小学数学学习理论及其对课堂教学的启示（续），本文主要内容关键词为：课堂教学论文,其对论文,小学数学论文,启示论文,学习理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三、乘除法的学习与乘法推理能力的发展
一些教师认为，乘、除法是小学生学习了加减法后再学习的一种数学运算，当学生学习使用乘除法时，他们的推理能力没有大的改变。对于这种观点，皮亚杰和他的同事提出了质疑。皮亚杰等认为，儿童在理解乘除法的过程中，他们的数学思维发生了重要的变化。学习乘除法应该使小学生的数学思维产生一次新的飞跃。通过学习乘除法，小学生不仅掌握了运算技能，而且拓展了数学视野和应用数学的空间，发展了数学思维。
乘法的基础是什么？加法在某种程度上构成了乘法的基础。这种说法无疑是对的，因为解决乘法运算的方法之一就是重复做加法。你可以将270加三次而得到3×270（或者是270×3，这是无关紧要的）的答案。除法和减法也有类似的关系，计算270÷90也可通过从270中连续减去90直到差为0。但是，如果将乘法看成一种复杂的加法，将除法看成另一种形式的减法，这是不完全的。原因之一是乘除法比简单的加减法需要更多的数学理解，学生必须以新的思维方式进行思考。另一方面，我们把“经验”作为小学数学的基础，不难发现乘除法和学生的某些生活情境紧密联系，这些情境是小学生理解乘除法知识的基础。
一对多情境指一个与多个相对应的现象。这是三种情境中最简单和最基本的一种。日常生活中的这种例子比比皆是。如，一辆汽车有4个轮子（1与4对应），那么3辆汽车有多少个轮子？结果为4乘3得12。一张桌子能坐6个人（1与6对应），那么5张桌子可以坐多少人？等等。从一对多情境出发，乘法有以下重要意义和特点。
第一，乘法表示两个集合之间的一与多相对应的恒定关系。这种一个与多个相对应的恒定关系在生活中普遍存在。它的基础是一个新的数学概念，这就是“比率”。为了保持这种对应关系，如一辆汽车对应4个轮子，每将一辆汽车加入汽车的集合，我们就必须将4个轮子加入到轮子的集合。也就是说，我们必须加入不同数目的物体到不同的集合。这种方法与加法运算在思维方法上具有本质区别。为了使一个比率保持不变，不是像加减法运算中将数“分”与“合”，而是同乘以一个数或同除以一个数。
第二，随着学生头脑中有关“比率”意义的发展，另一种新的数学意义逐渐为他们所认识。例如，如果我们刚开始有一辆车4个轮子，重复6次后，即4乘6.6就是重复次数——称为乘数（因数）。一个乘数既非车的数目也非轮子的数目，它不是针对物体的数目，而是重复的次数。6表示这种关系：1→6辆车和4→24个轮子。为使比率保持不变，同一个乘数要同时对两个物体的集合产生作用。乘数表示了变化过程一种确定的关系。乘数的含义与加减法中数的含义有所不同，这种新意义的产生拓广了学生的数学眼界和思维天地。
一与多的情境涉及到两个新的数学意义：一是比率，二是乘数。无论是比率还是乘数，都和学生以前所认识的数不一样，两个数都与测量单位无关，它们不是对现实物体数量的概括，而是说明数之间的关系。学生的数学思维涉及到不仅是对量的概括，而且涉及到数与数之间关系的概括，这是一个重要的飞跃。
乘除法中蕴涵着变化的思想。共变现象是指在一个情境中，一个量变化，另一个量也发生相应的变化。在日常生活中，会发生两个或两个以上的变量一起变化的情况。这种变化具有因果关系。因果关系指的是一个变量对其他变量的影响。例如：1千克糖的价格是4.60元，则0.5千克糖的价钱就是2.30元，2千克糖的价钱是9.20元，糖的数量与总价发生了“共变”。共变是两个变量的一种有规律地变化的现象。在共变现象中，学生逐步体会了数量的有规律的变化，进而逐步体悟一些与以前不同的数学观念。
以上例子的特点是，当解决有关两个变量问的关系时，都运用了扩大倍数和缩小倍数的方法。在共变现象中，产生了“倍数”的含义。倍数是学生的一种生活经验。如果你要买20倍重量的糖，就应支付20倍的钱，两个变量之间的关系并不会因为数量倍数的增加而改变。当论及糖的价钱时，我们就会提到“每千克糖的价格”。“价格”这个量既不是实际的价钱，也不是实际的重量，而是价钱与重量间的一种关系。
