小学几何概念图形表象教学中存在的问题与对策研究，本文主要内容关键词为：表象论文,几何论文,图形论文,概念论文,对策研究论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，[1]是形象思维的基础。图形表象是几何概念在人脑中的形象，它一般分为一般图形表象和特殊图形表象，其中，一般图形表象是表征几何概念的重要形式之一。以图形表象教学中存在的问题为研究对象，揭示其教学规律并提出相应的对策，是正确认识几何概念的需要，也是提高几何概念教学质量和效率的需要。
一、小学几何概念图形表象教学中存在的问题
小学生的思维特点，是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡。小学生的思维特点，决定了他们在理解抽象的几何概念、进行抽象的逻辑思维时，需要借助直观的图形表象。同时，图形表象的具体性和直接性，又极易造成学生在几何概念理解上的误区。现将小学几何概念图形表象教学中存在的问题，归纳如下：
问题一：学生容易误解几何概念一般图形表象所反映的本质属性，即概念的意义。一方面，在图形表象的建构过程中考虑到它的代表性，人们习惯采用几何概念的一般图形表象来表征其意义。比如，用“长与宽不相等”的长方形的图形表象即“
”作为一般图形表象来表征长方形的意义，就是一个例证。因此，一般图形表象在反映概念本质属性的同时，也反映了概念的许多非本质属性。一般图形表象的这个特点，很容易造成学生误解几何概念的意义。如，由于学生错把“长与宽不相等”当作长方形的本质属性，导致他们误解了长方形与正方形之间的关系。再如，根据平行四边形的一般图形表象即“
”，学生常错把“四个角不是直角”当作平行四边形的本质属性，导致了他们误认为“平行四边形一定不是轴对称图形”，他们忽视了长方形是特殊的平行四边形，且它是轴对称图形。另一方面，一般图形表象作为表征几何概念的一种形式，需要学生无论在何时何地都应该准确把握它所表征的意义。通过对几何概念教学实践的考察，发现学生在几何概念学习的起始阶段，是能准确理解、记忆一般图形表象所表征的几何概念的本质属性的，但是经过一段较长时间后，有很多学生会将一般图形表象所表征的概念的非本质属性，当作了几何概念的本质属性。学生长时记忆一般图形表象所表征的几何概念的意义，出现了问题。
问题二：教师对图形表象表征几何概念的特点认识不准确。一般来说，数学概念是用下定义的方式来表征的，概念名称与定义之间存在着等价关系。图形表象是表征几何概念的另外一种形式，它与下定义的方式表征几何概念的意义有着很大的区别。几何概念的图形表象包括一般图形表象和特殊图形表象，图形表象表征的属性与概念的本质属性之间并不一定存在等价关系。图形表象这种表征几何概念的特点，让许多教师对图形表象的认识产生了误解。
例如，2007年的一节全国数学观摩课即“平行四边形和梯形”，教学进入课堂练习环节后，两组学生围绕“图形‘’是否为平行四边形”产生了辩论。第一组同学依据“平行四边形的四个角不是直角，而图形‘’的四个角都是直角”，作出判断“‘’不是平行四边形”；另一组同学依据“长方形是特殊的平行四边形”与“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，推出结论“‘’图形是平行四边形”。不难看出那位代表第一组发言的女生，虽然她认为第二组的推断是正确的，但是自己始终没有找到自身产生错误的原因。遗憾的是，教师也没有能帮助她分析出错的原因，只是肯定了第二组同学的推理是正确的，这个教学事件说明，教师对图形表象表征平行四边形的意义的认识存在问题。教师可能还没有认识到，第一组同学出错的原因是，他们把平行四边形的一般图形表象即图形“”，看成了所有平行四边形的图形表象，忽视了一般图形表象的特殊性；或许教师可能还没有认识到，几何概念的一般图形表象不仅表征了概念的本质属性，而且还表征了概念的许多非本质属性。
问题三：教学中忽视了概念同化学习方式的选用，弱化了一般图形表象之间联系与区别的教学。心理学研究显示，学生获得概念的基本形式有概念形成和概念同化两种，由于概念形成重视概念本质属性的发现过程，有利于学生观察力和发现问题能力的培养，符合“过程性目标”的教学要求。因此，小学阶段无论是专家在编写以概念为内容的教材时，还是教师在设计概念的教学过程中，他们都偏向选用概念形成的方式。例如，就长方形和正方形的一般图形表象而言，当前至少有两种以上版本的教材都是采用这种形式，见图1和图2。
