甘肃省白银市平川中学 730913
数列的通项公式是数列的核心之一，在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。求数列的通项公式的方法和类型可归纳为以下几种：
一、累加法
若数列{an}满足an+1-an＝f(n)(n∈N)，其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求通项，适用于差为特殊的数列。
例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1,a1=1，求数列{an}的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1，则an=(an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1=2n+2n-3+…+3+1,所以数列{an}的通项公式为an=n2。
二、累乘法
若数列{an}满足=f(n)(n∈N)，其中数列{an}前n项积可求，则通项{an}可用逐项作商后求积得到，适用于积为特殊数列的数列。
例2：数列{an}中a1=3，an+1=2nan，求数列{an}的通项公式。
解：∵an+1=2nan，
∴ =21， =22， =23，…，=2n-1，
· · …=21·22·23…2n-1=21+2+3+…+（n-1），
即an=3·2。
三、通用公式
若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列{an}的通项an可用公式an= 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-1，求{an}的通项公式。
解：a1=s1=0；当n≥2时，an=sn-sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1。由于a1不适合于此等式，
∴an= 。
四、构造法
当数列前一项an和后一项即an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
1.待定系数法。
形如an+1=can+d (c≠0)的已知递推关系式求通项公式。
（1）若c=1，数列{an}为等差数列。
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（2）若d=0，数列{an}为等比数列。
（3）若c≠1且d≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法来求。
例4：已知数列{an}中a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式。
解法1：设an+1+A=2（an+A），即an+1=2an+A，所以A=3an+1+3=2（an+3），所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以an+3=（a1+3）×2n-1，故an=6×2n-1-3。
解法2：因为an+1=2an+3，所以n>1时，an=2an-1+3。两式相减，得an+1-an=2（an-an-1），故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项、以2为公比的等比数列，
an-an-1=（a2-a1）×2n-1=6×2n-1，
an=（an-an-1）+（an-1+an-2）+…+（a2-a1）+a1
=6（2n-1-1）+3=3（2n-1-1）。
例5：设数列{an}中a1=1，an+1=3an+2n+1,求{an}的通项公式。
解：设an+1+A(n+1) +B=3(an+An+B)，
∴an+1=3an+2An+2B-A，
与原式比较系数得： ，
即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1)。
令bn=an+(n+1),则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3，
∴ {bn}是b1=3为首项、公比q=3的等比数列，
∴ bn=3·3n-1=3n，即an=3n-n-1。
2.倒数构造法。
一般地形如an=、an·an-1=an-1-an等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例6：已知数列{an}满足a1=1，an= ，求{an}的通项公式。
解：原式两边取倒数得： ==3+。
设bn= ，则bn-bn-1=3，且b1=1，
∴{bn}是b１= 为首项、公差d=2的等差数列，
∴bn=1+（n-1）·3=3n-2，
即an= 。
3.对数构造法。
当数列an和an-1的递推关系涉及到高次时，形如anp=man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例7：已知数列{an}中a1=2，点(an，an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
证明数列{lg(1+an)}是等比数列。
解：由已知an+1=an2+2an，∴an+1+1=（an+1）2；∵a1=2，∴an+1＞1；两边取对数得lg(1+an+1)=2lg（1+an），即分式 =2，∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列。
论文作者:贾凤麟
论文发表刊物:《教育学文摘》2016年10月总第206期
论文发表时间:2016/10/31
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