促进初中数学概念理解的策略研究，本文主要内容关键词为：初中数学论文,概念论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学概念是人脑对现实对象的空间形式和数量关系的一种反映形式，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的重要依据，更是运用数学思维交流的工具.然而，许多学生面对一些简单的概念题时仍会出现错误.那么，是什么原因造成了学生在学习中出现对概念陌生，错误理解概念，对概念一知半解等情况呢？究其原因，是当前数学概念教学仍然存在着轻概念学习的过程，重立竿见影的解题训练的现象.可是，知识和概念是不能直接给予学生的，根本原因在于每个人的知识都必须有一个形成和发展的过程.概念的掌握是一种特殊的认知活动，需要经历复杂的心理过程.教师必须遵循学生掌握概念的心理过程和认知结构的发展规律，充分发挥表象的中介作用，让学生利用表象做渡船，从感知的此岸顺利到达抽象思维的彼岸. 概念教学要让学生达成以下几点目标：第一，明确概念的本质属性；第二，明确这个概念和相关概念的关系；第三，能正确运用概念.下面笔者以浙教版数学教材八年级下册第六章第一节“反比例函数”为例，谈谈在数学课堂中促进数学概念理解的几点策略. 一、感知事例，侧显概念的直观化表征 感知是指个体通过一步一步的外显性指令去观察一个个客观的数学对象的变化过程，即让学生回到事例面前，通过观察、实验、尝试等活动，将抽象的知识物化，并内化为头脑中的知识，获得感性认识，为概念的形成积累丰富的感性经验.因此，在数学概念的教学中，要提供给学生一些隐含概念本质特性的事实材料，给学生充分的感知机会，从而侧显概念的直观化表征. 环节1：反比例函数概念学习感知活动设计. 观察1：如图1，观察蜡烛燃烧的过程，一支蜡烛长15厘米，点燃后每小时燃烧x厘米，燃烧时间为y小时.试问y是x的函数吗？求y关于x的函数解析式？ 提问y是否为x的函数的目的是让学生回忆先前所学的知识，即函数的定义.
观察2：如图2，一辆汽车前灯电流越大，灯就越亮.若电池电压U（12伏）不变，试问电阻R与电流I是函数关系吗？求R关于I的函数解析式？ 观察3：如图3，长方形ABCD的面积为20平方厘米，试问长方形的宽y厘米与长x厘米是函数关系吗？求y关于x的函数解析式.
此过程在几何画板软件中完成，拖动点D，并追踪点D的轨迹，让学生初步感受反比例函数的图象，建议教师点到为止. 上述感知活动中举了三个例子，一个是几何方面的，两个是代数方面的，三个例子都是学生非常熟悉的问题.从感知活动中例子的数量上、经验的紧密性上都让学生产生充分的直观体验和感觉经验，使得反比例函数这一概念的表征不断地显露出来，从而被学生的心智所捕获，有利于学生概念的形成.这一过程在概念的形成中是非常重要的，切不可操之过急，否则感知就成为一种走过场，流于形式，从而什么也得不到.为此，教师在此环节中可以跟进以下三种策略. 1.引导学生观察事例 教师用简明的语言指导学生观察，告诉学生注意观察什么，并且启发学生把眼前看到的事物和已有的知识经验联系起来.例如，在教学中让学生注意三个事例中的两个变量在变化过程中的联系，以及与不变量之间的意义联系. 2.指导学生计算（列式）体验 反比例函数的产生很难用物质化的形式表达出来，但可以通过组织学生列函数解析式，使学生从中获得函数解析式表达方式的体验.如，在教学中可引导学生针对“路程、速度和时间”“电压、电阻和电流”“面积、长和宽”三种量之间的关系的理解，并通过计算（列式）写出三个解析式，这种体验也是十分重要的. 3.分享学生直观化感受 借助事例的直观背景，对抽象概念进行直观化表征，让学生经历生动的直观到抽象的思维，可提高概念教学的有效性.例如，在教学观察3时，通过几何画板软件的演示，直观地展示了在面积一定的情况下，长方形的长和宽的改变使长方形的形状也随之改变，并直观地发现点D的运动轨迹，让学生初步感受到反比例函数的图象，为今后图象的学习做好铺垫.同时，教学中及时提供数与形两种形式的刺激，使学生通过接触事物的各种外在形式，用联系、变化的观点去感知事物. 二、抽象概括，明晰概念的本质属性 通过一定量的直观感知经验的积累，从而形成了具体引例的共同性印象.但这些印象是粗略的、肤浅的，因此在上述环节结束后，不要匆忙进行概括，要经过抽象的过程，即分析和比较，使表象由模糊到清晰，由分散到集中，从而抽象出共同的本质属性，形成完整、准确的概念. 环节2：反比例函数概念学习“抽象概括”活动设计. 问题1：思考三个引例中两个变量与常量的意义联系，并总结三者之间的共性. 问题2：观察上述“三个解析式”，从形式上看三者有什么共同特征？ 