高考中的函数内容与研究方法，本文主要内容关键词为：函数论文,方法论文,内容论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数不仅是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础.数学高考要实现考查学生继续学习的潜能，理应把函数作为重要内容进行考查.在高考试题的构成中，有关函数内容的部分，知识面广、综合性强、思维力度大、能力要求高.函数是高考考数学思想、考数学方法、考数学能力、考数学素质的主阵地.本文拟从概念、图像、性质和应用四个部分对高考中的函数内容与研究方法进行分析.
一、函数的概念
1.函数概念的抽象性
（1）函数的定义.函数的定义经历了传统定义和近代定义两个阶段.传统定义来自于物理中的运动，刻画了两个变量之间按照某种固定规则相互依赖、相互制约、不断变化的关系.由于有“运动变化过程”这一语言情境，人们似乎不感到抽象，易于接受；近代定义是由映射定义并用集合描述的，即建立在两个非空数集上的映射叫函数，而映射又是一种特殊的对应，因此该定义抽象性较强，形式化程度较高.然而近代定义所描述的函数从直觉上讲比传统定义所描述的函数范围更广，它不仅能很好地刻画两个变量之间有规律的变化关系，同时也能刻画两变量之间规律性不明显的变化关系，例如，数列1，8，6，-2，9，7作为函数，自变量（项数）与函数值（项）之间的规律不够明显，这样的函数用近代定义描述有其优越性，而用传统定义中的“按照某种对应关系”难以解释清楚.
（2）函数概念表示方式的多样性.函数本身的表示方式较多，根据不同问题情境中变量之间的依赖关系，可分别采用解析式、图像、对应、表格等方法，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来，有时需要同时考虑各种表示方法之间的转换.另外，函数的定义域、值域可用集合表示，也可用区间表示.这种多样性，要求学习者全面掌握，灵活运用.
（3）函数的构成.函数是对应法则、定义域、值域的统一体，研究函数必须用联系的、运动的、变化的观点看待其中的每一个要素.这就要求学习者的思维在静止与运动、离散与连续、具体与抽象之间进行转换，而不能将其割裂和静止.例如，学生常常认为，x“代表”一个单个的数；求函数值就是把数代入“公式”中的字母的运算，这样，函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应.而事实上f（x）表示某一个量x在确定的对应关系f作用下的一个确定的量，在这里，x既具有确定性又具有变化性，f（x）随着x的变化而变化.x的取值全体构成函数的定义域，f（x）对应值的全体构成函数的值域.
2.分段函数
分段函数是函数的一种形态，由于其表达形式比常见函数的表达形式复杂，因而造成理解和掌握上的困难.从本质上看，分段函数就是多个函数并列地表达在一起，这些函数的定义域不同（交集为空集），对应的法则也不同.f（x）的意义就是x被其所在定义域上的对应法则作用的结果.但这是一个整体，是一个函数.2005年（山东卷）文7（理6）：已知
若f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（
）A.1 B.-
C.1，- D.1，，根据分段函数的意义，f（1）=e[1-1]=e[0]=1，所以f（a）=1，对于f（a）=1有两种可能，若令e[a-1]=1，则a-1=0，a=1∈｛x｜x≥0｝；若令sin（πa[2]）=1，πa[2]=2kπ+π/2，a[2]=2k+1/2，k=0时a[2]=1/2，取a=∈｛x｜-1＜x＜0｝，故应选答案C.
3.反函数
反函数是建立在某种特殊函数背景下的函数概念.所谓特殊函数，即函数必须是建立在其定义域到值域上的一一映射，这是函数存在反函数的充要条件.
①概念.教材上反函数的定义是在函数表示形式为解析式的前提下给出的，并指出从原函数y=f（x）中解出x=
（y），如果对y在原函数值域上的每一个值，按照x=（y），x在原函数的定义域上都有唯一的值与之对应，那么由x=（y）确定的函数叫原函数y=f（x）的反函数.当已知函数用对应关系、表格、图像形式给出时，上述定义不易理解.若从映射的角度给出反函数的定义，则更加全面，即若函数对应的映射是从其定义域到值域上的一一映射，则其逆映射对应的函数称为原函数的反函数.这样离散函数
更容易接受.
