转变学生学习方式的有益尝试——新课标下数学复习课教学的一个案例，本文主要内容关键词为：学生学习论文,新课标论文,有益论文,课教学论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
传统的学习方式把学习建立在人的客体性、受动性和依赖性的基础上，过分强调接受和掌握，忽略了发现和探究，致使学生的学习成了纯粹被动地接受、记忆的过程，从而导致人的主动性、能动性和独立性的不断销蚀。转变学生的学习方式就是要改变这种学习状态，把学习变成人的主体性、能动性和独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程，让学生真正成为学习的主人。
新课程数学教学中，怎样上好一节复习课？笔者尝试从高一年级开始，引导学生学会梳理知识，学会查找资料，帮助学生学写小论文，并推荐到校刊发表，利用学生拥有的强烈的成功欲，使他们在成功的喜悦中深切感受到数学学习的兴趣。下面是一个案例。
在学完第一单元函数知识后的一个周末，本着回归教材，注重基础，便于学生人人动手的指导思想，本人布置了如下一道较长时间的作业：
一、问题呈现
求下列函数的值域：
1)y=2x-3，(i)当x∈R时；(ii)当x∈｛0，1，2，3，5｝时。
你能用尽可能多的方法完成上述各题吗？你认为求函数的值域应注意什么？试以“函数值域的求法”为题写一篇小论文或学习总结。给大家一周的时间，下周五上关于这一专题复习的成果展示课。
下面是这堂课的实况：
二、教学实录
1.展示成果，张扬个性
师：同学们，上周布置的数学作文完成了吗？函数值域的求法究竟有几种？请举手回答。
（学生兴致盎然，纷纷举手发言，生甲说有7种，生乙说有8种，生丙说有10种，……）
看来大家准备充分，先由哪位同学说出上面第1题的解法呢？
生1：（站起来发言）第1题可根据函数的定义域及对应法则求得值域：(i)当x∈R时，y∈R；(ii)当x∈｛0，1，2，3，5｝时，y∈｛-3，-1，1，3，7｝。这个题的求法很简单，称为直接法。
师：说得好！直接法体现了函数值域由定义域和对应法则来确定，此题还有不同的解法吗？哪位同学说一说？
生2：第1题还可用观察法。因为函数y=2x-3，当x∈R时，它是一次函数，其图像是一条直线，沿着x轴两侧无限延伸，显然y∈R；当x∈｛0，1，2，3，5｝时，它的图像是6个孤立的点，这些点的纵坐标的值的集合就是它的值域，即y∈｛-3，-1，1，3，7｝。
师：很好！这种方法似乎也能很快求出函数的值域，大家能给出另一个更好的命名吗？或更能体现数学思想方法的命名？
生3：图像法，因为我们是根据函数的图像来直接判断的。
生4：由“数”联想到“形”，数形结合法。
师：这两种新命名法本质一样，我赞同采用数形结合法命名之，因为这是我们今后学习中常用到的一种数学思想方法（师画图解析）。对上面的解答，大家认为求函数的值域应注意什么？为什么？
生5：应注意函数的定义域，因为函数的值域是由函数定义域和对应法则确定的。同一个函数解析式，因定义域不同，值域也不相同。
师：回答正确。哪位同学能用此法求其他函数的值域呢？
第4题，借助数轴可知，y的值表示数轴上任意一个实数x所对应的点P到实数-3，5分别对应的A，B两点的距离之和，显然PA+PB≥AB=8，故y∈[8，+∞）。
（师画图解析）
师：非常好！运用数形结合法一目了然，可谓是多题一法。对第2，3，4题还有不同的解法吗？哪些同学能上台板演？
生8：第3题，因为x∈R，｜x｜≥0，所以｜x｜=y+1≥0，即y≥-1，y∈[-1，+∞）。
生9：第4题，当x＜-3时，则-2x+2＞8，此时y=5-x-x-3=-2x+2＞8；当-3≤x≤5时，y=5-x+x+3=8；当x＞5时，则2x-2＞8，此时y=x-5+x+3=2x-2＞8。综上，当x∈R时，y∈[8，+∞）。
师：哪位同学能给上面3个同学的解法命名一下？
生10：第2题的解法是配方法，第4题的解法是分段讨论法，至于第3题不好说，似乎是利用“非负数”……。
师：答得不错，第3题解法可看成通过中间函数y=｜x｜的值域去求解，我们称之为中间媒介法，第2题的解法中也蕴涵这种解法，那么第5，6，7，8题各有几种求法呢？哪位同学能上台板演？（学生争先恐后）
棒极了！板书共10种方法。
2.质疑辨析，讨论发现
师：同学12与同学13解法结果略有不同，谁对谁错呢？
生16：生13是对的，从他的解法中可看出，生12解法有问题，对含字母系数的方程(1)没有讨论。当y=1时，关于x的方程(1)无解；当y≠1时，一元二次方程(1)有解，再利用判别式可求出正确答案。
师：回答正确！对含字母系数的一元二次方程，应注意使用判别式的条件。那么同学11的解法 2对吗？求反函数的步骤是怎样的？
生17：是对的，因为反函数定义域是原函数的值域，所以求函数的值域时，若该函数有反函数且可求，只需求反函数的定义域就可以了。
师：好像有了反函数的定义域才有原函数的值域，该同学的观点正确吗？同意这种说法的同学举手。
