教育及微分方程稳定性。电话：15962505192，Email：9473778@qq.com
标签：导数论文; 工程经济学论文; 边际分析论文; 弹性分析论文; 昆山登云科技职业学院公共课部论文;