摘要：随着我国的综合国力在不断的加强，双螺杆挤出机机筒内部的流体流动区域截面是随时间变化的复杂三连通区域，采取共形映射方法将这样的三连通区域映射成不随时间变化的圆界区域，进一步将流动区域变成一个不随时间变化的柱形区域，可大幅简化双螺杆挤出机流体流动问题的计算。选择以外边界为圆周、内边界为随时间旋转的两个椭圆周的平面区域上的热传导问题为研究对象，用本文方法进行计算并比较了精确解和数值解，计算结果表明两解的绝对误差较小。本文方法可用于双螺杆挤出机流体流动问题的计算，并简化了计算过程。
关键词：双螺杆挤出机；三连通区域；热传导方程；共形映射
引言
随着聚合物加工业的蓬勃发展，单独螺杆结构已经不能满足实际生产需要，实际生产中往往采用由螺纹、啮合盘元件等多种方式组合起来的螺杆结构。不同构型组合螺杆能够满足不同的生产加工需求，同时流动和混合流动机理也更加复杂。单独螺纹或啮合盘等元件的数值模拟分析很难反映实际螺杆挤出机的组合螺杆流体流动特性，对指导工程应用有一定的局限性。因此，分析组合螺杆流体流场及流固耦合特性，更加接近生产实际，可为三螺杆挤出机的设计和优化提供重要的理论参考。对单独螺杆结构的功能特性已有较多报道，正向螺纹元件多用于建压和输送物料，啮合盘元件主要用于物料混合。
1 共形映射的计算
1.1 共形映射方法的理论公式
本文使用并改进的方法。首先考虑一个多边相连的有界平面区域Ωa，其边界分量是光滑的曲线。Ωa共形等价于圆界区域Ωc。设f∶Ωa→Ωc为共形映射，同时令函数u=ln|f'(z)|，则u是Ωa上的调和函数，并且满足边界条件(1)
式中，n是边界分量，rv是对应的圆界边界Ωc的半径，s是弧长参数，X(s)是Ωa的曲率，其值取决于s位于哪个边界上。在区域边界有尖角的情况下，将区域记为Ωp。式(1)中X(s)在每个尖角的值是δ函数的倍数，即X(s)=βδ(s)，其中β是尖角的补角。所以共形映射f(z)可以近似表示为f(z)=f1((z－z0)α)式中z0是尖角点的坐标，f1是一个单值解析函数，α=π/(π－β)。因此可以得到ln|f'(z)|=(α－1)ln|z－z0|+w(2)式(2)中w为调和函数的光滑部分。式(2)表明调和函数u在尖角部分有对数奇点，如果减去u中所有奇异部分，剩余部分即为在边界上光滑的调和函数。利用公式(3)可以得到与尖角部分有相同奇点的单值函数
式(3)中，z*是Ωp区域外部线段z0z*上除z0外的一点，从调和函数u中去除所有奇点{zi}后得到一个剩余的函数w即为Ωp上的调和函数，并且w在边界上光滑，从而得到式(4)
式(4)中
且w满足边界条件
求解如式(5)的泛函φ(w)的最小值可以得到调和函数w。
式中，Cv表示Ωa的内部边界，且
得到调和函数w后，求解Cauchy-Ｒiemann方程
即可得到w的共轭调和函数wc。注意到G(z)是解析函数，则ln|G(z)|是从式(4)u中减去的奇异部分之和，因此f'(z)=exp(w+iwc)G(z)是解析函数，通过对f'(z)积分可以得到共形映射f(z)。为了使调和函数w唯一，需要在外边界上选取两个点pi(i=1，2(3))，从而得到限制条件式(7)。
式(7)中ai为2个固定正数，令其满足a1+a2=2π，则式(7)可使映射f唯一，同时不影响目标网格的形状，更重要的是可以使内部边界的形状和大小变得相同。
1.2 数值求解
通过有限元方法对公式(5)进行离散来寻找函数(w)的最小值。在Ωa区域打上网格点进行三角划分，并在每个尖角点部分进行加细处理。分别用V、E、F来表示节点、边和三角形的集合，并将未知函数w离散化为τ上的分段线性函数。首先，将式(5)中的第一项离散为