题后反思： ①从本质上：________； ②从形式上：形如________的函数叫做反比例函数，常数k叫做比例系数. 此环节通过两个问题，从形式和本质两个方面去归纳特点.反比例函数的概念是一个形式概念，从三个解析式中归纳出常量即是比例系数.本质上应从两个变量和常量之间的意义联系中发现，两个变量的积不变（k≠0），即为反比例函数的本质.如果在这一环节上缺少充分的思考，那么所形成的概念或者只停留在感觉经验的层面上，或者只是一些纯粹抽象的符号或术语.为了避免这种现象，教师在此环节中可以跟进以下三种策略. 1.理顺学生认知次序 用教材教并不是教教材，教材的编排只是从形式上加以归纳，得出反比例函数的形式概念.但根据对三个引例的观察，三个变化过程中的“速度与时间乘积一定”“电阻与电流乘积一定”“长与宽乘积一定”的认识应先于形式呈现在学生的认知中.因此，教学中可以进行适当的补充，明晰概念的本质属性. 2.启发学生比较概括 针对三个引例和三个解析式，教师出示思考题，让学生自主观察、合作交流，通过生生互动与教师的启发引导，比较概括相同点和不同点，教师通过点拨、引导，必须适时地明确关键字、词、句及限制条件.概念学习的实质是掌握同类事物共同的关键特征.这样通过比较概括，让学生了解概念的本质属性. 3.引导学生术语表达 众所周知，语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节.数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言的表达能力直接影响逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成.教学中，由于前面已有了充分的感知和抽象，故可试着让学生自己概括出反比例函数的概念，教师在此基础上进行修正、提升，同时还需从概念精密性的角度让学生解释自变量x的取值范围和比例系数k的意义，更需指导学生牢记、理解这些限制条件，不得遗漏. 三、固化运用，促进概念的深层理解 归纳出概念的定义后停下来对其进行审视，并从正、反两个方面进行剖析、辨析，从而固化概念.学生得到了概念的定义并不意味着概念就形成了，这只是概念形成的开端.此时需要对概念做进一步的挖掘与分析，把握相关的区别和联系，并通过各种不同角度的审视，以达到内化概念、认识概念，从而固化概念的目的.教学中还应在固化概念后，进行概念的运用，即通过运用概念去分析、解决具体的实际问题，以加深对概念的理解，进而达到活化概念的目的，使之成为解决实际问题的工具或经验. 环节3：反比例函数概念学习“固化运用”活动设计. 1.对比学习，析一析 （1）从形式上比较正比例函数和反比例函数，并填入表1中.
（2）从本质上比较正比例函数和反比例函数. 若两个变量的商不变，即
=k（k≠0），则该函数是________函数；若两个变量的积不变，即xy=k（k≠0），则该函数是________函数. 2.利用概念，辨一辨 （1）下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
题后反思： 反比例函数解析式的三种形式（其中k≠0）： （1）________， （2）________， （3）________. 3.利用概念，试一试 （1）已知y关于x的函数
（m是常数），当m________时，它是反比例函数. （2）若函数
为反比例函数，则m的值是________. 题后反思： 考虑因素要全面，即比例系数k≠0，自变量x≠0，次数为负一次. 4.利用概念，说一说 （1）下面各小题中的两个变量是否成反比例，为什么？ ①汽车沿一条公路从A地驶往B地所需时间t与平均速度v； ②圆的周长C与圆的半径r； ③乘积是10的两个乘数m与n； ④某人的身高与年龄. （2）说出一个可以用
表示的生活实例. 5.实际运用，悟一悟 例 如图4，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为yN，动力臂长为xcm（图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时：阻力×阻力臂=动力×动力臂）.
（1）求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数和自变量x的取值范围； （2）求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义； （3）求当x=100时，函数y的值.当x=200呢？x=500呢？ 将它们填入表2.
