再论布莱克单峰偏好定理
——一维条件下的描述与证明
黄奕智，易凌云
（中国人民大学 财政金融学院，北京 100872）
摘要： 限制个人偏好定义域，放宽阿罗不可能定理假设条件，布莱克提出的单峰偏好定理提供了一维条件下个人偏好加总得到社会总体偏好的路径，避免了简单多数原则下公众选择的不稳定性。针对社会选择过程中的投票循环难题，解释阐明在个人偏好呈现单峰及单高原状时，选民通过两两比对以及简单多数规则得到的社会偏好，存在稳定一致的结果，提出一般定义下的单峰偏好定义可确定唯一的社会最优方案，拓展定义下的单峰偏好定理可确定唯一的社会最优方案区段。此外，投票得到的最优备选方案，是中间投票人最偏好的方案。通过对单峰偏好定理的探讨，可为现代社会选择制度提供理论支撑，解决直接民主制下投票悖论的问题，具有现实指导意义。
关键词： 单峰偏好；一维；布莱克；投票悖论；简单多数原则
长期以来，社会选择制度都是政治经济领域中被关注的焦点。如何能够在集合社会公众的个人偏好之基础上得到被广泛接受的社会偏好结果，是当代社会制度建设重点工作的方向。简单多数原则下的直接民主制是许多国家采用的政体，然而在18世纪末，法国数学家孔多塞便发现该政体无法保证社会可以得到稳定的投票结果。孔多塞指出，简单多数投票原则下，通过两两比较的方式，将群众的个人偏好转化为社会偏好时，可能不存在稳定一致的社会结果。面对公共选择问题时，个体层面的理性在群体投票环节反而会导致集体非理性，即出现投票循环的逻辑难题。
在Wnt细胞极性信号通路中，Wnt蛋白与Fzd蛋白结合后激活下游小GTP酶，其在细胞极化和细胞骨架重排等方面发挥作用。此外，也有研究[9]证实，Wnt细胞极性信号通路与内皮细胞迁移、增殖密切相关。
例如，甲、乙、丙三人面对A、B、C三个备选方案，他们的偏好排序分别为：
（ⅰ）甲：A＞B＞C
（ⅱ）乙：B＞C＞A
（ⅲ）丙：C＞A＞B
特别地，对于一些与规模、数量等可测性变量有关的提案，比如投票决定工人的合适薪资水平等问题，可直接用£10，£11，£12等具体薪资水平来标注水平衡轴上的点（如图2所示）。
区域的位置决定着空间使用的效果，读者学习空间与交流空间既要隔离又要相对连贯。但在现有图书馆空间设计上，图书馆此两类空间往往采用玻璃墙进行分隔，隔音效果普遍较差，使得在交流空间举行研讨或小型讲座等活动时，对周边需要安静的读者学习产生不同程度的干扰。
那么通过两两比较的方法，即让三人先后就A和B、B和C、C和A进行三组投票，最终得到的社会偏好是A＞B＞C＞A，三个方案构成投票循环。如果群体预先约定仅根据两轮的两两投票结果来确定最终的备选方案，那么政治家就可通过操纵表面上民主的政治议程谋私。如果具有私心的政治家希望备选方案B得到群体认可并被选择出来，他可以先安排B和C之间的投票抉择，再安排C和A之间的投票抉择。通过安排特殊的投票顺序可以使得两轮投票后的投票结果为B＞C＞A，导致B作为最优备选方案被选择。投票悖论反映了表面上公正良好合理的民主机制具有潜在的不完善性与不协调性。
诺贝尔经济学奖得主肯尼思·阿罗［1］于1951年在著作《社会选择与个人价值》中提出“阿罗不可能定理”，将投票悖论中的个例普遍化，通过公理化方法进一步完善包括投票悖论在内的社会选择制度，建立了现代社会选择理论。阿罗指出，不存在一个伦理上可以接受的、有效的、尊重个人偏好的且不依赖于程序的集体选择规则。在满足无限制性、独立性、一致性与非独裁性的条件下，绝大多数情况下难以通过个人偏好整合出社会偏好顺序。换言之，没有一个民主制度是完美的，加总个人偏好以得到公平的社会偏好的这一步跨越是困难的。
