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课题：中学数学思维方法训练专题——分析与综合
教学设想：纵观中学数学的整个学习及复习过程，其思路大体是：知识分块、解题类型方法、专题讲座，注重具体解题的一招一式，专题中又主要以函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等四大思想为主.往往忽视解题目标、过程分析以及解题中数学思维方法的培养，最直接的弊端是学生思维能力普遍不高，缺乏独立思考、开拓创新的意识和能力，很少对数学中常用思维方法进行专题探讨.在去年高考复习中，我们有意识地归纳整理了部分思维方法训练专题讲座，有意识地阐述科学的思维方法，有针对性地对学生进行思维训练，将正确思维方法逐步贯穿于整个复习过程的始终，学生思维能力得到有效培养，高考数学成绩明显提高，均分达107分，及格率达88％，受到师生好评.
《教学大纲》也明确提出：“数学教学的目的就是……要培养学生思维能力，……形成良好的思维品质.”著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学思维活动的教学，数学思维问题应该是数学教育的核心问题，应该把发展学生数学思维放在第一位.”因此，在中学数学教学中非常有必要对常见的数学思维方法进行适当的强调，进行有效的专题训练，使每一位学生掌握科学的思维方法，形成较强的思维能力.
根据数学思维的特点及常用的思维方法，我们归纳整理了以下几个思维训练专题：（1）分析与综合；（2）归纳与演绎；（3）比较与类比；（4）抽象概括与猜想；（5）特殊化与一般化；（6）联想与想象；（7）灵感与顿悟；（8）直觉思维.
本节课主要对专题“分析与综合”进行系统讲解，阐述分析思维方法与综合思维方法的思维特点，运用该思维方法解决相关的数学问题，提高学生的思维能力，增强思维的广阔性、深刻性、灵活性，逐步形成良好的思维品质.同时注意高中数学复习单调枯燥的处理，增强数学课的趣味性，提高复习效率.
教学目的：（1）阐述数学思维方法的特点和意义，使学生掌握分析思维方法及综合思维方法的实质，能够应用分析法与综合法分析问题、解决问题；
（2）培养学生数学思维品质，提高学生的思维能力，增强思维的广阔性、深刻性、灵活性，逐步形成良好的思维品质，增强学习数学的主动性和积极性；
（3）加强数学课的知识性、方法性、灵活性、趣味性，高效复习.
教学重点：分析思维方法和综合思维方法.
教学难点：数学问题的思路探索过程.
教学方法：多媒体辅助教学法，启发引导探索法，讲练结合法.强调学生的主体性，注重学生的参与性，教学过程的互动性.
教学过程：
一、课题引入
我们试着找一找下列数学游戏的答案：有两个容器，小桶的容量是4个单位，大桶的容量是9个单位，怎样才能从河中恰好打上6个单位的水呢？
（实际准备两个没有刻度的量筒，分别为4个单位和9个单位，一部分水，可让个别学生上台演示，以增强课堂气氛，激发学习兴趣；）
当我们碰到这个问题时，大多数人都是从两个空桶开始，试试这个，试试那个，倒空又装满，装满又倒空，很难得出问题结论；当我们不成功时，不要再走老路，重新开始，试试其他方法.凡是有卓越才能的人，从数学课中学到的不仅仅是套公式、演算，而是遇到问题会思考，他们往往是回过头去“倒着思考”.
I.设想大桶中正好有6单位水；Ⅱ.小桶中倒出3单位剩1单位；
（只要能够得到1单位的水问题即可解决）
Ⅲ.大桶中倒出两次4单位剩1单位；Ⅳ.大桶倒入小桶即可.
经过上述分析，我们从结论到条件的逆行分析，找到了解决问题的操作程序.在实施问题时把整个过程原路返回；不是走直接通往目标的道路，而是从目标开始，转过头来逆向行驶，最终可以成功地解决问题.
反思：从上述例子中我们深深体会到，从目标开始，盯住目标，反其道而行之，这是一种非常好的思维方法，深刻领会这种“正难则反”方法，可迅速解决许多较困难的数学问题.
二、一道高考试题
2002年高考文科第22题：（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（图7，图8），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线表示在图中，并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（Ⅲ）如果给出的是一块任意三角形的纸片（图9），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线表示在图中，并作简要说明.
