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对2001年我国数学教育的最新发展进行回顾，不难发现，除去“素质教育”和“创新精神的培养”以及“现代技术的应用”等这样一些持续的热点以外，还可看到以下的一些变化或新的热点：（1 ）数学课程改革正处于积极实施之中；（2 ）建构主义的教育思想已为人们所普遍接受；（3）开放题的研究与实践取得很大进展；（4）案例分析获得了广泛重视。以下就对相关的发展做出综合分析并提出自己的一些想法和建议，希望能促进广大数学教育工作者的思考与相关研究。
1 进一步作好案例分析
作为改进数学教学，特别是理论联系实际的一个重要手段，案例（课例和学例）分析现已在数学教育界得到了越来越广泛的应用，并逐渐发展成为师资培训工作的一个基本内容。也正是通过这样的实践，人们已在如何作好案例分析这一方面积累了一定的经验，对此，由新近出版的关于数学课例分析的若干专著就可清楚地看出。
例如，由上海教育出版社新近出版的译著《实施初中数学课程标准的教学案例》（这是美国匹兹堡大学Quasar研究项目的成果之一）就突出强调了这样一个思想：案例分析应当重视教学工作的认知水平分析。这一著作详细介绍了具体从事这一工作的一个理论框架——从认知的角度分析，对于数学教学任务可以区分出以下4 种不同的类型：记忆型和无联系的程序型（这2者属于低水平任务）， 以及有联系的程序型和做数学型（这2者属于高水平任务）。该书作者还强调指出， 我们不仅应当对课程、教材中所出现的教学任务做出上述的认知水平分析，还应注意所说的任务在课堂上的实施情况，特别是应当防止出现由于不恰当的教学而导致任务、认知水平下降的情况。即，尽管原先的任务属于“做数学”的范围（或是“有联系的程序型”），但就实际的教学情况进行分析，最终所完成的却只能说是“无联系的程序型”。
就我国的现实而言，这不能不说是教案设计中十分常见的现象。即，人们往往只是满足于列举出各个具体的教学目标，却未能从认知水平这一角度对目标的性质做出进一步的分析。进而，相应的课例分析往往也未能从认知的角度对任务的实际完成情况做出具体分析。在这样的意义上，上述著作就可说是从一个角度为我们改进工作指明了努力的方向。我们应突出地强调这样一点：高水平、而非低水平的任务应是数学教学的一个基本定位，从而，就课例分析而言，我们就应特别注意在教学中是否出现了认知水平的下降，并应对导致这种情况的原因做出具体分析。
其次，我们又应特别提及由陕西师范大学出版的罗增儒教授的新著《中学数学课例分析》。具体地说，这一著作正是作者这些年来积极从事数学师资培训工作的一个直接成果。特别是，其对“课例分析”的认识更经历了由“教学方法”（“案例教学法”）向“专门课程”的重要发展；另外，这一著作的一个重要特点则是突出了“（数学）知识结构”的分析。例如，就这一著作所提供的诸多课例而言，作者在所说的“教师总结评述”中都十分详细地指明了“新旧知识的联系”。
应当指出，这事实上也就是现代数学教育研究的一个重要结论，即教师对于自己所教学的数学知识内容的掌握情况在很大程度上决定了他（她）的教学效果，特别是，这种知识究竟是“很好地发展起来的、整体性的”，还是“零碎的、互不相关的”。中国旅美学者马力平通过对中美两国小学数学教师进行比较研究得出一个重要结论（参见文[1 ]），并依据这一认识提出了“（知识的）深刻理解（Profounding Understanding）”这样一个概念，而其主要内涵就是知识的“深度”、“广度”和“贯通度（Thoughness）”。也即“相关内容与更为基本、更为深刻的数学思想之间的联系”，“知识横向联系的广泛程度”以及“在所包括的各种成分之间迅速转换的能力”。值得指出的是，马力平的这一工作在美国不仅被认为是“一项重要的理论贡献”，更被誉为对改进美国数学教学提供了十分重要的启示。显然，就本文的论题而言，这也就更为清楚地表明了“知识结构”的分析确应被看成课例分析（以及课例设计）的一项重要内容。