后续的经济学家力图通过放松阿罗不可能定理的前提假设以解决这一难题。坎普［2］认为社会偏好顺序具备传递性这一假定不具备现实意义，通过批判传递律可由个人推广至集体这一观点获得社会最优方案。我国学者唐跃志［3］通过将阿罗不可能定理从欧式空间转移至罗氏与黎氏空间确定了唯一的社会偏好顺序。阿玛蒂亚·森［4］通过限制投票人价值偏好，假定存在一个对所有人而言都非最优的方案以达成一致性决策。 Davies［5］、费什波恩［6］等学者先后尝试通过放宽阿罗不可能定理中的无限制定义域条件来构建社会偏好顺序。“无限制域”条件意味着不限制个人的选择自由，具有任意特殊偏好的任何个体都可以参与集体决策过程。但是，对于一定的社会选择问题，在特定的环境背景条件下，个体的偏好往往具有倾向性，即个体的偏好往往会满足一定的约束条件。因此，许多社会选择领域的研究学者都以放松“无限制定义域”条件作为切入点，其中最著名的证明路径便是邓肯·布莱克的单峰偏好定理。
布莱克［7］认为，阿罗不可能定理中偏好的无限制定义域条件在很大程度上不符合现实情况，现实中群体的偏好在大多数情况下构成单峰偏好。所谓单峰偏好，是指投票人群体在一组按照某种标准排列的备选方案中，各自有一个最为偏好的选择（效用峰值）。从最优备选方案向任何方向的偏离，都会导致选民的偏好程度或效用递减。与之相反的是，如果一个人具有双峰或多峰偏好，则当他偏离最优备选方案时，其偏好程度或效用会先下降而后再上升。布莱克在单峰偏好定理中揭示，在所有选民的个人偏好都满足单峰偏好的条件下，通过两两比较以及根据简单多数原则进行投票，个人的偏好可以集结得出确定且唯一的社会总体偏好，避免了简单多数规则下选择的不稳定性，从而解决阿罗不可能定理难题。
本文立足于一维条件，详细阐释与证明布莱克运用直角坐标系分类讨论不同情况下的最优备选方案的思路。单峰偏好定理表明，当选民的偏好符合单峰的一般定义时，最优备选方案存在且唯一，在社会偏好层面上各方案之间具有传递性；当选民的偏好符合单峰的拓展定义时，最优备选方案段存在且唯一，在社会偏好层面上其余方案与最优备选方案段之间具有传递性。
一 单峰偏好定理的定义与符号
（一）数学符号说明
布莱克在著作The Theory of Committees and Elections中使用符号 a1，a2， …，am来分别代表投票议程中的m项提案，并主张在水平直线上标注以a1，a2，…，am来命名的m个点来代表这些提案（如图1所示）。
图1 方案排列顺序
其中“＞”表示“胜于”，“A＞B”即表示对 A 的偏好超过B。
图2 可量化变量的排列顺序
用大写字母A，B，C，…来表示参与投票的委员会的n名成员，并用图3与图4两种方式来表示投票人A对4种提案的偏好排序，即可以使用一条竖直轴来表示偏好排序a2＞a3=a4＞a1，也可以使用平面直角坐标系中的折线图来反映这种偏好排序（此处四种提案是为了方便说明，可将提案数量放宽至无限）。在折线图中，横坐标轴上任意一点对应着的横坐标就是一项提案，也称备选方案，即社会选择中需进行价值判断、比较的对象，纵坐标代表着投票人对这项提案的效用评价，纵坐标轴由下至上，代表效用评价随之由低至高。图4折线图中任意两顶点之间的线段的倾斜方向反映投票人在两项提案之间移动时偏好的变化情况。
图3 竖直偏好顺序图
图4 折线偏好顺序图