平分的活动为学生提供了进行乘法推理的另一种情况。平分包括在一组受领人中平均发一组东西。例如，把20粒糖果平均发给4个学生。虽然也和加减法一样，平分活动涉及部分与总体的关系，但是也有很大的不同。在加减法问题中，整体的大小是部分之和，每一部分不需要相等。平分活动中虽然也包括部分——整体的关系，但是要考虑三个因素：全体的大小，分为几部分和每部分的大小，且每部分必须相等。如果有20个糖果（整体）分给4个孩子（4部分），则每个孩子有5个糖果（每部分的大小或数量）。因此，平分活动是一种新的数学情境。
对于平分活动的描述也许会联想到一对多的情境，但是儿童对这两种情境的想法是不一样的。平分对于儿童说来是一种很生动的活动。小学生在思考这种活动时心理过程和一对多情境是不一样的。在平分中，孩子们需要逐渐地了解三个变量之间的关系：糖果的总数、孩子的总数和每个孩子的糖果数。如果你保持孩子的数量不变，并且增加糖果数，则每个孩子得到的糖果数会增加；但是，如果你保持糖果数不变，而增加孩子的数量，则每个孩子的糖果数会减少。糖果的总数和每个孩子的糖果数之间有直接的关系，但是孩子的数量和糖果的数量之间则是反比例函数的关系。研究表明，学生对这种反比例关系的体悟（不是掌握）是理解除法的重要内容。了解这种反比例函数的关系是越过简单的平分行为去理解除法含义的基本步骤。概括起来，平分情境是学生理解除法概念的经验基础。这种活动使学生进一步深入理解了部分——整体的关系，这种关系和加法情境中的部分——整体的关系是不同的。
总之，并不能说乘法仅仅是加法的重复，除法仅仅是减法的重复。显然，加法和乘法是有必然联系的。同样，减法和除法也是有必然联系的。乘法和除法的实际计算结果也可以由连加或连减导出。但是，我们必须注意，乘除法与学生生活经验相联系，在乘除法推理中出现了新的数学观念。小学生在乘除法的三种情境中，逐步发展其乘法推理能力。在小学生学习乘除法过程中，教师应该充分向学生提供这些重要的情境，有目的地让学生开展多种活动，使学生有机会在学习乘除法过程中，发展数感和数学思考的能力，而不是仅仅掌握运算技能。
进入乘除法学习阶段，对学生的数学能力的要求更高，数学的学习价值也得到了更高的体现。数学思维在小学生数学学习中具有重要作用，没有数学思维，就没有真正的数学学习。小学生思维是一种心理活动的历程，数学思考贯穿于整个数学学习的过程中，数学教师应该使学生能够认识并掌握数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等；使学生根据已有事实进行数学推测、论断和解释，养成“推理有据”的习惯，能够反思自己的思考过程；使他们能够理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人进行沟通。学生在学习乘除法时，乘法推理能力可以得到极大的发展，在这一过程中学生的逻辑思维能力得到锻炼。乘法推理也称为增倍推理，它是指学生运用倍数的概念进行正向和逆向的应用性推理。增倍推理有很多不同的水平层次，实际上，儿童很小的时候就在这一方面迈出了第一步。
四、基于数学学习理论的教学策略
从上述对学生在数的认识、加减法和乘除法认识过程的分析，笔者认为小学数学教学要注意以下几个特点。
第一，学生的生活经验是小学数学学科的基础。学生的经验既是名词，又是动词。实际上，小学生的数学学习是他们生活常识的系统化。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾经提出作为“普通常识的数学”的概念，他认为数学的根源在于普通常识。对小学生来说，小学数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”，在他们的生活中已经有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学现象经验的总结与升华，每一个学生都从他们的现实数学世界出发，与教材内容发生交互作用，建构他们自己的数学知识。小学生的数学学习离不开现实生活经验。