最后，华东师范大学出版社新近出版的由李士锜和李俊2 位同志所主编的《数学教育个案学习》则突出强调了现代教育理论对于个案分析的指导意义。具体地说，这一著作明确提出，在从事个案分析时我们应当特别关注以下的一些问题：（1）数学教育的建构主义哲学；（2）大众数学的口号；（3）学生为主体的思想（人本主义的教育思想）；（4）数学认知发展的观念（由行为主义向认知主义的重要转变）；（5）“再创造”的数学原理；（6）淡化形式、注重实质的思想；（7）充分重视学生的情感因素；（8）加强数学应用意识；（9）努力改进评价方法；（10）积极利用现代教学技术。由于所提及的这10个方面事实上就集中地反映了数学教育研究的现代发展[1]，因此， 这事实上就可被看成理论联系实际的一座重要桥梁。正如《数学教育个案学习》的作者所指出的：“个案学习正好在这方面发挥优势，它以丰富的具体教学情境为理论与实践的结合提供生动的注解。个案涉及到事件的情节、前因后果，以及作者本人的感受和思考，把情境细化了；它将一段过程详细展开，娓娓道来，动态的描述给抽象理论以生命和血肉。针对有血有肉的事例，教师以看得到、摸得着的情境为载体开展理性思考，理论就不再是一些抽象的名词、原理。”
综上可见，新出版的这些著作从各个方面为我们进一步作好案例分析指明了努力的方向。更为一般地说，我们又应切实改变现实中经常可以见到的“八股化”的作法，也即应当努力改变案例分析面面俱到、但却空洞无物的现象，并切实作到“言之有理，言之有物；虚实并重，小中见大”。当然，为了达到后一目标，我们又应切实提高自己的理论水平[2、3]。
最后，笔者以为，案例分析应重在分析，而不只是满足于搜集到多少个案例。另外，所说的案例也不应局限于课例（教学实例），而还应当包括学例，即应更加重视学生的学习活动，包括师生间的互动。
2 建构主义教学思想的深入学习
建构主义是对传统传授式教学思想的直接批判，在数学教育界产生了十分积极的反响。但是，就现实而言，笔者以为，我们应更加重视对于建构主义教学思想及其教学涵义的深入学习，包括很好地理解与把握由“极端建构主义”向“社会建构主义”的重要转变。
具体地说，建构主义不能被看成只是引进了一个新的时髦口号，而是代表了教学思想的重要转变。
第一，按照建构主义的观点，学习并非学生对教师所授予的知识的被动接受，而是其依据已有的知识和经验的主动建构。由于各个学生因其个人经历与社会环境的不同必然有着不同的知识和经验。因此，从建构主义的立场出发，我们应特别重视学生认识活动的个体特殊性，并从认知风格、学习态度、学习信念及学习动机等方面对此做出深入的分析。正是在这样的意义上，一些学者断言：100个学生就是100个主体，并有100种不同的建构。
第二，学习并非一种机械的、高度统一的过程。从建构主义的立场出发，对于学生在学习过程中所发生的错误（特别是所谓的“规律性错误”）我们应当采取更为理解的态度，而不应单纯地予以否定。另外，我们又不能期望单纯依靠正面的示范和反复练习就能纠正学生的错误，这主要是一个“自我否定”的过程，并以主体内在的“观念冲突”作为必要的前提。例如，按照这样的认识，我们就不应将学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”（或“标准作法”等）的想法（作法等）看成完全错误的，而应努力去发现其中的积极成分。也正因为此，一些学者提出，我们事实上不应把所说的不同观念（作法）称为“错误观念（作法）”，而应正名为“替代观念（作法）”（Alternative Conception）。
第三，数学教学应当追求“理解学习”。究竟什么是所说的“理解”呢？就现实而言，我们也可看到重要的观念转变，即，由唯一强调知识的“客观意义”转为更加注重主体内在的思维过程。也就是说，人们已不再唯一地关注学生是否牢固地掌握了概念或定理的本质，而是更加注意从“主体”的角度进行分析。按照著名数学教育家斯根普（R.Skemp）的解释，理解就是一个同化的过程。也即，是把新的概念或结论纳入到学习者已有的认知框架之中，从而使之获得明确的意义（这也就是一个“意义赋予”的过程）。