有必要指出，当采取在平面直角坐标系中画偏好曲线的方式来表示投票人对备选方案的偏好排序时，偏好曲线的形状会随着横轴上标注的各个备选方案摆放顺序的不同而有所不同。如图5与图6所示，恰当地调整横轴上5个备选方案的摆放顺序，投票人A的偏好曲线既可以呈现多峰状，也可以呈现单峰的形状。对于m项提案，它们的排放方式有m!种，对应着的偏好曲线也应该有m!种。由于偏好曲线上连接各个顶点的线段共有m-1条，并且这些向上倾斜、向下倾斜或平坦的线段正反映着投票人的偏好变化情况，那么偏好逆转点的最大数量是m-2个，所谓偏好逆转点即指在偏好曲线这一顶点之前和之后的两条线段倾斜方向不同。
图5 投票人A偏好示意图（1）
图6 投票人A偏好示意图（2）
（二）单峰的一般定义
在模型的基本要素构建完成的基础上，可以进一步定义单峰偏好。投票人群体具备单峰偏好是指投票人群体总能够通过改变备选方案在坐标轴上的排序，使得所有偏好曲线从一端到另一端总是向上倾斜或向下倾斜，或是从最左端至最右端，先向上倾斜再向下倾斜，从而导致偏好曲线只有单个最高峰点，亦即偏好逆转点最多只有一个，改变偏好方向的次数最多只出现一次。当投票人群体能够构建出至少一条提案排列顺序，使得群体中所有个人偏好曲线都具备单峰形状时，便称该投票人群体具备单峰偏好。
如前所述，偏好曲线的形状依赖于备选方案的排序，那么是否总能通过调整备选方案在横轴上列示的顺序，使得各个投票人在平面坐标系里的偏好曲线都呈现单峰形状呢？事实上，只有部分群体具备单峰偏好。对于证伪命题，仅需要一个反例便能说明上述说法的不正确性。如果5名投票人A、B、C、D、E 对 a1、a2、a3、a4四项提案的偏好排序如图 7五条垂直轴表示的那样，那么在图8的平面直角坐标系中，若安排4项提案在横轴上的排列顺序为（a3，a1，a4，a2），就能使得五名投票人的偏好曲线都呈现单峰状。
图7 投票群体A、B、C、D、E偏好顺序
图8 折线投票群体偏好示意图
然而，对于图9所示的F、G、H三名投票人的偏好排序，无论怎么安排4个备选方案在坐标轴上的排列顺序，都无法使三名投票人的偏好曲线同时呈现单峰状。
（三）单峰的拓展定义
图9 投票群体F、G、H偏好示意图
布莱克指出，当委员会成员数量n为奇数时，
委员会成员数量n为偶数，若主席的偏好曲线的峰值点位于
左侧时，最终投票通过的社会最优方案将会是
主席的峰值点位于
右边时，最终投票通过的社会最优方案将会是
。
由于投票人自身的非完全理性，他对处于中间部分的某几项备选方案的效用水平无法做出确切的判断，于是便导致对这几项备选方案做出相同评价。但是对于远处的、偏离中间水平的备选方案，投票人能够明确地知道自己对其的评价很低，于是偏离程度越大，其余方案被赋予的评价也就越低。投票人的心理以及判断表现在偏好曲线上，便会导致偏好曲线中间部分出现一段平坦的水平线，两端部分皆为向下倾斜的曲线。布莱克对投票人的心理分析解释了为何会存在被削去顶峰点的偏好曲线。将单峰偏好定义进行拓展，可以认为上述被削去顶峰点、中间平坦的类梯状偏好曲线也符合单峰偏好定义。
图10 单高原偏好曲线示意图
此外，可以将备选方案的数量拓展到无限个，在几何上表示为横坐标轴上一定区域内连续排列有备选方案，相应的偏好曲线呈现出连续不断的平滑形状。但是需要指出的是，对于确定的备选方案，投票人会给予唯一确定的评价或效用，使得偏好曲线不会发生倒转。
（四）对符号系统合理性的解释
