基于理解的数学教学，本文主要内容关键词为：数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
在日常教学中，常听到教师抱怨，学生只知其一不知其二，更不会将“1”生成为“1+1”等.实际上，形成这一现状的责任不全在学生，主要在于教师.
最近参加市青年教师优课大赛，许多课只是“知识+方法”的教学.学生知识的获取是告之，缺乏生成性；方法的获得是操作，缺乏可持续性.如“数系扩充与复数”的引入，绝大多数选手用于数系扩充的时间不到10分钟，将大量的时间放在复数概念的巩固练习，至于为什么用a+bi（a，b∈R）表示复数，及a，b分别称为复数的实部与虚部的必要性与合理性缺乏生成过程，没有变“冰冷的美丽”为“火热的思考”.这样，学生建立的知识缺乏理解的基础，虽然有足量的巩固练习，但那仅仅是短期的强化，不能生成长效心理结构，时间长了自然成了褪色的记忆，出现复数的虚部是“bi”也就不足为怪了.数系扩充的核心是“为什么要扩充”、“如何扩充”和“扩充成什么”及扩充后数集与原有数集有什么联系，又有什么区别.教学应从学生已有的自然数集→整数集→有理数集→实数集扩充过程，体验每一次扩充产生了新数，失去原有数集某些性质，同时又获得新的性质.体会数系扩充满足新增的数可以与原有的数进行四则运算，运算时四则运算律保持不变.应用规则构造新数过程，形成a+bi（a，b∈R）合理性与必要性，在生成过程中体验复数是二维数，即复数是由两个部分决定，一是不含虚数单位i的部分，二是带虚数单位i的部分，而带虚数单位的部分决定因素则是虚数单位i的系数，概括出复数的实部与虚部.应用实与虚的对偶渗透数学文化，这样的教学才是立足学生已有知识结构，提供学生理解的基础，是基于理解的教学.
二、“理解”的理解
1.理解的含义
理解在辞海中意即了解、理会，是通过揭露事物间的联系而认识新事物的过程.其水平随所揭露联系的性质而异.理解事物时须应用已有知识或在已有知识的基础上掌握新知识.
行为主义认为理解即是建立新旧的联结，如驯化的小动物，看到主人拿的相关物品，理解主人的意图.格式塔学派认为理解就是顿悟，是头脑中知觉“完形”出现，如猩猩想吃到树上香蕉，手拿不到，经历一番尝试，最终通过借助工具吃到了香蕉，以后即在心理上建立了拿到高处食物的方法等.
认知主义认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有的信息建构内部的心理表征，并获得心理意义的过程.如对锹的理解：先将“锹”及其存在的实体“锹”输入；对其进行编码，如“可以挖地”（纸上谈兵）；实践中应用“锹”成功挖地，即形成“锹”心理结构.
无论行为主义还是认知主义，理解的实质即建立新旧联结，联结的数量与联结牢固程度反应理解的水平，理解的对象犹如蜘蛛网的结点，结点与其他结点相联结，联结的数量越多，理解得越好，相互联结越牢，理解得也越好.
2.数学理解的特征
数学是模式的科学，研究的是结构与形式，分代数、三角、几何、概率等.数学知识具有高度抽象性与严密的逻辑性.数学知识不仅仅是静态的内容，核心是蕴含之中的一系列产生式及相互间逻辑关系.根据数学知识的特殊性，斯根普基将理解分成“工具性理解”和“关系性理解”.
工具性理解是指一种语义性理解——符号A所指代的事物是什么或某一个规则所指定的每一个步骤是什么.如复数概念的理解即是复数是什么数，可以用什么形式表示，复数集保持了实数集加减乘除运算律，改变了实数集的全序性等.
关系性理解的前提是工具性理解，除了符号意义和替代物本身结构上的认识，还要认识如何获得指代物意义，以及对获取指代物意义本身有效性逻辑依据等的认识.如“直线与平面平行”，工具性理解即是直线与平面没有公共点，要判断直线与平面平行，只要找“直线与直线平行”；而“直线与平面平行”则可以得到“直线与直线平行”.关系性理解则是建立“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”彼此间相互关系，并对获取定理过程的方法进行有效建构.即如果已知一条直线l与平面α平行，则平面α内与直线l平行的直线有无数条，只需取平面内任一点A，点A与直线l确定平面β与平面α的交线即为其中一条等.