综上可见，建构主义为我们提供了对传统教学思想进行自觉反思和深入批判的重要思想武器。但是，我们在此又应防止任何一种简单化的作法。针对以上的分析我们可以提出这样的问题：尽管我们应当充分肯定学习活动的个体特殊性，但是，学习过程是否具有一定的规律性，或者说，不同学生的学习活动是否有其一定的普遍性？再者，对学生在学习过程中所产生的各种观念是否可以（或者说，应当）做出“正确”与“错误”的区分？最后，如果只是强调“纯主观”的解释，即，认为理解主要是一个“同化”的过程，那么，概念和定理是否还有其确定的客观意义？
对于上述问题的不同解答必然会导致不同的教学实践，这是建构主义历史发展的一个真实写照。特别是，由于相应的教学实践出现了种种不正常的现象，比如，一些人完全放弃了教师对于学生学习活动的指导作用和促进作用，这就促使人们在理论上做出更为深入的研究，并最终导致了建构主义的重要发展——即是由“极端建构主义”的一统天下转向了“社会建构主义”。
具体地说，所谓的“极端建构主义”对认识活动的个体性质采取了绝对肯定的态度，也即将认识活动看成一种高度自主的行为，从而，任何外部的“干涉”只能起到消极的干扰作用。与此相对立，“社会建构主义”则明确肯定了认识活动的社会性质。也就是说，认识并非纯粹的个人行为，而必定有一个在不同个体之间进行表述、交流、批评与反思，以及不断改进的过程。另外，从整体上说，学习主要地又是一种“文化继承”的行为，特别是，我们应明确肯定教学活动的规范性质。
显然，与极端建构主义相比，社会建构主义是更为合理的，从而我们也就应当从这样的角度积极地去开展相应的教学研究。
例如，从社会建构主义的立场出发，以下问题就具有特别的重要性：在充分发挥学生学习主动性的同时，又应如何发挥教师的指导作用和促进作用，或者更为广义地说，应当如何发挥教师与学生之间的互动作用？
正是围绕上述问题，国际数学教育界进行了积极的探索，并已取得了一些初步的成果。一方面，作为调动学生学习积极性的一个重要手段，人们现今普遍对于“情景设置”予以了特别的关注；另一方面，针对“组织学生开展讨论时教师应当如何发挥作用”这样一个普遍关注的问题，人们又提出了“淡化、重复、强化”这样一些策略。美国著名数学教育家瑞思尼克（L.Resnick）就曾指出，“重复学生的语言，再一次确认学生的意思，是教师控制教室对话的2种最明显的策略，这2种策略可以让学生的发言，从个体自我意思的表达，转化为全班可以共同沟通的语言。”
对上述工作我们应当持肯定的态度，但是，笔者以为，在此仍需要在实践的基础上做出更为深入的研究。
就现实而言，从学生的生活实际出发几乎被看成“情景设置”的唯一形式。但是，从建构主义的立场出发，我们又应防止用自己的主观想法代替学生的真实思想和兴趣。更为一般地说，我们不应绝对地去排斥其它的“引入方式”，例如，揭示新旧知识的内在联系事实上也应被看成新的学习活动的必要准备。
再则，对于在总结讨论中如何发挥教师的指导和促进作用这一问题，我们也不能满足于“淡化、重复、强化”这样一些具体作法，而应清楚地认识到这事实上是一个“优化”（规范化）的过程。当然，后者又并非是指教师在此应当扮演最终的“仲裁者”或“救世主”的角色，而是应当在这一过程中很好地起到组织者和启发者的作用。
3 开放题与开放式教学
自日本在20世纪70年代开创了开放题研究以后，很快就在世界范围内引起了积极反响。与具有唯一正确解答，甚至唯一正确解题方法的“传统问题”相比，开放性问题更适于使所有的学生参与到解题活动之中，他们可依据各自的水平进行求解。因此，在美国20世纪80年代所进行的以“问题解决”为中心的数学教育改革运动中，开放题就得到了广泛应用，而其根本目标则是希望通过这一作法能使数学对于大多数学生来说更有吸引力。