布莱克通过分类讨论的方法证明了单峰偏好定理具有传递性，即若某一投票人群体具备单峰偏好，那么对于任意三项方案a1、a2和a3，如果两两投票结果分别为 a1＞a2与 a2＞a3，可直接得到 a1＞a3。加总任意三项方案的传递性，拓展可得到任意项方案之间的传递性。
其一，一千个读者心中就有一千个哈姆雷特。作为有独立思想的存在，投票人对于相同的一项提案会有不同的理解。既然特定的提案对于不同投票人而言有不同的含义，对于整个投票人群体都应用相同的符号来表示提案便有失妥当。
其二，提案的传达和公布方式也会影响投票人接收的提案内容与含义。如果提案以文本形式传达，那么每个投票人所看到的白纸黑字会有差别；如果提案以口头形式传达，由于每个人的听觉系统构造与思维方式不同，听到并理解的内容也会不同。
尽管布莱克所用的指代体系有所缺陷，在不同投票人之间使用同一符号来指代同一提案仍具有合理性。在单峰定理的理论证明中，如果不采用上文所述符号体系，将会带来繁杂而庞大的工作量。The Theory of Committees and Elections一文中将符号与椅子类比。在一个房间里，若对另外两人指向一张椅子并说“那张椅子”，尽管两人所处位置不同，视野范围与视力不同，但“那张椅子”这样的指代并不会在两人之间引起明显歧义，使他们找不到目的物。传达到两人并被其理解的信息里至少会存在部分交叉，即双方的理解中存在重叠的部分，也正是这部分重叠信息使得使用同一符号来指代同一项提案具有可行性。
二 一般定义下的单峰偏好定理
（一）中间人方案满足社会最优的证明过程
假设投票群体由委员会和主席组成，此群体面临给定的提案排列顺序，在此提案排列顺序下每个人的偏好曲线都呈现单峰状。委员会成员以简单多数原则进行投票，当且仅当投票结果为两种提案票数相等时，由主席投票以定夺最终的结果。在平面直角坐标系的横轴上，将委员会的n名投票人最偏好的备选方案从左至右依次定义为O1、O2、O3，…即Oi代表第i名投票人偏好曲线的峰值点所对应的备选方案。
就一般理解而言，投票人的偏好曲线形状应该多种多样。但布莱克指出，实践上两种形状的偏好曲线最为常见。一种是已经定义的单峰状偏好曲线，这种形状的偏好曲线一般适用于评价指标可以量化的投票决议，比如商品销售价格、工人薪资、最优税率、最早就业年龄等投票问题。在这类问题中，投票人一般具备一个最佳数量水平。对于偏离最优水平的备选方案，无论是过高还是过低，投票人对其评价都会随偏离距离的增大而下降，从而导致投票人的偏好曲线呈现单峰形状。另一种常见的偏好曲线形状如图10所示，即中间部分平坦，两端呈下降趋势的曲线。投票人对中间段的备选方案评价最高，而对坐标轴两端的备选方案评价逐步降低。
自主学习就是在学习过程中有发自内心的学习动机，并且能够自己安排学习，自主学习必须要学习者自己制定学习计划，控制学习进度，做好学习准备。学习者在学习中投入感情，有学习的动力，就使学习中的情感体验变得积极。思考策略和学习策略是学习者应该积极发展的，要学会在解决问题中学习，也就是“会学”。自我评价，自我总结，自我补救，自我检查，也是学习活动后需要进行的，也就是所谓的“坚持学”[2]。
以下分别就三种情况分类讨论并证明该结果。
（i）当n是奇数时，中间投票人最偏好的备选方案，亦即所有备选方案中最居中的一项为
（如图11所示）。考虑有另外一项备选方案ah被提出
行投票表决的情况，不妨假
由于
名投票人的最优偏好点位于
侧，故当备选方案由左至右从ah向
动时，至少
名投票人的偏好曲线向上倾斜，
名投票人必然支持提案
致最终胜出的提案为
样的，对于
情况，依然可得到
