“基本不等式的应用研究”的教学设计与反思，本文主要内容关键词为：不等式论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、基本情况 1.授课对象 四星高中高三理科班学生，基础较好，高三第一轮复习刚好两个月.学生已复习了函数、数列等内容，“基本不等式
”等相关内容还没开始复习.因课前通知学生的上课内容是“高三综合问题研究”，所以学生没能进行针对性预习. 2.教材分析 基本不等式是高一必修5的内容，高一的教学目标是：（1）探索并了解基本不等式的证明过程；（2）体会证明不等式的基本思想方法；（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，它是数学学习的重要内容，在“考试说明”中属于C级要求，其教学地位和考试要求都是相当高的. 教学目标 （1）“理解
（a＞0，b＞0）”的数学意义及应用价值；（2）应用基本不等式解决有一定灵活性的最值问题；（3）运用数学思想方法研究较为复杂的与不等式相关的问题 教学重点 基本不等式的正确运用. 教学难点 基本不等式的灵活应用. 二、教学过程 1.基于知识层面的问题研究 师：“基本不等式”无论在高考中还是在以后的数学学习中，都有极其重要的地位.今天我们通过近五年来一些高考试题和模考试题的解题分析，一起来研究基本不等式的应用. 例1 若a＞0，b＞0，ab=1，则a+b的最小值为________. 学生回答a+b的最小值为2.教师让学生说明理由.学生较为紧张（因没有预习），在教师的鼓励和引导下，作出了正确回答.（其目的是在问题的研究中，唤醒已学知识“
”让学生回归课本.） 变化1 若a＞0，b＞0，ab=1，则a+2b的最小值为________. 生：
，当且仅当
即
时，a+2b取最小值
. 师：检验“等号是否成立”很重要.（让学生进一步回忆、理解“一正、二定、三等号”的意义.） 变化2 若a＞0，b＞0，a+b=1，则ab的最大值为________，
的最小值为________. 生：ab的最大值为
，
的最小值为
.理由是：
，所以
教师强调（*）的意义和应用价值，并指出例1的微小变化所引起的解题过程的变化，进一步增进学生对基本不等式的理解. 师：还有什么想法吗？ ……学生在交流. 生：
，运用二次函数的图象可求得ab的最小值. 师：方法正确，求最值常用到“函数法”，为什么刚才没想到用函数法？ 生：……（想讲，讲不出来） 师：运用基本不等式使解题过程简单明了.其背后的原因是：条件中a，b是对称的，对称美引领我们思索“保持对称”的方法，所以没有用函数法. 变化3 若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆
截得的弦长为4，则
的最小值为________. 生：由条件得
，圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0上，所以a+b=1.
（教师分析“配对”的方法，使知识和方法不断地有机结合.） 师：这是一道高考题，注重观察、分析，发现圆心在已知弦所在的直线上，由此获得a+b=1，然后运用基本不等式求
的最小值. 教师强调，这一题是解几问题，但重点考查的是基本不等式的应用能力. 2.基于能力层面的问题研究 例2 若a＞0，b＞0，ab=a+b+3，则ab的最小值为________. 教师和学生一起读题，发现条件由原来的ab=1变化为ab=a+b+3，教师请同学们思考、交流. 生1：消去b，建立函数f（a），
因为a-1＞0，所以
，等号成立时a-1=2，即a=3，b=3，ab的最小值为9. 师：为何不用函数法呢？ 生1：后来发现
是“倒数型”代数式，用基本不等式方便，所以改用不等式方法了. 教师表扬学生建立函数模型的思想，同时肯定在研究过程中调整方案的思维品质. 生2：设ab=x＞0，
（a=b时等号成立），即
解得x≥9.即ab的最小值为9，此时a=b=3. 师：建立关于ab的不等式，通过解不等式求得ab的最值.这一方法很巧妙，如何想到的？（学生回答了思考的过程.教师强调“化归是重要的思想方法”.） 师：还有其他方法吗？ 由于时间原因，教师指出判别式法也可以求得ab的最小值. 变化1 （重庆高考题）若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为________.