我国自20世纪90年代起也积极开展了开放题的研究，特别是在戴再平教授的指导下已经取得了一系列的成果。对促进数学教育发展起了积极作用。从所掌握的材料看，这可以被看成我国相关研究的一个重要特点，即是积极鼓励学生主动地去进行探索，并努力找出多种不同的解题方法和答案，其最终目的是“希望通过开放题的引入，促进我国数学教育的开放化与个性化，特别是有利学生创新精神的培养和实践能力的形成”。例如，上海教育出版社在2000年所出版的几本《数学开放题集》都明确给出了这样的“阅读指南”：“在阅读问题后，不要急于阅读后面的‘分析与参考答案’，而要尽自己的努力，独立地去解决问题，寻找答案。如果你已经找到了一个答案，那么你要自觉地去想，‘还有没有其它答案？还有没有其它解决问题的办法？’，我们当然不是要求读者找出所有答案，而只是希望读者能尽自己的努力写出尽量多的答案——无论你能写出多少答案，只要你真正努力地去做，那么你就是优秀的，而且还将会越来越优秀。”
以上的作法应当充分肯定，但是，从理论的角度看，在此仍存在进一步思考的必要。特别是，只有不断深化我们在这方面的认识，才能有效地避免不应有的偏差，并使相关的工作得到进一步的提高。
例如，开放题与传统问题相比显然更有利于调动学生的积极性，但是，在已经找到了某种解答的情况下，为什么又应鼓励学生尽可能地去找出更多的不同解题方法和答案呢？笔者以为，只有真正弄清了这一问题，相关的研究和实践才会具有正确方向，而不致于成为一种新的时髦。也即成为一种盲目的追求，特别是，所谓的“创新精神”才不会蜕变成“标新立异”。
事实上，这正是美国的相关实践所暴露出来的一个弊病：在现实中，开放性问题在某些场合正在成为不求甚解和不加检验的猜测的同义词。即，很多学生，甚至包括教师都只是满足于用某种方法（包括猜测和实验）求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性（包括完整性）做出必要的检验或证明。显然，从这样的角度去分析，鼓励学生尽可能地去找出更多的不同解题方法和答案就可在一定程度上防止上述现象在中国的重演。但是，后者只能被看成是一种手段，而非最终的目标。
那么，开放题的引入其合理性究竟何在呢？笔者在此愿意首先介绍瑞典著名教育家马登（F.Marton）所提出的一种观点：学习的本质就是鉴别，又由于鉴别依赖于对差异的认识，因此，在教学中我们就应尽可能地扩展变异的维数。按照这样的理论，我们就可以获得关于上述问题的一种解答：开放题正是扩展学生学习空间的一种有效手段。当然，为了真正实现所说的目标，在开放题的教学中我们不能满足于只是列举出多种不同的解题方法或答案，而应更加注意对于所得出的不同方法和解答进行比较和鉴别。从这样的角度去分析，我们还可看出开放题教学的又一优点：如果运用恰当，这将十分有利于学生表达能力以及批判、评价能力的提高。
其次，由于马登是从一般教育的角度进行分析的，因此，日本学者的以下分析与此相比就有着更大的针对性。具体地说，作为开放题研究的最早倡导者，日本学者S.Shimada在其于1977年编著出版的《开放式途径：关于数学教学的一个新建议》中，曾依据其“流程图”具体指明了“思维的开放性”对于“数学活动”的特殊重要性，其中的“数学化”和“一般化（推广）”这样2 个步骤显然都具有开放（发散）的性质，因为，它们的结果并不是事先确定的。然而，由于常规的数学教学主要集中于“收敛型思维”，因此，Shimada提出， 这就可以被看成开放题教学的一个明显优点，即是特别有利于学生“发散型思维”的培养。
按照上述的思路去分析，我们也可以引出这样的结论：由于很多数学活动都具有开放的性质（例如，除上面所已提及的“数学化”和“一般化”以外，解题策略的选择和应用也具有这样的性质），因此，就所说的目标而言，题型的选择就不是最为重要的因素，关键在于应当积极地去拓宽学生的学习空间。在教学中我们不应提倡任何一种强制的统一，即，应当明确反对任何一种过分的规范或人为的约束。
也正是基于这样的思考，笔者以为，与单纯提倡“开放题”相比，我们应当更为明确地提倡“开放式教学”。后者的主要特征在于“帮助学生发展发散型思维”，“努力拓展学生的学习空间并帮助学生学会鉴别”等目标的明朗化。按照这样的理解，开放式教学的适用范围显然已不再局限于“开放性问题”，也同样适用于一般的数学问题[4]。