3.理解的水平
理解是一个过程，必然经历从不知到知，从知到会，从会到通，从通到用，从简单应用到应用自如的过程.如学生对函数单调性的认识，起初从一次函数和二次函数及反比例函数中直观感知随着自变量增大，函数值增大（减少）的属性，进一步建立“对给定区间I，
”的函数单调性意义，接着建立单调函数的性质，即知道自变量大小可以得到函数值的大小，反之也成立；最后在遇到函数时能有意识地应用单调性研究函数等.理解的有效途径是实践操作与理性的概括.
三、理解的数学教学特征
1.从系统的高度整体设计教学
知识生成有两种常见方式，其一是自下而上概括形成，如复数概念、函数单调性与奇偶性、等差数列及其通项公式等；另一种则是自上而下演绎的，如几何中的所有性质定理、直线方程与圆的方程及直线与圆的位置关系等.只有站在系统的高度整体设计教学，才能找准知识的逻辑起点与生长点，把握知识间的所有联系，选择恰当的教学方法引导学生广泛建立新知与旧知的联系；也只有站在系统的高度设计教学，才能规划好学生理解知识的路线图，才会有意识地创造强化知识与新知的联结的机会，不断提升获得知识的理解水平，促进理解向纵横发展.
如三角函数的教学，其逻辑起点是三角函数的定义，无论同角三角函数的关系、三角函数诱导公式还是三角函数的图象，皆由定义演绎生成.三角函数的定义是这些知识的生长点与关键点.教学设计应抓住三角函数的代数与几何双重意义，生成同角关系及诱导公式和三角函数图象，理顺它们间的联系，有效建立彼此间的联结.新知的建构过程恰是旧知的巩固强化过程，不仅有利于新知的获得，也有利于旧知的理解.
只有做到了整体教学设计，才能把握知识间的逻辑关系，有利于学生建立结构良好的认知结构，更有利于知识的迁移应用.
2.注重知识形成教学
数学知识具有逻辑性，知识间的逻辑关系，纵横交错，形成网络.只有找准知识的逻辑起点，注重知识形成教学，才能理顺知识间的关系，建立结构良好的认知图式.
3.渗透数学思想方法教学
数学思想与方法是数学知识的灵魂，对数学知识具有统摄作用.只有应用数学思想方法，才能将庞大的数学大厦压缩成芯片，贮存在大脑，相应增加大脑容量.正如“对数引入大大延长科学家寿命”一样，“思想方法教学则是大大扩张了大脑的贮存空间”.
例如，基本不等式的教学，如果用数形结合思想进行统摄，“和定积有最大值”，可以概括为直线x+y=a（a为常数）与坐标轴正半轴交于点A，B，则Rt△OAB内接矩形面积有最大值（图2），当且仅当矩形是正方形时面积最大.“积定和有最小值”，则可以应用双曲线xy=b（b为非零常数）上动点M向两坐标轴作垂线得矩形OAMB（图3），矩形周长有最小值等.
应用数形结合思想方法，沟通基本不等式与函数、解几与三角间的联系，搭建了相互间迁移的桥梁，有效整合求最值的方法，提高了学生对基本不等式理解的水平，强化了基本不等式与已有的求最值的联系，完善了求最值的方法结构，提升了基本不等式的理解水平.
四、促进理解的教学途径
1.建立多元表征帮助理解
知识的获得是从建立其心理表征开始的，知识的心理表征充当知识的代言人，与其他的概念建立联系.帮助学生建立多元的心理表征，一方面可以增加知识的联结的数量；另一方面有利于强忆新知与旧知的联结度.
不同的表征为理解等差数列概念创造了必要条件，同时不同表征之间自成一体，结成图式，既增加了等差数列的联结数量，又强化了联结的强度.
2.设计变式练习增进理解
理解有数量与强度两个指标，若建立多元表征是帮助学生建立更多的数量的联结，那变式练习则是强化联结强度的有效手段.
3.应用反思认知提升理解
理解是过程，经历过、体验过都不会直接转变为理解.理解必经自我反省认知阶段，往往一次反省不足以内化为内部的心理结构.古语说得好，“失败乃成功之母”，意即在挫折中获取理解.知识的形成过程就是反省认知的对象，知识与方法即是反省认知的目标.反思不是简单的回头望，而是重新审视自己经历的过程，提炼过程中的精华，完善知识结构，将新旧知识进行有效的重组与整合，形成新的网络结构.其作用不仅是扩大联结数量，而且能提高彼此间的联结度，是提升理解的有效手段.
总之，理解即是建立新旧联结，联结的数量与强度是评价理解水平的两个指标.建立理解的途径是实践，基于理解的教学必须创造广泛联结的时空，创造足够的固化联结的时机，在应用中提升理解.