生2：设x+2y=t＞0，建立关于t的不等式.由x+2y+x（2y）=8得8-（x+2y）=x（2y）≤
，即
，解得t≥4，x=2y时等号成立.
教师与学生对话，如何想到上述方法？学生简要说明消去y后难以建立函数f（x），所以想到整体换元，即设2x+y=t，运用基本不等式，建立了关于t的不等式
. 教师让学生品味例2的变化2和例2的研究方法，比较它们的相同之处，同时通过
，进一步增强基本不等式的理解和活用. 变化3 如图1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比.现有制箱材料60
，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A，B两个小孔的面积忽略不计）
教师和学生一起审题，发现4b+2ab+2a=60，通过设参数k，只要求杂质的质量分数
的最小值.教师让学生将此问题与例2进行比较.比较发现本质一致，都是已知a，b的等式，求ab的最值.教师发现学生对该问题的研究充满热情，一改过去怕应用题的心理.
生：还可以消去x，把yz看成一个元…… 师：还有什么想法？
师：非常好！将
看成一个元，构建了倒数型不等式，基本不等式的应用“水到渠成”！ 例3 （1）x，y∈R，x+y=1，则
的最小值为________.
教师让学生板演，学生运用构建倒数型不等式，很快求得最小值.教师肯定这一方法的同时，要求学生思考
改为
，解题思路有何改变？ 教师进一步追问：消去y，用函数法解为何不是最佳方法？追问促进了学生对概念的理解和对方法的认识.学生对第（2）题感到陌生，经过努力，获得如下解法：
，等号成立时
教师引导学生反思，学生发现构建倒数型不等式的本质没变.教师再次引导学生回忆，刚才的方法本质上是配对法在不等式中的灵活运用. 例4 已知不等式
，对任意x＞0，y＞0恒成立，求正数a的最小值. 师：这是一个恒成立问题，你想到了什么？ 生：运用配对法，构建倒数型不等式可能会求出a的最小值. 教师鼓励学生进一步探索. 生：
，只要
的最小值大于或等于9，即
，即a≥4，等号成立时
，a的最小值为4. 师：在例2、例3的研究中，我们运用了哪些方法？ 简要小结：教师让学生一一回顾刚才的方法，并要求学生反思方法的合理性，特别是方法的选择，在方法的比较中培养思维的深刻性.笔者认为，没有方法的比较，就没有真正意义上的方法的学习. 3.基于拓展层面的问题研究 例5 （浙大自主招生题）已知x＞0，y＞0，a=x+y，
，
，问是否存在正数m，使得对于任意正数x，y可使a，b，c为一个三角形的三条边？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 教师请学生读题、审题，学生感到难以入手……教师让学生讨论，鼓励学生大胆动手实验.
师：问题转化为求
的最小值，这与例2变化4相类似.（教师的思维过程，学生感到亲切自然.） 教师和学生进行对话，学生发现，取x=y=1可得c=m，由此也可发现解题方向.教师强调，发现解题方向是首要任务，方向错了，永远不会获得正确的方法.另外，通过问题的特殊情形（取x=y=1）来研究问题的本质特征，探索解决问题的方向是一种科学研究的方法，是“实验·猜想·证明”思想的合理体现，由此也拓展了我们探索的空间. 学生认为，将xy看成一个整体，才能将复杂的问题转化为熟悉的不等式问题.学生的数学视角和思考能力在研究中不断拓展. 简要小结（略）. 三、教学反思 1.高三复习教学要回归课本 如何回归课本？教学中通过简单问题的研究，促使学生回忆课本上的概念，而不是简单地再次讲解课本的概念.即不是回放高一的教学片断.这节课上，有点遗憾的是学生没有任何预习，不清楚复习的主题，因此一开始的“对话”不大顺畅，学生心理活动较为紧张，所以预设的情境没能自然出现.