等式基本性质教学设计的几个要点，本文主要内容关键词为：几个论文,等式论文,教学设计论文,要点论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“源于生活、易于理解”是对日常生活中的一些规律的最为简朴的抽象.等式基本性质是数学中的基本规律之一，小学和初中的教材中都呈现了该内容，它是数学基础教学中重要的教学内容，在教学设计中需要充分理解其地位、价值和意义. 一、理解等式的含义是“开篇设计”的前提 等式是2个代数式用等号连接而成的一种数学表达式，即含有等号的式子，它是人们从生产生活实践中总结而来的一种数学结构理解“等式”可以从以下3个维度解读：①看结果，等式描述的是运算前和运算后的结果相等，如1+2=3.②看过程，等式描述的是一种状态的平衡，如力的合成
.③看效果，等式描述的是2种作用的效果是等价的，如“已知x+3=1，判断
=1是否成立”，等式左边的x+3，
，如果不关注描述的效果，学生很可能不知如何由前面的式子转换到后面的式子. 1.教材呈现以图代文，教学必须由图及文 本文所指的教材是指浙江教育出版社义务教育教科书《数学》（七年级）“开篇设计”以实验形式呈现，符合学生的认知规律，让学生真实经历等式基本性质的形成过程.因此教学设计时必须要有实验操作环节，在图1、图2左图的基础上通过添加（或减少）相同的砝码个数（如图1、图2右图所示），观察天平是否平衡，“触摸”等式基本性质1的生活原型.这个环节展示时要注意3点：①演示要反复多次并能让学生注意到每一次操作都是“对称的”.②要让学生体会到这种操作是“可逆的”（添加和取出）.③要注意让学生思考操作过程中的不同状态：从一种平衡通过“操作”到另一种平衡，在这一变化过程中不变的是什么.
教材采用合作学习的方式，教师辅之以实验，目的都是为了让学生增加体验，获得经验，为接下来的抽象归纳提供直观的、感性的原型，使得数学抽象不再是无源之水、无本之木. 2.图是图，文是文，数学抽象是理性的抽象 “开篇设计”中的第2个环节是关键：从实验过程中抽象出2个等式基本性质.师生通过实验，在充分触摸概念外延的基础上，需要抽取以下信息：①明确“平衡状态”在数学中可以用“等式”来刻画，这为将来学习力学和向量等作好铺垫，初步体验用“等式”来刻画“作用效果”的等价性（“度量”的本质）等.②要区分教材中2组图之间的“双箭头”和数学中的“互为逆运算”并非完全等价，第1个“双箭头”与抽象出来的等式基本性质1的“可逆性”是等价的，即由等式“a=b”可推得等式“a+c=b+c”，也可以由等式“a+c=b+c”推得等式“a=b”.由此构成等式性质1的完整数学表达：如果a=b，那么a±c=b±c，其中的字母a，b，c可以表示任何实数.但是第2个“双箭头”对天平称量而言是成立的，但抽象而成的等式基本性质2是“不可逆”的，也就是“如果a=b，那么ac=bc，其中c是任意实数”，反之“如果ac=bc，那么a=b，其中c≠0”，即当c=0时命题不真，故“不可逆”.综合两者形成等式基本性质2：“如果a=b，那么ac=bc或
（其中c≠0）”.这个过程可以让学生体会数学抽象不是生活问题简单数学化和数学问题简单字母化，数学抽象必须排除全部的无关量，抽取其中本质的、普适的、规律性的部分，并用最为简洁的数学关系式表达.数学抽象体现了人类思维的深刻性，是理性精神的最高层次，也是数学学习的核心所在. 3.反思一个案例 在某省级观摩课中，笔者发现几处课堂细节的发生与上述理解有密切的关系.第1个细节是教师演示完实验后学生在归纳形成等式基本性质2时，忽略了“c≠0”，原因就是教师强调了2组图中的“双箭头”，而忽视天平称量的可逆并不是数学原理的可逆，失去提升学生理性思考的绝佳机会. 第2个细节是教师讲完例题1：“已知2x-5y=0，且y≠0，判断下列等式是否成立，并说明理由.1）2x=5y；2）
.”后给出如下的变式：“变式求值：已知2x-5y=0，且x≠0，求y与x的比.”结果学生花费很长时间，在教师的帮助下才得以完成，简直不可思议！ 其实出现这种情况原因是非常清楚的，就是在演示实验时没有让学生体会每次操作的“对称性”.实验操作的“对称性”清楚地表明对等式进行“对称的操作（本文所指的操作都是有意义的）”使得“原等式”变为“新等式”，也就是说操作使等式发生了变化，“新等式”已不是“原等式”，但具有明显的不变性：仍旧是等式.因此，对一个等式施以“对称操作”一定获得新的等式，那么问题就变得非常简单：把等式
（已经得到）的2边分别施以同样的操作——取倒数，便得结果
.这为将来学习比例的性质带来较大的方便，譬如：已知
，则一目了然知等式
是正确的，而等式