②性质.从定义不难看出，反函数具有下列性质：（ⅰ）与原函数具有互逆的对应法则；（ⅱ）反函数的定义域、值域与原函数的定义域、值域互换（这一性质决定了求反函数定义域时必须通过原函数的值域确定）；（ⅲ）互为反函数的函数图像关于直线y=x对称.
③反函数的求法.从广义上讲，函数的表达形式有对应、表格、解析式、图像等重要形式.在已知函数具有反函数的前提下，当函数由对应或表格形式给出时，由性质（ⅰ），从函数的值域到函数的定义域上的映射便是函数的反函数；当函数由解析式y=f（x）给出时，求逆对应法则，就是从y=f（x）中解出x，得x=（y），然后确定反函数的定义域[利用性质（ⅱ）]，互换变量即得原函数的反函数为y=（x），x∈C（C为原函数的值域）；当函数由图像给出时，可利用性质（ⅲ），得其反函数.1994年全国第12题，设函数f（x）=1-
（-1≤x≤0），则函数y=f[-1]（x）的图像是（
）
本题可有两种解法，一是按步骤求出已知函数的反函数y=f[-1]（t），然后作出y=f[-1]（x）的图像与答案选项对照确定；二是先画出原函数的图像[以（0，1）为圆心，在第二象限且过原点的四分之一个圆周]，然后利用性质（ⅲ）直接确定反函数的图像，答案选B（如上图）.显然，方法一是通过函数作为桥梁确定反函数的图像，方法二是通过图像作为桥梁确定反函数图像的，方法二更为简捷.
附图
4.复合函数
①概念.复合函数是函数的一种形态.已知函数y=f（t），定义域为A，又有函数t=（x），定义域B，值域为C，若C
A，则称函数y=f[（x）]是由y=f（t）和t=（x）复合而成.我们把y=f（t）称为外层函数，而把t=（x）称为内层函数.在这里，两个函数能复合而成的关键是内层函数的值域必须是外层函数定义域的一个子集.
②性质.研究复合函数的性质时，首先要孤立地看两个函数y=f（t）和t=（x），这样做是为了了解内外层函数的构成.另一方面要将两个函数联系起来看，特别要把握t=（x）的值域与y=f（t）的定义域间的关系，这样做是为了了解函数的复合过程.
复合函数的定义域、值域、最值、奇偶性、周期性等性质，可以在性质本身要求的基础上再联系复合函数的概念即可讨论.这里重点讨论复合函数的单调性，对于复合函数y=f[（x））[由y=f（t）和t=（x）复合而成]，一个基本的结论是，当f（t）与（x）单调性相同时，y=f[（x）]为增函数，当f（t）与（x）单调性相反时，y=f[（x）]为减函数.1995年全国理11题：已知y=log[，a]（2-ax），在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（
）A（0，1） B（1，2） C（0，2） D[2，+∞）.在这里由于a＞0，所以2-ax是关于x的减函数，因此，要使y=log[，a]（2-ax）在[0，1]上是减函数，必须同时满足a＞1且2-a＞0，所以1＜a＜2，故选B.上述两个条件中a＞1是保证y=log[，a]t是一个增函数，2-a＞0是保证对数的真数2-ax在[0，1]上恒为正.又如，求函数y=x[4]-2x[2]+3的单调递增区间.在这里，设t=x[2]，则已知函数由y=t[2]-2t+3与t=x[2]复合而成，由于使二次函数y=t[2]-2t+3单调性发生变化的分界点是t=1，将t=1代入t=x[2]，得x=±1，再联系影响抛物线t=x[2]的单调性的分界点是x=0，这样，将定义域（-∞，+∞）分为四个部分（-∞，-1）、[-1，0）、[0，1）、[1，+∞）分别讨论复合函数的单调性.当x在（-∞，-1）上增大时，x[2]由+∞减小到1，由于t=x[2]，此时在y=t[2]-2t+3中，当t由+∞减小到1时，y递减，故（-∞，-1）应为原函数的递减区间，经过类似方法的判断，原函数的递增区间为[-1，0）和[1，+∞）.