第二，情境设计和利用在小学数学学习中具有重要意义。“经验”也是一个动词，它表示小学生的数学学习是一个从具体到逐步抽象的活动过程。例如，一年级小学生学习认数，可以通过一些具体情境开始，获得有关的体验，从而认识数的意义。从认识事物的角度来说，符号化的数学知识与学生生活实际内容互动是学习数学的基本途径。小学生的数学学习是以经验为基础的认知过程。儿童头脑中的“数学”往往和成人的理解有不同的含义，对于小学生来说，数学是他们对自己生活中的数学现象的解读。
第三，学生学习数学经历了一个“数学化”的历程。数学化有正和反两个方向，正向是由情境到数学结论，反向是数学结论到实际应用。弗赖登塔尔认为，学生的学习活动，与其说是学习数学，倒不如说是学习“数学化”。学生从现实出发，经过反思，达到“数学化”。在这一过程中，“数学现实”和“反思”是十分重要的。对于小学生来说，“数学现实”就是他们的“经验”。“数学化”是数学学习的基本过程。对活动的理解具有广泛的含义，我们不能理解为单纯的操作活动，数学学习是学生自己的活动过程。
建构主义学者认为，学习是主体在对现实的特定操作过程中对自己的活动过程的性质作反省抽象而产生的，学习数学是一个“做数学（doingmathematics）”的过程。学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解。前苏联数学教育学家斯托利亚尔曾经提出，数学教学是数学活动的教学。数学学习也不是单纯的知识的接受，而是以学生为主体的数学活动。因此，数学课堂要提供学生进行自主探索、合作交流、积极思考和操作实验等活动的机会。现实的、有趣的和探索性的数学课题学习活动要成为数学学习内容的有机组成部分。从课堂教学的角度来看，小学生的数学学习是他们参与课堂教学活动的过程。学生从行为、情感、认知等多个方面投入课堂教学过程中，从而在知识、能力和品质方面获得全面提高。这样来理解数学学习，就要求学生在学习中成为真正的主体，这样才能产生有效的数学学习。
第四，思考是小学数学学习的核心。小学生数学学习是一个思考过程。“思考”是学生学习数学认知过程的本质特点。从这个意义上来说，死记硬背公式，没有思维要求的反复操练，都不能算是真正的数学学习。首先，学生的数学思维是对自身活动的反思，是对经验的反思。小学生数学学习是一个具体形象思维和抽象逻辑思维相结合的思考过程。数学具有内在逻辑体系和抽象性，学习数学过程本质上是一个思考的过程。小学生在学习的过程中，思考是直观思维、具体形象思维和抽象逻辑思维三个方面的结合。他们一般不能像成人那样完全借助纯抽象的数学概念进行思考，往往要以具体表象作为理解数学知识的基础。而且，小学生正处于由具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，低年级和高年级的学生思维具有不同的特点。数学学习和数学思维密切相关，这是由数学学科知识本身的特点所决定的。数学学习不是让学生仔细地吸收课本上的或教师的现成结论，而是一个学生亲自参与的充满丰富、生动的概念活动或思维活动的过程。学生应该从“数学现实”出发，在教师帮助下自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料，获得体验，并作类比、分析、归纳，渐渐达到数学化、严格化和形式化。
第五，数学学习是一个再创造的过程。弗赖登塔尔认为，学生数学学习是一个有指导的再创造的过程。数学学习本质是学生的再创造。虽然，学生要学的数学知识都是前人已经发现的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程。数学知识的学习并不是简单的接受，而必须以再创造的方式进行。例如，4＋6＝10可以通过学生自己的学习过程获得。教师不必将知识直接灌输给学生，而是要让学生经历一个再创造的过程。因此，在数学学习的过程，学生应该具有充分的再创造的通道，以激励学生进行再创造的活动。
因此，我们可以用“经验”“情境”“数学化”“思考”和“再创造”这几个词说明小学生数学学习的基本要素，其实质是说学生是数学学习活动的主体，思考是它的本质。有效的数学教学，是以学生为本的课堂学习过程。用上述观点来看，确认学生的主体地位，改善数学课堂中的学习方式是一项重要的任务。（完）