特级教师于漪曾提到，借班上课不熟悉学生情况，不能很好体现教师的教学艺术（教学创造），我很赞同这一观点.设计什么样的问题进行教学，才是引导学生回归课本，才能引导深刻理解概念，并增强应用概念的能力.这是我在教学设计中重点研究的一个内容.教学经验丰富的苏州十中魏正军老师听了这节公开课后，第二天，他在自己教室将这节课完整地上了一遍，他告诉我效果很好.特级教师仇炳生先生看了这节录像课后认为，教学情境真实，学生思维过程真实，“很有味道”.公开课必须是“真教学”.“真教学”不拒绝学生的预习.那么，这节课如果让学生提前一天预习，教学的有效性是否更理想？思维能力的培养是否更有成效？ 回归课本，就是回忆、唤醒以前学习的重点概念和基本问题，由此增强学生对数学概念的认识，进而增强学生发现问题本质的能力.回归课本的教学，有益于学生在问题研究中展开有质量的联想.离开“基础”的教学设计，离开“基础”的教学活动，思维能力的培养必然是脆弱的.忽视“基础”的教学必然是大题量的教学，必然导致学生的发现能力受到阻碍，学生的辨别能力逐步“退化”. 2.高三复习教学要努力拓展学生的思维空间 拓展学生的思维空间，必须研究教学目标.教学目标的科学确定是教学法的基础.由此进行的教学设计才能正确研究要选哪几个例题、为什么要选这几个例题、学生对例题会有什么反映，而学生的“反映”其落脚点在于学生的思维能力是否得到有效发展、思维的针对性和灵活性有没有得到有效培养、学生的思维空间有没有得到有效拓展. 在例2教学的设计中，两种方法的学习与比较，使学生对不等式思想和函数思想有了更深的理解，在教师的不断追问下，促进了学生对方法的发现、选择以及调整等思维过程的研究等等.这些都是教学目标所关注的内容.这样的思维展开，“不拘泥于不等式”，使复习教学更加突出能力的培养. 拓展学生的思维空间，必须重视“问题变化”的教学研究. 由例2、例3引出的几个变化的问题的研究，不仅仅是“一题多变”的研究，而且更重视“为何而变”的教学设计的研究.“人的思维是否具有客观的真理性，这不是一个理论问题，而是一个实践问题.人应该在实践中证明自己的思维的真理性”（马克思），方法的研究和方法比较的研究增强了学生思维的实践性，由此才有思维的深刻性.这是我在20世纪80年代末形成的一个教学特色. “问题变化”的教学研究，第一，必须体现科学性.为什么要变化？概念的学习是否得到加强？解题方法的主线是否得到强化？思维的灵活性会否受到影响？（防止思维单一，思维僵化）. 第二，“问题变化”的教学研究必须体现艺术性.在问题的细小变化中，引导学生发现解题方法、解题过程发生变化的原因，同时，还要引导学生发现问题的本质没有变化的原因.问题的变化，引起了学生对问题的深度观察，培养了学生用数学眼光、哲学方法思考问题、研究问题，这些正是数学文化所体现的价值.正如诗人雪莱所说：“除了变，一切都不能长久”.在问题变化的教学中，不断呈现“熟悉—陌生—熟悉”的过程，其教学设计不仅仅是为了方法的巩固，而且更是为了重视学生发现能力的培养，突出化归思想等数学思想的运用.变就是艺术. 拓展学生的思维空间，必须正确运用师生“对话”，使教学能真实展现学生的思维过程和教师的思维过程.在此基础上师生进行深刻思辨，运用批判性思维进行的方法研究才是有质量地拓展学生的思维空间的教学.从数学教学艺术的角度来运用“对话”，还体现在如何从情感、直觉，尤其是审美的角度来认识数学美，从而激发学生的学习热情，提高学习的质量，特别是创造能力的培养.“所有能使孩子得到美的享受、美的快乐和美的满足的东西，都具有一种奇特的教育力量”（苏霍姆林斯基）.真正的教学艺术都具有奇特的教育力量. “基本不等式的应用研究”这节公开课，笔者虽作了一定的探索，但离真正的教学艺术还有距离，还要不断努力、不懈追求，“虽不能至，心向往之”.
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