5.抽象函数
顾名思义，抽象函数不是一种具体形态的函数，讨论这类问题时，只能根据题目所提供的关于函数的一般特征，结合问题的需要，抽象出问题的实质或将问题特殊化，从而获得问题解决的思路.2002北京文12题：如图所示，f[，1]（x）、f[，2]（x）、f[，3]（x）、f[，4]（x）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的x[，1]和x[，2]，f（（x[，1]+x[，2]）/2）≤1/2[f（x[，1]）+f（x[，2]）]恒成立”的只有（
）
附图
A.f[，1]（x），f[，3]（x）
B.f[，2]（x）
C.f[，2]（x），f[，3]（x）
D.f[，4]（x）
题中待定的函数f（x）是抽象的，将不等式f（（x[，1]+x[，2]）/2）≤1/2[f（x[，1]）+f（x[，2]）]进行抽象发现，f（（x[，1]+x[，2]）/2）表示自变量x[，1]、x[，2]的中点（x[，1]+x[，2]）/2处的函数值，1/2[f（x[，1]）+f（x[，2]）]表示x[，1]、x[，2]处的函数值的平均值，不等式成立即意味着x[，1]、x[，2]中点处的函数值应不超过x[，1]、x[，2]处的函数值的平均值，这样函数应是非上凸的，故选择答案A.在这里关键是抓住抽象函f（x）的特征，抽象出函数的实质——凸向.又如2002年北京文22题：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）.①求f（0）、f（1）的值；②判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；③略.由于f（a·b）=af（b）+bf（a）中的a、b任意，根据需要，令a=b=0，得f（0）=0.f（0）+0·f（0）=0，再令a=b=1，得f（1）=（1）+f（1）=2f（1），所以f（1）=0，判断f（x）的奇偶性时，根据需要可令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），为了求得f（-1），可令a=b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1），即f（1）=-2f（-1），2f（-1）=0，所以f（-1）=0，所以f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数.这里解决问题的关键是根据所提供的抽象函数的特征，结合需要，将抽象函数的性质特殊化（a、b取特殊值）.
二、函数的图像及图像变换
函数图像是函数的一种表示方法，是变量关系直观的、形象的、动态的反映.借助于图像可以直观地获得函数的性质，如定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等.借助于函数图像也可以对某些数量关系作出判断.数形结合，以形助数是求解许多数量关系问题的重要思想和途径.
1.作图与变图
求作函数图像，基本的方法和程序是列表、描点、连线，整个过程中，应当从给出的函数入手，充分关注图像的对称性、关键点、特殊点及变化趋势，它们对图像的准确性起重要作用.要熟练掌握常见函数图像的作法，并准确把握图像的特征，如一次函数、二次函数、反比例型函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像.对于形如y=ax+b/cx+d（ad≠bc）的函数，是学生感到陌生然而用途较为广泛的一种函数形态，许多问题可以转化为这种函数并利用其图像求解，通过将反比例型函数变形后可得双曲线的渐近线分别为x=-d/c和y=a/c；于是画图可分为两步：第一，画出两条渐近线x=-d/c，y=a/c；第二，用特殊点确定图像的分布.例如，求函数y=2cosx+1/2cox-1（cosx≠1/2）的值域.今令cosx=t，则t∈[-1，1/2）∪（1/2，1]，函数变为y=2t+1/2t-1，为了画出其图像，首先画出渐近线t=1/2和y=1（如图），其次确定图像的分布，令t=0，则y=-1，故图像分布在两条渐近线将平面分成四个部分的左下方和右上方，注意到t的取值范围，可得函数的值域为（-∞，1/3]∪[3，+∞）.作图也可借助函数的性质完成，1998年全国（2），函数y=a[｜x｜]（a＞1）的图像是（
）
附图
附图
本题可由y=a[x]（a＞1）的图像并借助函数y=a[｜x｜]的奇偶性得到，答案为B.