最终胜出提案。
图11 中间投票人偏好方案示意图（1）
（ii）当n为偶数时，位于中间位置的备选方案有两个，分别为
如图12所示）。 假设主席最偏好的备选方案位
其以左的位置，那么
是社会最优提案。
Risk Evaluation and Early Warning System for Ice Navigating Vessels in Northern Sea Areas of China
经过三轮比对，社会最优方案的可能范围缩小到de之间。在区段de上，投票人B、C的偏好无差异。若具有平局决断权的主席的偏好曲线为A或D，则d将成为简单多数原则下最终优胜的备选方案；若主席的偏好曲线为E或F，则e将成为社会最优方案；若主席的偏好曲线为B或C，则暂时无法做出进一步确定性决断。
若提出与
进行对峙表决的备选方案ak位于
右侧，即
时，备选方案由左至右从
移动时，至少
名投票人的偏好曲线向下倾斜，这
名投票人将支持提案
由于一定支持
的票数刚达半数，故备选方案ak的票数可能与之相当。但由于具有平局决断权的主席最优偏好位于
及其左侧，其偏好曲线在
这一段向下倾斜，故主席会投票于
将会是最终胜出提案。
3.1 传统方法的局限性 现有的传统识别方法多为半交互式，需要人为选择特征参数，而特征的选择需要大量试验和经验，在这个过程中如何选择最佳参数是尚未被很好解决的一个难题。此外，传统方法大多是针对小范围内的害虫识别展开的研究，而田间害虫种类复杂，同一片区域内可能出现数十种甚至上百种害虫，应用难度大。
图12 中间投票人偏好方案示意图（2）
（ⅲ）由（ii）可得，当n为偶数，且主席的最优偏好位于
及其右侧时，社会最优提案将是
这天晚上，阿东一直坐在床边，看着阿里睡着。他心里很难过，不知道怎样才能安慰阿里，也不知道怎样才能帮到阿里。
现将n为奇数和偶数的情况合并，用符号Omed表示前述证明过程中的社会最优提案。单峰偏好定理可被总结为：如果存在一特定的提案排列顺序，使得所有投票成员的偏好曲线在此提案顺序下呈现单峰状，那么在群体中依据简单多数原则投票，可以成功避免投票悖论，备选方案Omed能够胜过其他任何提案 a1，a2，…，am。
（二）一般定义下单峰偏好定理的传递性
根据上文对数学符号及单峰定义的解释说明，对于不同的投票个体，布莱克使用相同的符号来指代同一个提案。为求严谨，布莱克本人对这种指代方式的合理性提出两点质疑。
拓展单峰偏好定理通过寻找局部最优方案以确定社会最优方案区段。
在平面直角坐标系中，a1，a2，a3，Omed四种方案在横轴上所构成的排列顺序共有4！=24种。
（i）如果Omed位于四点中的最后一位，那么满足原命题中a1胜于a2，a2胜于a3要求的只有一种排列顺序（a3，a2，a1，Omed）如图 13 所示。 这种情况下显然a1 胜于 a3。
图13 （i）中偏好示意图
（ii）同理，当 Omed位于四点中的首位时，由（i）中证明结果进行镜像变换可知，对称地有a1胜于a3。
