三角函数模型的实际应用，本文主要内容关键词为：实际应用论文,函数论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.下面通过几个具体实例，说明三角函数模型的实际应用.
一、直接给出三角函数模型的应用题
例1 某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：
（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由.
又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大.
综上可知，在6月份盈利最大.
点评 本题是经济学中的销售利润问题，是两正弦曲线的叠加，紧扣已知条件分别确定出厂价格函数和销售价格函数是解题的关键.
例2 在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数
来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份；A和m是正整数；ω＞0.
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数不少于400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.
因为n∈[1，12]，n∈N*，所以当k=1时，6≤n≤10，故n=6，7，8，9，10，即一年中的6，7，8，9，10五个月是该地区的旅游“旺季”.
点评 本题从一个实际的应用背景出发考查三角函数的图象与性质，但不同于以往的考查方式，考查学生的文字理解能力与应用意识，考查学生的运算能力与数据处理能力.
例3 如图1所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2
）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP =120°.
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
（2）法1 在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，如图2，设∠PMN=θ，则0°＜θ＜60°.
由正弦定理，得
即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长.
法2 在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
当且仅当MN=NP时，折线段赛道MNP最长.
点评 本题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.
例4 在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图3的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx＋φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F
现在老张决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得
（1）请你帮老张算出a，b，φ的值，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其他费用，这次操作他能赚多少元？
解析 （1）因为C，D关于直线l对称，所以C点坐标为（2×34-44，16），即（24，16）.
把点A，B，C的坐标代入解析式，得
所以当x=92时，股价见顶.
（2）由（1）可知，
=6+19=25，故这次操作老张能赚5000×（25-16）=45000元.
点评 本题以股票曲线图为模型，考查y=asin（ωx+φ）+b的解析式及性质.第（1）问观察解析式，要求三变量a，φ，b，故根据对称性由点D的坐标得点C的坐标，再代入A，B，C的坐标，通过消元、三角变换与给值求角等变形得解；第（2）问实际上是求点F的纵坐标，就是求函数的最值，利用
在对称轴处取最值，求出
二、拟合选取三角函数模型的应用题
例5 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
（1）试在下页图4中描出所给点；
（2）观察图，从y=at+b，y=Asin（ωt+φ）+b，y=Acos（ωt+φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定在一天内的上午7时至晚上19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
解析 （1）描出所给点如图5所示：
（2）由（1）知选择y=Asin（ωt+φ）+b较合适.
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24.
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.
点评 本题利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
例6 某港口在某季节每天的水深y（m）与时间t（h）（0≤t≤24）的观测数据及其关系如下表：
（1）选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y（m）与时间t（h）的函数关系；
（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？（忽略进港和离港所用的时间）
解析 （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图6）.
根据散点图，可选用函数y=Asin（ωt+φ）+b来拟合水深与时间之间的对应关系.
从数据和图象可以得出：A=3，b=10，T=12，φ=0.
（2）由于船的吃水深度为7m，船底离海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m.
即12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）.
注意到t∈[0，24]，所以得到1≤t≤5或13≤t≤17.
所以该船在凌晨1时至5时，或下午13时至17时，能够安全进港.
该船要在一天内在港口停留时间最长，就应凌晨1时进港，下午17时离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时.
点评 通过对给出数据的研究，了解函数图象的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数模型解决实际问题最常见的方法.
三、演绎建立三角函数模型的应用题
例7 游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5m，半径40m.若小明从最低点处登上摩天轮，从他登上摩天轮开始计时，他与地面的距离h将随时间t变化，已知5min后到达最高点.
（1）求出h与t之间的函数关系式；
（2）当小明第1次距离地面20.5m时，用了多少时间？
解析 （1）不妨设摩天轮沿逆时针方向旋转，如图7所示，设经过t min后，小明由P旋转到
，则
.
点评 摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人所在的高度与时间的函数关系，得到一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的函数关系，从而转化为三角函数模型.
例8 一半径为4m的水轮如图8所示，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点
）开始计算时间.
（1）将点P距离水面的高度y（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多少时间？
故点P第一次到达最高点需要4s.
点评 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题.