图像变换就是将一个基本函数的图像通过平移、旋转、对称等手段，逐步变为所需要的函数的图像的过程.对于同一个问题来说，利用变换要比按常规方法更迅速、更准确地作出图像.1995年全国文（2）给出函数y=1/x+1，2002年全国理10给出函数y=1-（1/x-1），让考生选择正确图像的答案，2005年（山东卷）文3理2给出函数y=1-x/x（x≠0）让考生选择其反函数的图像.所有这些问题都可以从反比例函数y=±（1/x）的图像变换得到.y=1/x+1的图像可由y=1/x的图像左移一个单位获得；y=1-（1/x-1）的图像可由y=-1/x的图像先右移一个单位，再上移一个单位获得；对于函数y=1-x/x，其反函数为y=1/x+1，图像同前得到.1994年全国12，函数f（x）=1-（-1≤x≤0）的反函数y=f[-1]（x）的图像可由原函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称获得，等等.图像变换是数学的一项基本技能，在三角函数中图像变换的内容更加丰富，是三角变换的一个重要组成部分.
2.视图与用图
视图与用图，就是对所给的图像充分观察，把握图像的基本特征，提取反映图像的对称性，关键点、特殊点及变化趋势等特征的重要信息，并将其迁移到问题解决的过程中.如前述2002年全国理10，函数y=1-（1/x-1）的图像是（
）
附图
从解析式看，垂直于x轴的渐近线应为x=1，故排除C、D，其次考查特殊点（图像与y轴交点），令x=0，得y=2，图像应过点（0，2）故选B.又如2000春季北京、安徽14，已知函数f（x）=ax[3]+bx[2]+cx+d的图像（如图）则（A）b∈（-∞，0）（B）b∈（0，1）（C）b∈（1，2）（D）b∈（2，+∞）.由于图像过原点，故d=0，所f（x）=ax[3]+bx[2]+cx，又1，2为方程ax[3]+bx[2]+cx=0的根，所以a+b=c=0，8a+4b+2c=0，所以a=-1/3b，c=-2/3b，所以f（x）=-1/3bx[3]+bx[2]-2/3bx，至此，图像过（0，0）、（1，0）、（2，0）三个信息已用完，但过上述三点的图像不能确定（可以将目前图像沿x轴对称），基于此，可以抓住以上互为对称的两种位置图像的区别点进一步提取其他信息，如f（1/2）＞0，所以-1/3b·1/8+1/4b-1/3b＞0，从而b＜0，故答案应选A.
附图
三、函数的性质
1.定义域
定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.当明确要求求函数定义域时，学生不会有太大的问题.当定义域隐藏在分析问题的思维过程之中的时候，学生就有可能缺乏定义域的意识.前面谈到的1995年全国理11题，若将问题改为填空题，即“已知y=log[，a]（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是____”，学生在解答此问题时，有可能形成以下思路：因为底数a＞0，所以对数真数2-ax关于x是减函数，要使整个函数为减函数，只要保证y=log[，a]t是增函数即可，故应有a＞1.在这里已忽视了对数函数的定义域.事实上，不仅要满足a＞1，还要保证2-ax在[0，1]上恒大于0，只要x=1时2-ax＞0即可，此时a＜2，故d的取值范围应是1＜a＜2.在常见的函数中，对数函数和部分幂函数的定义域容易被忽略，应加强注意.
2.值域（最值）
值域就是函数值构成的集合.作为求值域的方法，常用的可总结为
（1）图像法.如果给出的函数图像易画出，可通过观察图像确定值域或最值，如前述求函数y=2csox+1/2cosx-1（cosx≠1/2）的值域.常见函数，特别是三角函数的值域问题，图像法效果非常明显.
（2）单调性法.图像法只所以奏效，是因为从图像上很容易把握函数的变化情况（尤其是单调性的变化），当函数图像不易作出时，作为一种理想状态，若能判断其单调性，则也可以非常简捷地求出值域（或最值），如求函数y=1/3x[3]+1/2x[2]+x+1在[-1，1]上的值域，由于y′=x[2]+x+1＞0，所以函数在给定的定义域上单调递增，故y∈[1/6，17/6].