（ⅲ）当Omed位于四点中的第三位时，只有（a2，a1，Omed，a3），（a3，a1，Omed，a2），（a3，a2，Omed，a1）这三种序列安排能满足原命题中a1胜于a2，a2胜于a3的要求。 特别地，以（a2，a1，Omed，a3）为例说明（如图 14 所示）。对a2和a3进行投票时，支持a2的投票人占多数。a2的支持者构成一个投票团，该投票团的峰值点所对应的最偏好的备选方案可能位于a2左侧，也有可能位于a2a1之间或a1a3之间。如果峰值点位于a2左侧或a2a1之间，那么显然占据多数的投票团相较于a3，会更喜欢a1；如果峰值点位于a1a3之间，那么对于投票委员会整体而言（不只是上文提到的投票团），a2胜出a3的充分必要条件是a2与峰值点的距离比a3的更近。由于此时a1距离峰值点的距离比a2距离峰值点的距离更小，从而也比a3距离峰值点的距离更小，即 d（a1，Omed）＜d（a2，Omed）＜d（Omed，a3），故a1胜出a3，传递性成立。
图14 （iii）中偏好示意图
（ⅳ）同理，当Omed位于四点中的第二位时，由（ⅲ）中证明结果进行镜像变换可知，对称地有a1胜于a3。
（ⅴ）特别地，如果 Omed与 a1，a2，a3三者中的某一个重合，根据a1胜出a2，a2胜出a3这一前提假设，只有a1与Omed重合一种可能，此时更有a1胜出a3。
至此，布莱克完全证明了单峰偏好定理具有传递性这一性质。
三 拓展定义下的单峰偏好定理
（一）社会最优方案区段的求解过程
一般定义下的单峰偏好定理中，布莱克使用的投票人偏好曲线的形状满足严格的单峰状，即偏好曲线只有一个尖端点。但根据上文中关于现实里普遍存在的偏好曲线形状的讨论，拓展定义下的单峰曲线，即中间水平、两端倾斜的“单高原”偏好曲线也很常见。布莱克指出，当投票人偏好曲线在某特定提案排序下呈现单高原状时，有可能得到社会最优方案，也有可能得到唯一的社会最优方案区段。
如图15所示，5名投票人中便有3名投票人的偏好曲线呈拓展定义下的“单高原”状，而中间投票人的偏好曲线仍处于一般定义的范畴。显然图中a即为社会最优方案。
图15 单高原偏好曲线示意图（1）
又如图16，定义提案a在坐标横轴上的位置为R，b在横轴上的位置为S。由于从a向左端移动时有3名投票人的偏好下降，故备选方案a胜过其左侧任何备选方案，同理备选方案b胜过其右侧任何备选方案。如果社会最优方案存在的话，该方案应该位于区段RS之间。RS区段便是拓展单峰偏好定理定义的社会最优方案区段。
考虑到9105工作面中存在顶板破碎区域，为了确保回采安全，需要在通过锚索进行加固的基础上设置锚索网，该区域的加固方案如下：顶板由直径为8至10 mm的钢筋网进行承托，并布置三列加固锚索，其中，加固锚索应沿着巷道的走向与第二列恒阻大变形锚索相隔2 m布置，第一列加固锚索和第一列恒阻锚索紧邻，第二列中的加固锚索和第一列中的恒阻锚索相距1.5 m，第三列中的加固锚索和第二列中的恒阻锚索相距1.5 m，并利用W钢带将加固锚索连接在一起。补强锚索通过11#工字钢进行连接，并将12 mm厚的钢板与工字钢的上部焊接在一起，然后利用锁具来固定补强锚索的下部。
图16 单高原偏好曲线示意图（2）
考虑到结论的直观性，布莱克将a1，a2，a3三种备选方案与Omed放在同一坐标轴上进行讨论证明。通过穷尽 a1，a2，a3，Omed所构成的满足单峰形态的图形，可直接得到a1与a3之间的关系，从而证明了单峰偏好定理的传递性。
（ⅰ）确定代表某一备选方案的点a，使得备选方案由最左端向右移动到a点时，有刚好超过一半的投票人的偏好上升，即使得社会偏好曲线向上倾斜。
（ⅱ）同理确定点b，使得备选方案由b点向右移动到最右端时，有刚好超过一半的投票人的偏好下降，即使得社会偏好曲线向下倾斜。
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（ⅲ）由于构造过程的特殊性，备选方案a总会胜过其左侧的任意备选方案，备选方案b总会胜过其右侧的任意备选方案。若社会最优方案存在，必定位于ab之间。