式中H表示三角网格的个数。将w的离散值排成列向量w'，有
式中we是边界向量，wi是内部向量。所以式(8)等式右边可以写成矩阵表达式
Aw'，其中系数矩阵A为对称矩阵，可写成
式中Aee、Aii分别对应we和wi，Aei对应交叉部分。其次，将式(5)中的第二项离散为
式中e为三角网格的边。式(9)中g，X(s)可以分别离散为
2 流场分析与讨论
三螺杆挤出机以其特有的排列方式，形成多个啮合区和独有的中心区，流场分布规律较为复杂，而组合螺杆由不同的单独螺杆元件以搭积木的方式排列，其混合机理更加复杂。为便于研究组合螺杆流体的流动特性，选取螺杆挤出机中心轴截面，观察不同参数的分布云图，从而进行对比分析。，４种组合螺杆均产生回流分布，而在螺纹元件下端，云图大多呈现橘黄色、黄色分布，速度为正值，这是由于螺纹元件输送能力较强。在组合螺杆２的正向啮合块段，云图存在两块明显的红色区域，速度为正值，输送能力较强。这是由于正向啮合块具有与输送方向相同的泵送能力。然而，从整体来看并非速度均为正值，图中大部分蓝色区域表明速度较小，且存在回流现象。组合螺杆３中性啮合块段位不产生泵送能力，只起到混合作用。因此，整体速度较为稳定，速度差较小，整体速度分布范围也较小，有效延长了物料混合时间。组合螺杆１、４反向啮合块段位，轴向速度都有一块明显的蓝色区域，速度为负值，产生较大的回流量。这是由于反向啮合块具有与输送方向相反的泵送能力，明显的回流能增加停留时间，使物料更充分混合。由此可见，组合螺杆能够在一定程度上削弱轴向速度，增加停留时间，运用多组反向啮合块元件回流作用更为明显。为了进一步直观地进行比较，每组选取３条监测线，计算了不同监测线上的轴向速度。在几何中心位置监测线Ａ处，组合螺杆１两端所处的螺纹段轴向速度平稳，大于０，表现出较强的物料输送能力，不利于物料的混合；中间的反向啮合块段位出现驼峰似速度波谷，回流速度达到极大，有利于物料共混。组合螺杆２及３的速度大于０，表现出中心区较强的输送能力。组合螺杆２向前的错列角，使轴向速度出现２次驼峰似速度波峰，这对物料混合十分不利。组合螺杆３中性啮合块无泵送能力，但与组合螺杆１相比，有效降低了轴向速度，对物料充分混合略有贡献。组合螺杆４反向的错列角，使轴向速度出现２次驼峰似速度波谷，极大的回流量有利于物料充分混合。监测线Ｂ与监测线Ｃ处的回流速度较小，回流作用较弱，同时可以看出组合螺杆轴向速度状况较为复杂。从３条监测线的轴向速度可以看出，速度的波峰与波谷均发生在几何中心监测线Ａ上，说明组合螺杆中心区速度波动范围较大，螺杆元件的不同排列组合对中心区的混合状况改变作用明显。
结语
(1)用共形映射将双螺杆挤出机流体流动区域的截面变为圆界区域，可使求解区域不受转动的影响，将双螺杆挤出机流体流动区域进一步变换成截面为圆界区域的柱体区域，可以为双螺杆挤出机这种复杂流体运动的求解提供一种精确高效的方法。(2)利用本文方法对求解区域类似于双螺杆挤出机截面的三连通区域的热传导问题进行数值实验，得到的数值解与精确解误差较小，从而证明了本文方法的可行性和有效性。
参考文献
［1］邱国庆. 李 翱. 毕 超. 等．同向双螺杆挤出机混合型螺杆头均温效果三维非等温数值模拟［J］．塑料，2010.
［2］黄 硕. 黄晋阳．用区域变换计算单螺杆挤出机流动区域上的三维泊松方程数值解法［J］．北京化工大学学报(自然科学版)，2017，44(5):118－122．
论文作者:黎裕良
论文发表刊物:《基层建设》2019年第8期
论文发表时间:2019/6/19
标签：螺杆论文; 挤出机论文; 组合论文; 区域论文; 速度论文; 函数论文; 边界论文; 《基层建设》2019年第8期论文;