（3）不等式法.有些问题用均值不等式法求值域（特别是求最值）迅速而准确.1999年全国17题：若正数a、b满足ab=a+b+3求ab的取值范围.由均值不等式可得ab=a+b+3≥2
+3，整理为ab-2-3≥0，解得ab≥9，或由ab=a+b+3，得b=a+3/a-1.由于a＞0，b＞0，所以推出a＞1，所以ab=
5=9，当且仅当a=3时等号成立，故ab∈[9，+∞）.
3.单调性
（1）定义.作为定义要突出把握以下两点：（ⅰ）函数单调性是针对定义域上某一个区间的单调性，区间不同，单调性也可能不同，因此要明确所讨论的区间.（ⅱ）定义中x[，1]、x[，2]必须具有任意性，否则便无法说明函数具有单调性.
（2）判定.关于函数单调性的判定，应充分发挥函数图像的功能.一方面，可以直接从图像上观察函数的单调性，另一方面可以结合函数的性质判断单调性，如已知函数f（x）是奇（偶）函数，且在（0，+∞）上是增函数，利用函数奇偶性可得f（x）在（-∞，0）上也是增（减）函数.
（3）证明.函数单调性的证明，必须依靠理性思维，常用方法有两种：一是用单调性定义，即对于给定区间上的任意两个自变量x[，1]、x[，2]，设x[，1]＜x[，2]，那么当f（x[，1]）＜f（x[，2]）时，f（x）是增函数；当f（x[，1]）＞f（x[，2]）时，f（x）为减函数.二是用导数的方法，即在某个区间上，当f′（x）＞0时，f（x）是这个区间上的增函数，当f′（x）＜0时，f（x）是这个区间的减函数.
需要指出的是，要判断或说明一个函数在某一个区间上不是增函数（或减函数），只要存在两个自变量的值x[，1]、x[，2]，使得当x[，1]＜x[，2]时，有f（x[，1]）≥f（x[，2]）或f（x[，1]）≤f（x[，2]）即可，而不必要对任意的x[，1]、x[，2]，上述不等式总成立（有时也是不可能的）.
（4）应用见四.
4.奇偶性
①定义.定义中需注意两点：一是要讨论的函数的定义域必须关于原点对称，只有这样才能使f（x）和f（-x）同时有意义，这是函数具备奇偶性的必要条件；二是等式f（-x）=±f（x）中的x必须具有任意性.
（2）证明方法.在肯定定义域关于原点对称的基础上，判定方法常用的有两种：一种是看f（-x）是否等于±f（x）；另一种方法是看f（-x）±f（x）=0是否成立，后一种方法往往使用于f（x）解析式比较复杂时.
（3）图像特征.奇函数图像关于原点O（0，0）成中心对称，偶函数图像关于y轴成轴对称.
（4）应用见四.
5.周期性
（1）定义.定义中需注意两点：一是常数T非零；二是f（x+T）=f（x）的x是定义域内的任意值.
（2）最小正周期.若函数f（x）是周期函数，周期为T，则2T、3T、4T…均为函数的周期.周期中的最小正数叫最小正周期，求函数的周期，一般指最小正周期.
需要注意的是，周期函数不一定存在最小正周期.如函数y=sinx，x∈（-∞，0），-2π，-4π，-6π，…，均为函数的周期，但无正周期.又如常函f（x）=1是周期函数，任何非零实数部是它的周期，但无最小正周期.
（3）周期性的讨论.
定义域为实数R.
A.若函数存在两条不重合的对称轴，则函数为周期函数，如当f（x）的两条对称轴分别为x=a和x=b（a≠b）时，一方面由对称轴x=a得，对任意的x有f（x）=f（2a-x），同理对任意的x有f（x）=f（2b-x），所以f（x）=f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x），所以2b-2a是函数的一个周期.