以上三个步骤可用于确定普遍性的社会最优方案区段。布莱克指出，针对不同的投票人群体，需要根据ab之间向上倾斜或向下倾斜的偏好曲线以缩小社会最优方案区段的长度。The Theory of Committees and Elections一文中给出如下3个例子说明缩短社会最优方案区段的具体思路。
如图17，由最左端向点a移动，有刚过半数即3名投票人C、D、E的偏好上升；由点b向最右端移动，有刚过半数即3名投票人A、B、C的偏好下降，社会最优方案位于ab之间。由于此时投票人B的偏好在ab区段上无差异，有效投票人缩减为A、C、D、E四人，且方案a、b获得的票数持平。此时若具有平局决断权的主席的偏好曲线为A或C，则a将成为简单多数原则下最终优胜的备选方案；若主席的偏好曲线为D或E，则b将成为社会最优方案；若主席的偏好曲线为B，则尚且无法做出进一步决断。
图17 缩短社会最优方案区段示例1
如图18，同样找出满足条件的a与b。由于在a和c之间，投票人B、C的偏好无差异，D、E更支持方案c，A更支持方案a，于是备选方案c优于ac区段的其他方案，社会最优方案的可能范围缩短至cb之间。考虑到投票人C的偏好在cb区段上无差异，有效投票人只剩A、B、D、E四人。此时若主席的偏好曲线为A或B，则c将成为简单多数原则下最终优胜的备选方案；若主席的偏好曲线为D或E，则b将成为社会最优方案；若主席的偏好曲线为C，则暂时无法做出进一步决断。
图18 缩短社会最优方案区段示例2
如图19，投票人共有偶数6人，刚过半数的数量为4人。对应地找出满足条件的ab两点。在ac区段上，投票人B和C的偏好无差异，投票人D、E、F更支持方案c，投票人A更支持方案a，故备选方案c胜过ac区段的其他备选方案。同理在cd区段上，备选方案d为局部最优备选方案。在eb区段上，备选方案e胜过eb之间的其他备选方案。
图19 缩短社会最优方案区段示例3
若提出与
进行对峙表决的备选方案ah位于
侧，即
委员会内部投票可使得
终胜出。当备选方案由左至右从
移动时，至少
名投票人的偏好曲线向上倾斜，这
名投票人必然支持提案
过半的选票将令
成为社会最优提案。
为确保社会最优方案区段是唯一存在的，布莱克运用一引理加以说明。
管理设施包括水库管理房、监测设施、通信设施、交通道路,此类震损虽未直接影响到大坝坝体，但可能直接或间接地影响到水库大坝安全运行与应急处置。
引理阐释如下：对于区段RS上的备选方案H，若H优于其左端的方案G（G＜H），那么H也优于位于G左端的备选方案G'（G'＜G）；若H优于其右端的方案K（H＞K），那么H也优于位于K右端的备选方案 K'（K'＞K）。 （如图 20 所示）
布莱克分三步证明该引理：
水土流失造成土地退化，降低土地生产力，制约地区经济发展；加剧洪涝、干旱、风沙等自然灾害，制约生态文明建设；造成河道和水库淤积。威胁下游的防洪安全；带来面源污染，造成水质污染，威胁下游饮水安全。
煤层顶板封盖能力制约裂缝高度展布，韩城区块煤层与顶底板组合有4种类型：砂岩-煤层-泥质砂岩(Ⅰ类)、泥岩-煤层-泥质砂岩(Ⅱ类)、泥岩-煤层-泥岩(Ⅲ类)、砂岩-煤层-泥岩(Ⅳ类)如图3所示。厚层泥岩、砂质泥岩等岩性具备应力遮挡能力。可用顶底板封盖能力指数评价遮挡能力[16]。顶底板封盖能力指数是指煤层以上15 m内泥岩总厚度与砂岩(灰岩)总厚度的比值。比值越大封盖能力越强。一般封盖指数小于0.8时，压裂越容易沟通顶板，裂缝在煤层及顶板界面延伸长度长，易影响邻井。