上述五个方面从不同角度和层次去审视反比例函数的概念，目的就是让学生停留在事实本身，从而发现概念的内在丰富性.然而，一些教师在教学中刚得到概念就急急忙忙进入到题海训练之中，从而割断了学生探究和感受概念的道路.为此，教师在此环节中可以实施以下四种策略. （1）利用对比，明晰概念的特定内涵. 有比较才有鉴别，对同类概念进行对比，可概括其共同属性；对具有种属关系的概念做类比，可突出被定义概念的特有属性；对容易混淆的概念做对比，可澄清模糊认识，减少直观错误理解.例如，在上述教学设计“对比学习，析一析”中，通过从形式上和本质上加以对比，在概念的形式上和比例系数有共同之处，但在本质上和自变量的取值范围却又不同.通过分析异同点来显示这些概念之间的并列关系和种属关系，充分揭示知识发展的脉络，使学生掌握完整的概念系统，才能理解深刻、记忆牢固. （2）利用正、反例，深化概念理解. 概念的正例是深化概念认识时必需而有效的教学手段.反例的运用不但可以使学生的概念理解更准确，而且可以排除无关特征的干扰.因此，在揭示概念定义后，为进一步突出概念的本质特征，防止概念误解，可利用概念的正例或反例.例如，在上述教学设计“利用概念，辨一辨”中，利用反比例函数的概念进行形式上的辨别，可辨别①②③，但对于④⑤⑥则需以是否能通过变形、转化为反比例函数概念的一般形式来判断.通过题后反思，总结反比例函数解析式的三种形式（其中k≠0）.值得注意的是，反例应在学生对概念有一定理解后才使用，否则，如果在学生刚接触概念时用反例，将有可能使错误概念先入为主，干扰学生对概念的理解. （3）运用变式，完善概念理解. 变式是变更对象的非本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征.简而言之，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化.通过变式，可以使学生更好地掌握概念的本质和规律.例如，在上述教学设计“利用概念，试一试”中，第（1）小题考查的是反比例函数的比例系数的特征（k≠0），问题难度不大.第（2）小题是第（1）小题的一个水平变式题目，主要为了突破隐蔽的本质要素，即比例系数k≠0，次数为负一次.通过变式训练，再让学生总结反思本组题的易错点.概念教学中要针对学生解题中经常出现的易错点给予点拨和强调，以达到完善概念理解的目的.值得指出的是，概念变式的运用应服务于概念理解，并要掌握好时机，只有在概念理解的深化阶段运用才能收到理想的效果.否则，学生不仅不能理解变式的目的，变式的复杂性反而会干扰学生对概念的理解，甚至产生混乱. （4）实际运用，感悟概念. 概念的应用是掌握概念过程中一个不可缺少的阶段，通过应用可以加深理解，增强记忆.而这里的应用不同于前面固化中的运用概念去辨析真伪，而是应用概念解释实际问题.例如，在上述教学设计“利用概念，说一说”中，学生从感悟概念的实际意义的角度来感悟概念的同时，也感受到反比例函数是一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，体验“数学来源于生活，服务于生活”的理念.例如，在“实际运用，悟一悟”中，笔者对书本上的例题进行了适当的处理，第（3）小题通过设计表格来直观刻画两个变量之间的关系，让学生初步感受反比例函数的一些性质，如“y随着x的变化而变化”“动力臂扩大到原来的n倍，所需动力将缩小到原来的n分之一”，并以此使学生感悟到反比例函数的知识对生活的解释，即在我们使用撬棍时，动力臂越长就越省力.因此，在实际应用中，不仅是利用概念进行判断和利用概念的性质解决问题，而且要落脚到情感、态度与价值观的教学目标. 四、思践并行，形成概念的逻辑框架 反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化.可见反思是学习数学最本质、最重要的内容，是数学理论或解题方法的精华，是培养数学思维能力的核心.通过反思，可以使学生对数学概念的心理表征由模糊变清晰、由矛盾变统一、由分散变条理、由机械变灵活.因此，在数学概念教学中，由学生反思进行概念建构是必不可少的一个环节. 环节4：反比例函数概念学习“思践并行”活动设计. 1.课堂小结通过以下四个具体问题加以展示. （1）反比例函数有哪三种解析式？易错点是什么？ （2）反比例函数与正比例函数有什么联系与区别？ （3）反比例函数实际运用中要注意什么？ （4）对于反比例函数，你还想知道什么？ 2.通过学生的反思总结，回顾本节课学习的内容，形成知识云图，如图5所示.
以问题串小结的方式，指向明确化、内容具体化；以知识云图的方式，展示直观、明了.这不是叙述性的反思，而是评价性的反思.只有进行这样的小结才能使学生的思维得到充分的活动，才能对数学概念有一个整体的把握，才能使学生对概念的特例、抽象过程、定义、符号等在头脑中形成一种具有丰富性的认知结构，这也是促进数学概念理解的策略之一. 学生理解和应用数学概念的过程就是培养“数学的思维”能力的关键一环.因此，教师在概念教学中要结合教学内容及学生的实际情况采取合理的教学策略，努力使数学概念的教学收到良好的效果，从而使学生对数学概念理解透彻、掌握牢固、运用灵活.
标签：数学论文; 反比例函数论文; 初中数学论文; 观察学习论文; 本质与现象论文; 直观教学论文; 教学过程论文;