图1
图2
不过，“无论低年级还是高年级，在概念教学中都不宜单纯地运用某一种方式”。[2]奥苏贝尔也曾指出学龄儿童已经具备了直接学习定义概念的能力，概念同化应该成为人们获得概念的主要形式。目前教学中忽视概念同化的选用，不仅不利于学生学习数学概念能力的培养，而且弱化了新旧概念的图形表象之间的联系与区别的教学。学生不把正方形的一般图形表象看作是长方形的一种特殊图形表象，不把长方形的一般图形表象看作是平行四边形的特殊图形表象等问题的出现，与教师忽视概念同化学习形式的选用有着密切的关系。
二、教学对策
综合考虑以上小学几何概念图形表象教学中存在的问题，为了帮助教师更好地认识几何概念的一般图形表象，学生更有效地理解几何概念，提高几何概念的教学质量，下面谈谈相关教学对策：
（一）教学中提供的直观材料，要能反映几何概念的一般图形表象和特殊图形表象
表象来源于感知觉，[3]感知觉是客观事物个别或整体属性、各个部分在人脑中的反映，是客观事物刺激感觉器官的结果。在几何概念的教学中教师常通过提供能反映几何概念的直观材料，让学生在观察、摸或画等活动中感知这些材料，建立起这些概念的图形表象，揭示出这些概念的本质属性。因此，教师提供的直观材料，对学生几何概念（包括图形表象）学习的影响是直接的。教学中提供的直观材料不仅要考虑学生学习兴趣的激发，而且要考虑到学生认识概念的含义及其图形表象的科学性。
学生误解几何概念的含义，其中的一个主要原因是，由于学生误解了几何概念一般图形表象所反映的概念的本质属性，把一般图形表象所反映的非本质属性，看成了它的本质属性。究其原因，是教材的编写或教学中提供的直观材料不合理造成的。这些直观材料只能反映概念的一般图形表象，而不能反映出概念的特殊图形表象，导致学生误把概念的一般图形表象所包含的属性，都看成是概念的本质属性。
图1和图2的内容，来源于现行两种版本的小学数学课本，属于直观认识长方形和正方形的内容。不难看出，教材中呈现的直观材料只能抽象出长方形概念的一般图形表象即长与宽不等的长方形，这样的设计极易让学生误认为长方形的长和宽是不等的。虽然教材中也呈现了抽象出正方形的一般图形表象的直观材料，但是这种呈现方式，很容易会让学生误认为长方形和正方形是并列关系，而不是属种关系。设想，在认识长方形的教学中教师提供的直观材料，既能抽象出长方形的一般图形表象即长与宽不等的图形表象，又能抽象出它的特殊图形表象即正方形的图形表象，将正方形的一般图形表象作为长方形的一般图形表象的种概念进行教学。这样的教学安排，不仅能帮助学生认识长方形的一般图形表象和正方形的一般图形表象，而且能帮助学生认识正方形和长方形概念之间的属种关系。
因此，为了帮助学生准确把握几何概念的一般图形表象所反映的本质属性，教师应该认真分析教学中提供的直观材料的科学性与全面性，有利于学生在学习活动中充分感知几何概念的一般图形表象所反映的本质属性，帮助学生正确认识一般图形表象以及与其种概念一般图形表象的联系与区别。
（二）让学生经历一般图形表象的抽象与概括的过程，帮助他们延长准确记忆的时间
一般图形表象是表征几何概念的一种重要形式，借助一般图形表象理解几何概念，是小学生学习几何概念的主要方式。学生在一般图形表象认识上出现的问题，有的是学生长时记忆出错所造成的，而让学生经历一般图形表象的抽象与概括的过程，是帮助学生长时间、准确地记忆一般图形表象的有效途径之一。
心理学研究表明，识记的效果受到识记的材料及其组织形式等多方面因素的制约。首先，在几何概念的教学中教师提供给学生考察的直观材料，不仅要满足学生的兴趣和爱好，不脱离学生的生活、学习经验，而且要有全面性，要能揭示出几何概念的一般图形表象反映的各种情形。其次，让学生在充分感知、辨别直观材料的基础上，通过引导学生画图形等方式，抽象出每个材料所反映的几何概念的特殊图形表象，再通过比较、分化、假设和检验等活动，最终概括形成概念的一般图形表象，这是遵循小学生识记规律的教学行为。在这个过程中，学生经历了几何概念一般图形表象的形成过程，感受了直观材料、特殊图形表象和一般图形表象各部分间的逻辑关系，学生对图形表象的识记时间因此而延长。例如，当学生再次看到三角形的一般图形表象即“△”时，有利于他们想起锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的意义，有利于他们想起三角形分别与锐角三角形、直角三角形和钝角三角形之间的关系，有利于他们想起三角板、红领巾等直观材料与锐角三角形、直角三角形和钝角三角形之间的对应关系，再也不会孤立、静止地看待三角形的一般图形表象了。