（ⅰ）假设从备选方案H向G移动，有f条偏好曲线呈水平状，有g名投票人的偏好下降，根据H＞G的假设条件，备选方案H将以投票比g∶n-f-g（其中g＞n-f-g）胜过备选方案G。
（ⅱ）从备选方案G进一步向G'移动，由于g名投票人的峰值点或“高原”区位于H右侧，原先偏好下降的g名投票人的偏好仍处于下降状态；而原在GH之间呈水平状的偏好曲线，在GG'区段上可能仍保持水平，或先维持水平后下降。将H和G'进行比对，备选方案H将至少以投票比g∶n-f-g（其中g＞n-f-g）胜过备选方案 G'。
（ⅲ）引理的后半部分同理也可以得到证明。
图20 引理示意图
运用该引理可证明区段RS的唯一性。
选择2016年9月—2017年2月我校90例影像专业学生作为研究对象，按照随机数字表法分为PBL组和CBL组，每组各45例，其中PBL组学生男25例，女20例，年龄20～25岁，平均（23.5±1.8）岁，CBL组学生男26例，女19例，年龄21～25岁，平均（23.8±1.7）岁，两组学生之间的基础信息差异无统计学意义（P＞0.05），具有可比性。
（1）密钥生成。输入系统安全参数（可以理解为用户所需密钥的长度），输出Alice的公钥 pk和私钥sk。其中，公钥是公开的，任意实体都能获得Alice的公钥，而私钥则由Alice保密。
如图21，假设区段R'S'中存在另一个社会最优方案，H为RS中的一点。由于RS为社会最优方案区段，H应该优胜于RS区段外的备选方案K。由引理知，R'S'区段上的任何备选方案都位于方案K右侧，既然H优胜于K，H也必然优胜于R'S'区段上的任何备选方案。从而社会最优方案不可能存在于区段R'S'上，社会最优方案区段RS是存在且唯一的。
图21 社会最优方案区段唯一性示意图
（二）拓展定义下的单峰偏好定理的传递性
拓展定义下的单峰偏好定理同样具有传递性。布莱克的证明思路将社会最优方案Omed替换为社会最优方案区段RS后，分类讨论任意方案a1，a2，a3与RS的相对位置。例如，若RS位于末位，满足条件a1 胜出 a2与 a2 胜出 a3的排列顺序仅有（a3，a2，a1，RS）一种，此时显然有a1胜出a3的结论。利用穷尽图像的证明思维，可证明其他排序下的传递性，此处不加以赘述。
同样，拓展单峰偏好定理的传递性可以无限展开，即若存在 a1胜出 a2，a2胜出 a3，…，ar-1胜出 ar，可得到 a1胜出 ar。
四 总结与评论
一般定义和拓展定义下的单峰偏好定理通过限制投票人偏好曲线的定义域，解决了一维条件下的投票悖论问题。单峰偏好定理的意义在于为民主社会采用简单多数投票原则进行决策的做法提供了有力的理论支撑，定理论证了集体投票过程的公正性与合理性。在确保现行社会选择制度的条件下，绝大多数情况中群体可以得到社会最优方案。然而单峰偏好作为解决投票悖论的充分不必要条件，在多维条件下或投票人偏好呈特殊状时不适用，改善社会选择制度仍需进一步的理论探索。
参考文献：
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中图分类号： F061.4
文献标志码： A
文章编号： 1001-5744（2019）03-0166-08
收稿日期： 2019-03-15
作者简介： 黄奕智（1998—），广东揭阳人，中国人民大学财政金融学院，主要从事金融学研究。
【责任编校 蒋 宇】