B.若函数在x轴上存在两个对称中心，则函数为周期函数.设f（x）的对称中心为M（a，0），N（b，0）（a≠b），则由对称中心（a，0）得f（x）=-（2a-x），由对称中心为（b，0）得f（x）=-f（2b-x），所以f（x）=-f（2a-x）=-[-f（2b-2a+x）]=f（2b-2a+x），所以2b-2a是函数的一个周期.
C.若函数存在一个x轴上的对称中心和一条对称轴，则其为周期函数.设f（x）的对称中心为M（a，0），对称轴为x=b（a≠b），由对称轴x=b得f（x）=f（2b-x），又由对称中心（a，0）得f（x）=-f（2a-x），所以f（x）=f（2b-x）=-f[2a-2b+x]=-[-f（2a-2b+2a-2b+x）]=f（4a-4b+x），所以4a-4b为函数的一个周期.
另外，a≠0时，若函数f（x）满足f（x+a）=-f（x），则f（x）为周期函数.例如1996全国15题：“设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（7.5）”.由f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以函数的一个周期为4，从而f（7.5）=f（7.5-8）=f（-0.5），义函数f（x）为奇函数，所以f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.
四、函数的应用
1.函数概念的应用
函数概念渗透在许多数学问题当中，但要正确使用函数概念，必须准确把握概念的形成过程，例如问题“当x取何值时，x[2]+2ax-3＞0对任意的a∈[-1，1]都成立？”对于多项式x[2]+2ax-3，习惯上认为它是关于x的函数（二次函数），但在问题中，要求不等式对任意变化的a恒成立，也就是说，在这里a是一个任意变化的量，x是一个参变量，即当x确定后，x[2]+2ax-3随a的变化而变化，所求x的范围应使x[2]+2ax-3在a∈[-1，1]上任意变化时，其值都大于零，故将x[2]+2ax-3视为关于a的函数，记f（a）=2ax+x[2]-3.当x=0时，不等式不成立；当x≠0时，f（a）是关于a的一次函数，要使f（a）＞0恒成立，只要
即可，解得x＜-3或x＞3.再如1994年全国20题：求n个观测值a[，1]，a[，2]，……a[，n]的“最佳近似值”，根据问题中的定义，“最佳近似值”a是这样一个量：它与各数据的差的平方和最小.因此，在a还没有确定时，它是过程中的一个变量，即当a在变化时，它与各数据差的平方和也在变化，现在需找到一个确定的a值，使它与各数据差的平方和最小，于是可构造以a为自变量，以差的平方和为因变量的函数模型y=（a-a[，1]）[2]+（a-a[，2]）[2]+…+（a-a[，n]）[2]，将函数变形为y=na[2]-2（a[，1]+a[，2]+…+a[，n]）a+a[，1][2]+a[，2][2]+…+a[，n][2]，由二次函数性质可知，当a=-2（a[，1]+a[，2]+…+a[，n]）]/2n=a[，1]+a[，2]+…+a[，n]/n时y取最小值，于是“最佳近似值”a为n个观测值的平均值.
2.函数图像的应用
函数图像是函数的一种直观的、形象的表示方法，从图像上可以获取函数性质的感性认识，然后把这种感性认识上升到理性论证，从而得到函数确定的性质.不仅如此，有些数量关系问题，一旦通过图像去分析，则不仅能迅速找到解决问题的方法，还能使过程更简捷.正因为如此，人们将这种数与形相互联系、相互转化的思维方式总结为一种数学思想——数形结合思想.如2003年北京6题：“若Z∈C，且｜Z+2-2i｜=1，则｜Z-2-2i｜的最小值是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5”.由复数方程的意义知｜Z+2-2i｜=1表示圆心在（-2，2），半径为1的圆，而｜Z-2-2i｜表示圆上的点到点（2，2）的距离.