（三）在一般图形表象的教学中加强语言表征的协同，帮助学生理解它所表征的意义
Paivio在研究长时记忆过程中，提出了双重编码说，认为“长时记忆分为两个系统，即表象系统和言语系统。表象系统以表象代码来贮存关于具体的客体和事件的信息。言语系统以言语代码来贮存言语信息。这两个系统彼此独立又相互联系”。[4]因此，为了学生长时间、正确地记忆几何概念的图形表象，教学中加强语言的协同也非常重要。这一点从朱智贤和林崇德的著作中也能得到证明，即“语言、词在形成表象过程中起着重要作用”。[5]同时，借助语言的作用，也能凸显出一般图形表象所反映的本质属性，避免其非本质属性对几何概念学习的负面影响。
例如，在长方形一般图形表象的教学过程中，教师应尽力为学生提供语言交流的机会。当学生画出长方形的图形后，教师提出问题：“小朋友，你能向同学介绍一下你画图的经验吗？”引导学生交流画图形的感受。当学生拿到长方形纸片后，引导学生摸一摸它的面和四周，然后，让学生回答：“你能说说摸完长方形的面和四周后的感觉吗？”交流：图形的面是平面，图形的边是直的。当学生在钉子板上围出一个长方形图形后，教师提问：“你能告诉同学，在围长方形图形时我们应该注意什么？”交流：长方形的对边一定要相等，但邻边不一定要相等。在这个教学活动中，教师不失时机地借助语言的作用，不仅帮助学生进一步认识了长方形一般图形表象所反映的本质属性，增加了有效记忆的时间，而且帮助学生进一步认识了长方形一般图形表象与特殊图形表象之间的关系。
（四）利用变式和反例的教学，进一步揭示一般图形表象所表征的几何概念的意义
在不同的场合，人们对变式的理解不尽相同，本文中的变式是指正例的变化，是让一般图形表象的非本质属性处于经常的变化中，从而突出一般图形表象所反映的本质属性。反例的教学，是指让一般图形表象所反映的本质属性处于经常的变化中，排除一般图形表象所包含的非本质属性对本质属性的负面影响。两者的目的都是为了帮助学生正确认识一般图形表象所表征的概念的本质属性。一般图形表象的变式训练和反例的教学，是帮助学生克服学习过程中存在问题的有效手段之一。
例如，在平行四边形的一般图形表象的教学中，通过改变图形摆放的形式，或改变图形角的大小和邻边的长短，或改变图形的本质属性（如，对边相等但不平行）等，学生在判断和说理的过程中进一步认识了平行四边形一般图形表象所表征的意义。
（五）利用分割、组合和分类等手段，揭示几何概念一般图形表象之间的联系与区别
公理化思想告诉我们，几何概念之间总存在着某种联系，图形表象之间也是如此。揭示几何概念一般图形表象之间的联系，是数学概念教学的要求。教学中教师引导学生通过分割或组合一般图形表象，能有效地揭示它们之间的联系，达到解决问题的目的。
例如，就平行四边形的一般图形表象而言，通过分割可以分成一个三角形和一个梯形，或两个梯形，或两个三角形等。反之，两个全等的梯形可以组成一个平行四边形，两个全等的三角形通过旋转和平移，可以组合成一个平行四边形等。通过平行四边形、三角形和梯形的一般图形表象的分割或组合的教学活动，能有效地揭示它们之间的联系。
图3
再如，把线段的一般图形表象的一段无限延长，可以得到射线的一般图形表象；把线段的一般图形表象的两端都无限延长，可以得到直线的一般图形表象。通过延长线段，能很好地揭示线段、射线和直线之间的联系。
分类是在比较的基础上，根据一定的标准，将研究对象加以区分，把具有相同属性或性质的事物归为一类，不同属性或性质的事物归入不同的类别，并进行研究的一种思维方法。分类的方法，能揭示几何概念的图形表象之间的关系，包括某概念的一般图形表象和特殊图形表象，教学上能帮助师生更好地认识这些一般图形表象之间的区别与联系。
例如，观察图3，能一目了然地弄清楚四边形、平行四边形、梯形、等腰梯形、长方形和正方形等几何概念一般图形表象之间的关系。要说明的是，在一般图形表象的分类过程中，要明确每次的分类标准。其中，图中第一级的分类标准是：对边是否平行，且若有对边平行，则有几组；第二级的分类标准是：平行四边形是否有直角，梯形的腰是否相等；第三级的分类标准是长方形的邻边是否相等。教学中教师通过引导学生分析、分类整理出类似的关系图，能帮助学生较容易地认识到平行四边形的一般图形表象和梯形的一般图形表象是并列关系，平行四边形的一般图形表象和长方形的一般图形表象是属种关系等。另外，梯形的一般图形表象还可以按是否是直角来划分，分为直角梯形和非直角梯形。