河北省涉县第一中学 056400
◆ 赵海良 河北省涉县第一中学 056400
一、一般地增减函数定义
1.增函数和减函数的定义。
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2.定义解读。
（1）一般地：研究f（x）的定义域为I某个区间D，任意取x1,x2。
（2）自变量变化与函数值变化同步，x1＜x2，f（x1）＜f（x2）,则f（x）在D上为增函数。
（3）自变量变化与函数值变化异步，x1＜x2，f（x1）＞f（x2）,则f（x）在D上为减函数。
（4）如果y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间。
（5）书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，端点有意义，写成闭区间；端点没有意义，写成开区间。
（6）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，一般不能用“∪”连接，而应用“和”或“，”来连接。
3.定义思考（学生互助学习环节）。
如何表示自变量变化与函数值变化同步、异步；分小组讨论并将讨论成果展示出来。
（1）A组成果展示。
①若x1，x2∈D且（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，则f（x）在D上递增。
②若x1，x2∈D且（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，则f（x）在D上递减。
（2）B组成果展示。
①若x1，x2∈D且 ＞0，则f（x）在D上递增。
②若x1，x2∈D且 ＜0，则f（x）在D上递减。
（3）C组成果展示。①若x1，x2∈D且x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）在D上是增函数。②若x1，x2∈D且x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）在D上是减函数。
4.教师点评。
三组研讨成果都很好，可作为书中定义的引伸、拓展与升华。
A组成果可作为判断函数单调性的引伸定义。
B组成果可作为判断函数单调性的拓展定义。
C组成果可作为判断函数单调性的升华定义。
5.教师画龙点睛。
（1）C组成果是个排序不等式，是奥赛的重要内容；同时它可通过移项、因式分解而转化为A组成果。
（2）B组成果展示：设：A（x1，f（x1））,B（x2，f（x2））是f（x）在D区间图像上任意两点，记k= ，k表示直线AB的斜率；若k＞0则：f（x）在D上单调递增；若k＜0则f（x）在D上单调递减。
二、特别的增减函数定义
一般的，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2。
一般的解读让人思考，不一般的，即特别的如何解读？
特别的，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内两个区间D1∪D2或两个以上区间D1∪D2∪……∪Dn的任意两个自变量的值x1，x2。
下面以两个区间为例。特别的，设f（x）定义域为I,如果对于定义域I内某两个区间D1,D2x1，x2∈D1∪D2 ,若x1＜x2f（x1）＜f（x2），则称f（x）在D1∪D2 上单调递增；若x1＜x2f（x1）＞f（x2）则称f（x）在D1∪D2 上单调递减。
1.特别的增函数和减函数的定义。
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说明：
（1）上表格左图函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）是增函数。
（2）上表格右图函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）是减函数。
2.特别的函数单调性应用举例。
（1）已知f（x）= 解：显然y=f（x）在是R上增函数。
（2）已知f（x）= 解：显然y=f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为增函数。
（3）已知f（x）= 在R上为增函数，求b的取值范围。解：只要b≤1，就能保证：y=f（x）在R上为增函数，∴b∈[1,+∞）。
（4）若f（x）= ，k＞0求函数f（x）的单调区间。解：f（x）的减区间为（-∞，0），（0，+∞）；或（-∞，0）和 （0，+∞）。不能写成:（-∞，0]，[0，+∞）；也不能写成:（-∞，0）∪（0，+∞）。
三、利用定义判断函数单调性
例：判断函数f（x）= 在x∈（-1，1）上单调性。
证明：（1）设-1＜x1＜x2＜1。
（2）f（x1）-f（x2）= -
= = 。
（3）∵（x12-1）（x22-1）＞0，x1x2+1＞0，x2-x1＞0,当a＞0时，f（x1）＞f（x2）；当a＜0时，f（x1）＜f（x2）。
（4）当a＞0时，f（x）在（-1，1）上为减函数；当a＜0时，f（x）在（-1，1）上为增函数。
题后小组讨论总结：利用定义判断函数单调性的步骤有几步？A组回答：取值→作差变形→定号→判断。
1.取值：设x2，x1为该区间内的任意两个值，且x1＜x2。
2.作差变形：作差f（x1）-f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形。
3.定号：确定差值符号，当符号不确定时可考虑分类讨论。
4.判断：根据定义作出结论。
四、函数单调性的常用结论：
1.一般的。
（1）函数f（x）与函数f（x）+Cf（x）+C具有相同的单调性。
（2）函数f（x）和kf（x），当k＞0 时，它们的单调性一致，当k＜0时，它们的单调性相反。
（3）若f（x）恒为正或负时，f（x）与的单调性相反。
（4）在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增—减=增；减-增=减。
2.基本初等函数的单调区间。
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五、反思
1.一般的：函数单调性定义有5个定义。
2.特别的：给出了“一般的”的补充和完善。
3.用定义证明函数单调性的四个步骤。
4.理解常见结论与熟记基本初等函数的单调区间。
六、布置作业
1.已知f（x），g（x）均是定义在R上的增函数，讨论F（x）=f（x）g（x）在R上的单调性。
2.讨论f（x）= +x，（a>0）在（0，∞）上的单调性并证明。
论文作者:赵海良
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年8月总第273期
论文发表时间:2018/8/13
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