是错误的.因此，在教学设计时如果忽视上述的任何一点，都是一种损失.教师设计的着力点应是如何为学生谋取长期利益. 二、熟练运用等式基本性质是“中篇设计”的关键 学生凭借已有的生活经验理解等式基本性质应该不会困难，但熟练应用并在应用过程中提升其逻辑思维能力和提炼出解方程的依据需要对教材编排有深刻的理解. （1）熟练运用等式基本性质不仅可以解决等式变形问题，更重要的是这是培养学生逻辑思维能力的一个绝佳机会，也就是说在变形前需要先作出逻辑判断.如：“已知x+3=1，判断
=1是否成立”，要正确判断其真假，逻辑必须非常清楚第1步：利用等式基本性质1（等式的2边同时加上1-x）把“x+3=1”变为“4=2-x”；第2步：利用等式基本性质2（等式的2边同除以4）把“4=2-x”变为“
=1”.整个过程顺序清晰、逻辑性非常强，为此教材安排了1道例题和5组练习（其中课内练习2组、作业题3组）. 教学时如何体现其逻辑价值？笔者认为有2条实施路径：其一是通过规范的书写，理清变形过程对应的逻辑链（解题序），通过逻辑链的训练培养逻辑思维的能力；其二通过改变等式变形的逻辑顺序，培养学生问题分析的能力逻辑能力是建立在分析能力的基础之上的，逻辑思维对结果的表征是确定的、前后连贯的、条理清晰的、依据充分的例如改变逻辑顺序为：第1步：利用等式基本性质2（等式的2边同除以-4）把“x+3=1”变为“
”；第2步：利用等式基本性质1（等式的2边同时加上
）把“
”变为“
=1”. （2）等式的性质是解方程的基础，教师在教学设计时应注意在“1例5练”的教学过程中渗透“移项”（对应等式基本性质1）和“去分母”（对应等式基本性质2）这2个概念.如“a=-b的2边加上b”得到“a+b=0”后，可让学生归纳“移项”的规则；“
的2边同乘以6”得到“2a=3b”后，可让学生归纳“去分母”的规则. 等式基本性质教学单元的设置是为解一元一次方程服务的.由于在一元一次方程的解决过程中只涉及移项、去分母（分母不含0因子）和合并同类项，因此在等式性质教学设计时不必过分强调分母等于0的情形.一般而言，在等式基本性质2的应用举例教学设计时不宜补充如下问题：“已知2x-5y=0，且x≠0，求y与x的比”，留待学习分式时再研究. 三、等式基本性质、方程同解、分配律是“收官之篇设计”的三大支柱 利用等式基本性质可以解一元一次方程，其原因就是在对方程进行变形的过程中，方程本质属性不变. （1）同解方程：解集相同的方程（等价方程）.例如方程x-2=0与方程x=2是2个同解方程.同解是方程之间的一种等价关系，可以用一个简单的同解方程来代替一个较复杂的方程同解原理：①方程的2边加上同一个数或式（式与方程的定义域相同），方程的解集不变.容易知道“移项”是一种同解变形.②方程的2边乘以同一个非0的数或不取零值的式（式与方程的定义域相同），方程的解集不变. 当方程变形不满足同解原理时，变形后的方程就有可能出现增根或失根.因此在教学时必须注意利用等式性质解一元一次方程并不是没有原则的使用，是在利用由等式性质导出的“移项”、“去分母（这里指方程的2边同乘以或除以一个非0的数）”和乘法分配律解一元一次方程这就是讲解例2需要渗透的关键点，也是对讲解“1例5练”所获得认识的理性提升和自然延续. （2）从同解原理中可以知道“移项”是同解变形；“去分母”时，方程的2边同时乘以或除以一个非0的数也是同解变形.这2条构成解一元一次方程的全部依据.由此看来“检验”一元一次方程的解是“多余”的，那么教材为何在例2之后编排“检验”？解读不好会对后续学习产生困惑，即学生不清楚到底什么时候需要检验方程的解（正常的解一元一次方程不会产生增根和失根），什么时候不需要检验.教学设计时不必过分强调“检验”环节，知道通过“检验”可以判定解得的“解”是否正确就够了.原因非常简单：时候未到！等到学解分式方程并且增根出现时，在学生产生强烈的认知冲突时（增根从哪里来的），分析强调教学效果会更好.当然更加不必去补充“体现所谓检验必要性”的例题了. （3）教材不涉及方程同解原理是为了突出基础数学的本质和基本思想都是平实朴素、平易近人的，但要教得平易近人需对教材做深入研究表面上看方程中的“未知量”是不定元，实际上是一个未知量和已知量之间约定关系式中的待定量，是一个确定的数，因此它满足数的全部运算律.解代数方程的基本原理就是有系统地运用运算律把所给的代数方程简化，从而确定其中所含的“未知数”所应取之值[1].在简化一元一次方程的过程中使用“移项”和“去分母”等手段，其本身并不构成解代数方程的核心思想方法，通过这些手段需要表达的是可以通过系统的、程序化的方法达成化未知为已知的目的（算法思想的直接渗透）. 由此可知，例2的教学中需要淡化等式性质的直接应用，要注重等式性质和“移项”、“去分母”的交替使用.不必过分强调等式性质的适用性，而要体验其中“以简驭繁，化未知为已知”的简朴道理，体验解决问题的系统性和规律性，也就是解决问题的程序性，让算法思想根植于学生的心中.设计好等式基本性质的教学，为进一步学习解方程提供最好的范本.
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