——以函数的零点为例
张伟娜 江苏省南京市临江高级中学 210000
一、课题的提出
函数的零点是新课标中的新增内容，也是高考命题的热点。教材中引进函数的零点是用函数的观点统帅中学的代数，把中学所学的代数问题纳入函数的思想之下，学会用函数的思想处理方程、不等式等相关问题，这样可使方程、不等式与函数紧密联系在一起，这也说明了函数的零点在高中数学中的重要作用。
碍于高一知识结构尚未完善，教师往往通过研究一些简单的函数来说明，在高二学习函数的导数时，因课时量少往往也无暇顾及。到高三第一轮复习时，学生对它自主探究所需的知识条件已经具备，因而对它进行系统的归纳提升十分必要。
二、教学过程简录
例1：确定函数f(x)=x3-6x2+9x-10零点的个数。
设计意图：此例主要是帮助学生回顾函数零点的概念及相关知识。由学生分析探讨，发现直接解方程行不通，引导学生研究函数的性质和图像。由此作为思维的切入点，打破学生此刻认知结构的平衡，针对此例再设问题串。
如何研究f(x)=x3-6x2+9x-10的性质和图像。
1.函数研究的起点是什么？（定义域和对应法则）终点是什么？（性质和图象）
2.函数需要研究那些性质？（奇偶性、周期性、和单调性）
3.函数作图的主要依据是什么？（求导获得单调性的认识）
4.如何较为准确的作图？（极值、最值、与坐标轴交点等细致的性质）
设计意图：一是巩固刚复习过的函数三要素和函数三性质；二是从问题探究中初步让学生获得研究函数问题的基本线索。
变式1：（引入参数a）试讨论函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a（a∈R）零点的个数。
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设计意图：根据函数与方程及零点之间的关系，引导学生得到以下三个等价式：函数的零点，方程的根，函数的图像与函数的图像交点的横坐标。
变式2：若函数f(x)=x3-6x2+9x-10-a在[1,3]上有零点，求a的取值范围。
设计意图：引导学生抓住问题的本质，突出“数形结合”的数学思想。
三、教学思考
1.以问题为载体，实现认知结构的完整性。
通过复习课教学，使学生系统地掌握一类问题的研究思路，有效提高学生分析问题和解决问题能力。俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”因此，课堂上帮助学生掌握有效的学习方法和思维方法非常重要。以问题为载体，积极引导学生进行思考，把学生引入一个完整的理论领域，获得对一类问题进行分析的方法，如在引例中通过一串问题的设置，使学生获得研究函数性质的一般思路，对任意的函数，首先考虑此函数的定义域和对应法则，其次研究函数的奇偶性、周期性和单调性等对称性，再通过性质能较准确地作出图形对其进行分析，达到知识结构的完整性，实现认知结构的完整性。
2.以变式为引领，抓住问题的本质。
复习课中，如果仅仅停留在浅层次的分析上，没有触及问题的本质，那么容易造成学生探究问题的肤浅性，解题能力就不会得到相应提升与发展。要使学生真正掌握数学本质，变式教学是一种行之有效的方法。如函数零点问题的本质就是方程的解的问题，函数零点个数问题可以转化为两个函数的图像交点问题。在解题过程中，还需要引导学生深入挖掘隐藏在知识背后的思想方法，及时加以提炼。如果不能揭示数学思维方法的本质，那么很容易造成学生思维上的惰性，使学生只会从所给问题的形式上去思考和探求，而不会从本质上去探究问题，更不会创造性地进行求解。
3.渗透数学思想方法，提高思维能力。
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析，通过教师对典型例题的分析和学生的自主探索活动，体会其中蕴含的思想方法。”在函数零点问题及变式问题的求解过程中，应该充分渗透参数分离法、化归与转换、数形结合方法等数学思想方法，以促进学生数学思维的高度发展，让学生在作图过程中感悟数形结合的作用。其解法实质是数形结合思想的应用，因而在教学中要加强数学语言转换训练，培养这种思想意识，做到“胸中有图”“见数思图”，以开拓学生的思维。
数与形结合层次的深度决定着学生思维方向及解题方法的优劣，如何找到简捷有效的数形结合方法，需要深刻领会数学知识的本质，在解题过程中不断加深对数形结合思想的领悟，开阔视野，提升思维能力。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003。
[2]孙春生 肖爱国 函数与方程中的三个等价关系[J].中学数学杂志（高中），2014，（5）：42-44。
论文作者:张伟娜
论文发表刊物:《素质教育》2017年10月总第250期
论文发表时间:2017/11/29
标签：函数论文; 零点论文; 学生论文; 方法论文; 思想论文; 方程论文; 数学论文; 《素质教育》2017年10月总第250期论文;