附图
如图，该距离的最小值是3.又如，若方程lg（2-x[2]）/lg（x-a）=2有实数解，求实数a的取值范围.原方程可变形为
=x-a，作函数y=（y＞0）的图像，如图所示，而函数y=x-a（y＞0）的图像是表示斜率k=1的无数条射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的始点的横坐标，要使lg=lg（x-a）有解，从图中可以看出，必须使y=与y=x-a（y＞0）的图像有公共点a由此得-2≤a＜
.而要使方程有意义，其中x-a不能等于1.令x=l+a，代入方程2-x[2]=（x-a）[2]，解得a=0或a=-2，故符合题意的a的取值范围是（-2，0）∪（0，）.
附图
本题若用代数方法解，则讨论十分繁琐，而将方程的解转化为函数图像的公共点，利用数形结合的方法可简化讨论，避免繁冗的代数运算.
3.函数性质的应用
函数定义域、值域、周期性的应用已在上文函数性质中讨论过，这里只对单调性和奇偶性的应用进行讨论.
（1）单调性的应用.单调性广泛地应用在单调性自身问题的讨论，比较代数式的大小，不等式的证明，求函数的值域（或最值）等问题中.上海市试题从1994年到1997年连续考查幂、指、对函数单调性的应用.如1995年上海7题：“当0＜a＜b＜1时，下列不等式中正确的是（ ）A.（1-a）[1/b]＞（1-a）[b] B.（1+a）[a]＞（1+b）[b] C.（1-a）[b]＞（1-a）[b/2] D.（1-a）[a]＞（1-a）[b]”对于A，因为0＜1-a＜1，所以y=（1-a）[x]是减函数，又1/b＞b，所以应有（1-a）[1/b]＜（1-a）[b]，A错误；对于B，类似于上面的推理，应有（1+a）[a]＜（1+a）[b]，由于b＞0，根据幂函数的性质应有（1+a）[b]＜（1+b）[b]，故有（1+a）[a]＜（1+b）[b]；对于C，因为0＜1-a＜1且b＞b/2，故应有（1-a）[b]＜（1-a）[b/2]，排除A、B、C从而选择D.又如“已知a、b、m∈R[+]，并且a＜b，求证：a+m/b+m＞a/b”，本题应用作差方法证明不等式完全可以.考虑到不等式两端分式的结构，可引进函数f（x）=a+x/b+x，能够证明函数在[0，+∞]上是增函数，从而f（m）＞f（0）即a+m/b+m＞a/b.再如：2000年全国文20（理19）第（2）小题：“设函数f（x）=
-ax，其中a＞0，求a的取值范围，使函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数”.用单调性定义的方法从略，这里用导数的方法：f′（x）=（1/2）（1/）2x-a=x/-a，由于x≥0，所以0≤x/＜1，从而当a≥1时，f′（x）＜0，此时函数在[0，+∞）为减函数；当0＜a＜1时，令-ax=1，解得x=2a/1-a[2]，此时有f（0）=f（2a/1-a[2]）=1，所以函数在[0，+∞）上无单调性，故a≥1时函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数.
（2）奇偶性的应用.函数的奇偶性对于解决奇偶性本身的问题和利用奇偶性综合解决函数的有关问题都有重要作用.例如，2003年北京春18题：“已知函数f（x）=6cos[4]x-5cos[2]x+1/cos2x，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域”.由cos2x≠0得2x≠kπ+π/2，x≠kπ/2+π/4，k∈Z，所以f（x）的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ/2+π/4，k∈Z｝，因为定义域关于原点对称，且
附图
为奇函数.本题若保留f（x）原有的解析式形式对f（-x）进行变形，则不易获得f（-x）=-f（x）.再如，2000年全国5题，函数y=-xcosx的部分图像是（
）
附图
分析本题时首先对答案中的四个图像进行观察，通过比较，A，C关于y轴对称，B，D关于原点对称，这样便可以联想函数的奇偶性.由解析式知，函数为奇函数，所以答案在B，D中选，再比较B，D的不同点发现，在原点向右较小的范围内，B的图像上升，而D的图像下降，于是x可取一个很小的正数，此时由解析式可得y＜0，从而答案选D.
函数部分概念深刻，内容丰富，方法灵活，只有抓住概念的本质，熟悉函数的图像，牢固掌握函数的性质，才能灵活地处理函数本身及其与之相关的综合性的问题.