（当时有部分同学赞同，也有一部分同学若有所思，不敢苟同）
生18：正确！（理直气壮似的）“若一个函数y=f(x)是定义域到值域上的一一映射，且反函数解析式易求，则可利用反函数的解析式
来确定原函数的值域，这是因为的定义域是y=f(x)的值域”，有书为证：见薛金星主编《中学教材全解·高一数学（上）》，陕西人民教育出版社，2003年5月第4版第112页。
（笔者曾见过不少教辅资料用过这种求法，也见过杂志文章讨论过些问题，现在又意外地由学生提出这个问题，成了本节课内容的“生长点”）
师：该同学能引经据典，查阅资料，值得大家学习，但是由反函数的定义知，要想求原函数的反函数，必须已知或先确定原函数y=f(x)(x∈A)的值域B，然后才能对任-y∈B时去求出定义域A内唯一的
，这样才能得到其反函数(x∈B)。例如，函数y=2x(x∈R)的反函数为
(y∈R)，但(y∈Z)不是函数y=2x(x∈Z)的反函数，因为(y∈Z)的定义域显然不是原函数y=2x(x∈Z)的值域，由此可见，原函数的值域还未求出来，怎样保证变形过程中y的取值范围不变呢？……
（言未尽，一个学生似乎顿悟，突然站起来发言）
生19：把求反函数的定义域作为求原函数值域的一个方法，是将问题本末倒置了。
生18：哦！（恍然大悟，惊喜地）老师，我以前没有深入思考，现在说来，课外资料中的提法是错误的！
师：该同学说对了，“尽信书则不如无书”，我们不能唯书是从，要坚持真理！
3.设置冲突，深化理解
师：现在请大家来做下面一道题，哪位同学上台一显身手？
得函数的值域是[3，+∞）。
大家认为这两种解法中哪一种正确呢？还是两种解法都不正确？为什么？
（学生思考、讨论，教师巡视、指导）
生21：两种解法中，解法1理由充足一些，运用了换元法和二次函数的单调性求解，求解的过程没问题；解法2好像有问题，但我还未看出来原因。
师：（适时点拨）解法2是不是同学11的求反函数法？为何两种解法结果不同？同学11同样地用这种方法，而两种结果又怎么相同呢？大家从同学13的解法2中能得到什么启发？能否运用求反函数步骤中的反解x法求解第5题？这种方法的实质是什么？
（真如一石激起千层浪，同学当中开始议论、合作、交流，令人兴奋！）
生22：老师，我想出来了，这种解法的实质是运用方程的思想。
师：好，请把你的解答过程写出来，供大家欣赏！
生22：因为x≠1，即1-x≠0，由于
，得
(y+1)x=y-1。
(2)
当y=-1时，关于x的方程(2)无解，又x∈｛x｜x≠1｝，所以方程(2)有解，必须y≠-1，故y∈｛y｜y≠-1｝。
点评 在求函数y=f(x)(x∈A)的反函数时，实际上要用含y的式子去表示x，这时必然要考虑y是什么数时，关于x的方程y=f(x)有属于A的解；y是什么数时，它无解，这是解字母系数方程必须注意的问题。这种解法不妨称之为方程法或反解x法，由于考虑y是什么数时，方程y=f(x)有属于A的解x，其实就是在考虑函数y=f(x)的值域，所以说反函数法求函数值域是错误的。
师：可是问题出在哪里呢？用反解x法怎么也是这个结果！
师：很好，正如同学5所说的，要注意函数定义域，现在两种解法结果终于一致了，大家对此体会到什么？
生23：运用反解x法，在考虑y是什么数时，方程(3)有属于A的解x，其实是在考虑原函数的值域，而值域由原函数的定义域和对应法则来确定；另外要考虑到变形的等价性，还运用了中间媒介法。
4.尝试析微，探讨感悟
此时趁热打铁，再给出以下几道例题，供学生演练，让学生体验“尝试—失败—探究—成功”的历程，以求学生对各种方法的深入理解和灵活运用，针对学生出现的错解、失误作出原因分析，破除思维定势，从而培养学生数学思维的广阔性、严谨性和灵活性。
例2 求函数
的值域。
（给出错解、思维定势、原因分析、正解四部分，具体内容略，下同）。
5.总结反思，完善认知
经过师生共同努力，得到函数值域的10种求法以及2个结论，并反思，布置写小论文。
方法 直接法；数形结合法；配方法；分段讨论法；中间媒介法；分离常数法；反解x法；判别式法；换元法；单调函数法。
结论 1)函数y=f(x)(x∈A)的值域就是使关于x的方程y=f(x)有属于A的解的y值的集合；
三、教后感受
本案例通过学生说解法特点，说思路入口，说解法比较，让学生的数学思维能力得到提高，理解和表达数学语言的能力也得到了锤炼，学生在思考、探索和交流的过程中，真正获得了对本节课数学知识较为全面的体验和深刻的理解，课堂教学气氛也达到了高潮。
为了诱导学生主动参与学习，引导学生学会总结知识，指导学生学会探究学习，笔者认为教学预设必须注意两点：1)呈现的问题只有适合于多数学生且处于学生“最近发展区”内，才能让学生产生有所收获的自主学习。由于教学对象是高一学生，所以选题要避免片面追求“新、奇、难”，要保证起到“麻雀虽小而五脏俱全”之功效；2)问题的探究只有借助教师设置的认知冲突和适时点拨，才能水到渠成，让学生透过迷雾，明辨是非，并深入理解数学思想方法之间的有机联系和相互转化。