最后，还应提及的是，就当前关于开放题的教学实践而言，我们还应注意防止以下的倾向，即是因过分强调“开放”而陷入“完全放开”，也即完全放弃教师的引导责任，从而形成“怎么都行”的局面。值得指出的是，对于后一种危险性一些日本学者也已认识到。例如，在《开放式途径：关于数学教学的一个新建议》所载的一次讨论纪要上，Shimada就曾明确指出，“我们必须注意到另一种危险，即是过分地开放以致认为任何一种解答都是可以接受的”。进而，禀承上述关于“收敛型思维”与“发散型思维”的区分，Shimada 又清楚地表明了这样的思想：“我们所希望的是在收敛型与发散型思维之间建立起很好的平衡。”这一观点可被看成以上所说的“帮助学生学会鉴别”的本质所在。
4 数学课程改革
数学课程改革是一项长期任务。数学课程改革现正处于积极的实施之中，我们在此不可能对这一改革运动做出全面评价，而只是希望从这一角度对如何积极开展相关的数学教育教学研究提出一些建设性的意见。由于课程改革并非一朝一夕可以完成，而必然是一个长期的任务[5]。因此，笔者认为，所说的研究工作事实上也就可以被看成课程改革深入发展的一个必要条件。
（1）这正是新的数学课程改革的一个主要特征。 即其主要是从一般教育的角度，也就是将数学看成整体性教育体制的一个有机组成成分，并从这样的角度去考虑数学教育的改革问题。例如，作为这一改革运动最为基本的一个理念，“数学课程标准”的设计者们突出地强调了义务教育的以下性质：“义务教育阶段的数学课程应充分体现普及性、基础性和发展性”。这也就是指：“义务教育的基本精神要求每个适龄儿童拥有平等的接受作为一个公民所必需的数学教育的权利。这种意义下的数学课程标准应当是对每一个人的终身发展有价值的，并且是人人都能够实现的。”另外，从更深入的层次看，我们在此还可看到“人本主义”教育思想的重要影响，即，建立旨在促进人的健康发展的新数学课程体系，这是一项十分重要而紧迫的任务。数学教育要从以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，创造一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育环境，提供给学生充分发展的时间与空间。
将数学看成整体性教育体制的一个有机组成成分当然是正确的，从根本上说，这也就是指，数学教育工作者应当更为自觉地承担起自己的社会责任。然而，由于数学教育不但具有一定的“教育属性”，同时也具有一定的“数学属性”[6]，因此，从这样的角度去分析， 这事实上就可被看成新的数学课程改革的主要困难所在，即是如何依据总的教育思想具体地去从事数学课程的设计，包括确立数学课程的目标，对课程内容做出适当的选择和组织，明确基本的教学思想等。这2 者显然不能被看成互不联系的，即，只是在传统的数学课程内容上简单地加上“素质教育”这样一个标签。
就数学课程改革的深入发展而言，我们应特别注意对于以下一些问题的研究，即，数学对于“国民的基本素质和生活质量”究竟有着怎样的影响？“为人的一生可持续发展奠定基础”需要什么样的数学修养？后者又是否可以被归结为“如何理解数学的价值，以及能否运用数学的思维方式去观察、分析日常生活现象，去解决可能遇到的现实问题”？
另外，相对于数学课程目标体系的制订等总体性工作而言，如何将相应的思想具体地落实于每一节课的教学过程又是更为困难的。事实上，大部分教师从备课开始直至全部教学活动的结束，其主要从事的是具体数学知识内容的教学，往往只关注学生对相应数学知识的掌握情况，从而忽视了“素质教育”这样一个长期的目标！当然，为了解决上述问题我们并不能将数学课变成思想教育课，而应将长期的教育目标切实落实于具体数学知识内容的教学。