（本试题表述简明，层次分明，问题新颖，趣味性强，以能力立意，不需很深数学知识，着重考查学生灵活的思维能力，有较强的选拔功能，对中学数学教学起到了良好的导向性，从中我们深刻体会到怎么教，最终教什么）
分析：本试题普遍反应较好，但高考中得分率较低，当我们遇到问题解决较困难时，可采取正难则反的思维方式，假设问题目标已经得出，从目标结论逆行思考，进一步探索分析问题的思路.
（下面用多媒体动画演示全过程）
Ⅰ.目标是三棱锥，将三棱锥三个面展开在同一平面内，易解；
Ⅱ.目标是三棱柱，将三棱柱三个面展开在同一平面内，上底面分解为三个小四边形，且面积之和等于下底面面积；
Ⅲ.将Ⅱ推广之，将直棱柱侧面展开后，需达到三个小四边形面积之和等于直棱柱底面面积；
通过上面的分析，我们找到了解决问题的思路，下面叙述解题过程.
①沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一正三棱锥；
②取三角形三边之四等分点，过四等分点作边的垂线，沿垂线剪下三个角，余下部分沿三个边折起，可拼成一个缺上底的正三棱柱，而剪下的三个角恰好可拼成这个正三棱柱的上底；
③剪拼正三棱柱模型的方法推广，因为角平分线到两边的距离相等，取任意三角形的内心，分别连结内心到各顶点的三条线段，取三条线段的中点，过三点分别向三边作垂线，沿垂线剪下三个角，余下部分沿三个边折起，可拼成一个缺上底的直三棱柱，而剪下的三个角恰好拼成这个正三棱柱的上底；
反思：只有掌握正确思维方法，会分析，会思考，就可以从无边题海中摆脱出来，解题能力会明显提高.
三、方法总结
分析思维方法：分析在数学中特指从结果（结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法.数学中的分析法又称逆求法，是从结论出发寻求其成立的充分条件的思考方法.它是从未知来求需知直到与已知吻合的思维方法.其思维过程的主干可表示为：
（其中B是命题的结论，且是命题的条件）
综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求未知的思考方法，即由因导果法.综合思维是一种侧重于整体性的思维，是数学中表达求解、论证过程，从结论出发寻求其成立的必要条件的思考方法.但是综合并不是分析结果的简单相加，由于研究对象各部分或各方面性质的有机联结，往往会发现许多新的联系和性质，因此它有发现的一面.其思维过程的主干可表示为：
（其中A是命题的条件，B是命题的结论）
反思：在数学教学中，分析与综合是思维过程中相互补充、相互渗透、辩证统一的两个方面.实际解题时，要根据问题的特点灵活运用这两种基本方法.思考的过程重在探索和分析，表述的过程则需要整理和综合.但更多的时候是交替地使用分析和综合，即采用分析综合法进行思考，使问题更快地得到解决.整个问题的思考探索过程可用图16形象表示.（多媒体动画显示逐渐相交的过程）
四、思维能力训练
所以只需要沿十字形对角线裁剪即可.
反思：很多同学常常感到，遇到问题不会分析，无从下手，老师一讲就懂，自己一做就错，问题的原因的关键是没有掌握数学思维方法，不会思考。
五、知识拓展——数学故事
从前有个富于冒险精神的年轻人，在他的曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面记载了一项宝藏，年轻人非常激动地读到：
“乘船至北纬△△、西经△△，即可找到一座荒岛，岛的北岸有一大片草地，草地上有一株橡树和一株松树，还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的，从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树，向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩，然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，在两个桩的正中挖掘，就可以找到宝藏了”.
年轻人租了一条船开往目的地，找到了小岛，也找到了橡树和松树，但天长日久的风吹日晒雨淋，绞架不见了，年轻人只得乱挖掘，最后是白费力气，两手空空，至今宝藏还埋在荒岛上呢！
故EF中点在y轴上，这样就可找到宝藏.
只要我们懂一点数学知识，再结合正确的思维方法，无须在整个岛上挖来挖去，用科学的方法可以轻易地找到宝藏.
所以说，真正的宝藏应该是知识，应该是正确的思维方法，良好的思维品质，知识会遗忘，财宝会用完，而通过严格数学训练探索思考培养起来的优秀的思维方法，则是取之不尽，用之不竭的巨大财富.
六、小结
1.掌握分析综合思维方法，逐步学会分析问题，解决问题，提高解题能力.
2.分析的思维方法其实质就是：正难则反.