笔者以为，就学生的健康发展而言，数学教育具有一定的特殊性。例如，问题解决显然有利于学生创造能力、自信心、元认知能力等方面的提高；另外，几何学习对于学生交流（表述与判断）能力，代数学习对于学生反思能力的提高应当说也有着特别的重要性。从而，如果我们能在这些方面做出深入的研究，这无疑将为课程改革的深入发展提供重要的基础。
（2）由于这一次的改革运动整个进程较为仓促， 并缺乏必要的研究基础和群众基础，因此，在实施过程中就很容易出现简单化的作法，即是盲目地去追随潮流，甚至由一个极端走向另一极端。
事实上，伴随着任何一个新的教育口号我们都可看到“追潮”的现象。例如，在前一时期我们即可看到“在……落实素质教育”此类文章充斥于数学教育的各类刊物，而今天的热门话题则又演变成了“在……中培养学生的创新意识和创新能力”，等等。
显然，这种盲目追潮流的作法只会给教育事业带来严重的消极后果，在此所需要的就是积极的独立思考，以使得我们的教学和研究工作真正成为一种自觉的行为。
正是从这样的角度去分析，笔者十分欣赏近期在一些数学教育刊物所看到的几篇文章。因为，从整体上说，它们不仅十分清楚地体现了独立思考的精神，更集中地表明了搞好数学教学改革的一个关键，即是应当反对由一个极端走向另一极端，而应努力作好对立面的必要平衡。因此，在强调教学活动启发性的同时，我们应当防止“似活而死，形而上学，桎梏思维”；就“暴露思维过程”而言，我们则应注意这一过程的科学性：“暴露思维过程必须因人而异，暴露思维过程必须因材而异，暴露思维过程必须展示失败的过程，……”；在数学思维的训练中，我们又应防止以下的倾向：“刻意追求思维的特殊性，忽视思维的普遍性”，“片面追求‘一题多解’而忽视思维的批判性”。
为了更清楚地说明问题，以下再对“创新与文化继承”的问题做出简要的分析。
数学教育无疑应当努力培养学生的创造精神，但就现实而言，却又可以看到一些不很恰当的作法，比如将创新能力简单地理解为“解决困难问题的能力”，并将创新能力的培养狭义地理解为“积极地去设置各种新颖的问题”。由以下事实我们即可清楚地看出前一说法的片面性：与解决问题一样，提出问题的能力也应被看成创新能力的一个重要内涵，后者构成了中国学生与外国学生相比特别薄弱的一环；另外，如果完全遵循后一种思路，则很可能造成新一轮的题海大战。
更为深入地说，如前面所指出的，创新不应被等同于标新立异，强调学生积极主动地去进行探索也不能等同于放任自流，而关键仍然在于必须处理好创新与继承的关系。当然，后者又不应成为外部的强行规范，而应是反思基础上的自觉行为。
以上分析为我们积极开展教学研究提供了很多有意义的课题。例如，从培养学生创新能力的角度看，究竟什么是好的数学问题？我们又应如何去培养学生提出问题的能力？从教学的角度看，在出现多种不同解法的情况下教师应当如何去从事教学？特别是，在学生已经成功地解决了所面临的问题的情况下我们如何才能使他们深切地感受到继续学习，包括对自己原有的方法做出“扬弃”的必要性？再例如，由于创造性人材不可能被纳入任何一种固定的模式，而必然具有自己的特殊风格，因此，这也就为我们深入开展创新教育提出了一个新的课题，即应如何去体现“个体化教学”的思想。
（3）最后再对如何看待中国数学教育传统的问题做出分析。 笔者的主要观点是：我们不能对中国数学教育传统采取轻易否定的态度，包括“抽象的肯定，具体的否定”。
当然，作为问题的另一方面，对于一些经由长期实践而积累起来的有效作法，如熟能生巧、精讲多练、启发式教学、变式教学等，我们也不能采取盲目继承的态度。在此所需要的即是从理论的高度重新进行认识，包括深入研究这些方法何以有效，以及清楚地认识各种作法的局限性并予以必要的改进。在这方面，李士锜同志关于“熟能生巧”的研究就是一项十分有意义的工作（参见文[7～9]）。此类工作不仅将极大地促进我国数学教育事业，同时也将标志着我国数学教育工作者真正走向世界，即是对于数学教育这一人类共同事业的应有贡献。希望广大数学教育工作者能在这一方面做出切实的努力。
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