品鸭脖，赏小题——武汉市中考数学选择压轴题赏析，本文主要内容关键词为：武汉市论文,小题论文,中考论文,数学论文,品鸭脖论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
武汉鸭脖名扬天下，鸭脖虽小，品之有趣：一在麻辣够劲，二在慢啃细嚼之间回味无穷.同样，武汉人出的中考数学题也匠心独运，特色鲜明，出现在“脖颈”处的小题，带着股明显的鸭脖味儿，初品辣火呛口，但只要解题者细细品味、慢慢咀嚼，总会嚼出“香气”，唇齿留香.
通常，武汉市中考数学题共有25题，选择题的最后一道——第12题，已经习惯于以考查几何逻辑推理为主，且具有一定的难度.本文以近年武汉市中考试题和部分学校模考试题的第12题为例，和大家一起来品品它的“辣”劲.
一、以菱形为背景
例1（2011年武汉市中考）如图1，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF和DE相交于点G，连接CG和BD相交于点H.则下列结论：
③若AF=2DF，则BG=6GF.
其中正确的结论
A.只有①②B.只有①③
C.只有②③D.①②③
解析 ①如图1，在菱形ABCD中，由AB=BD，可得△ABD，△BCD均为等边三角形，则AD=DB，∠A=∠BDF=60°，又AE=DF，所以△AED≌△DFB，从而结论①正确.
②如图2，延长GB至I，使BI=DG，连接CI，把四边形BCDG的面积转化为△CGI的面积即可.
所以问题的关键是△CDG是否全等于△CBI，
由结论①△AED≌△DFB有∠3=∠4，
因为∠1=180°-∠2-∠3=180°-60°-∠3=120°-∠3.
∠CDG=120°-∠4.
所以∠1=∠CDG.
又由CB=CD，BI=DG可得△CDG≌△CBI.
又易知△CGI为等边三角形，
则
，
从而结论②正确.
③由AF=2DF，即
，容易让人想到构造平行线，借助三角形的相似来解决问题.
如图3，若过点F作FJ//AE交DE于点J.
综上所述，结论①②③均正确，故选D.
点评 第①问是常见的全等三角形的判定，它为后面结论的探索做铺垫.
第②问渗透的是转化思想，即把不规则图形的面积转化成规则图形的面积，割补法是常用方法之一，辅助线作法实质是将△CDG绕点C逆时针旋转60°，其中“∠1=∠CDG”的证明有一定的难度，属于“微辣”.这里再给出一个漂亮的证法，由于∠EGB=60°=∠DCB，可得D，G，B，C四点共圆，从而∠1=∠CDG.
麻辣指数 一星级☆
二、以矩形为背景
例2 （2011年武汉市江汉区中考模考一）如图6，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，△ACE为等腰直角三角形，∠AEC=90°，连接BE交AD，AC分别于F，N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：
①AB=AF；②AE=ME；
其中正确的结论的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ①如图7，若∠2=∠3，则AB=AF.
所以问题的关键是能否探究到∠2=∠3.
由题意可得∠ABC=∠ADC=90°，∠AEC=∠ADC=90°.
所以A，B，C，D，E五点共圆.
因为∠AEC=90°，AE=CE，∠1=∠EAC=45°，由于同弧所对圆周角相等，
所以∠2=∠1=45°.
又因为∠BAD=90°，所以∠3=45°=∠2，
所以AB=AF.
从而结论①正确.
②欲探究AE=ME是否成立，即考虑CE=ME是否成立，问题可转化为∠6=∠ECM是否成立，至此，思路已经非常清晰：∠6=∠4+∠5，∠ECM=∠1+∠7，因为可探究到：∠4=∠1=45°，又由已知得∠5=∠7，所以假设成立.
从而结论②正确.
③如图7，由圆的内接四边形BCDE的对角互补得∠BCD+∠BED=180°.
根据∠BCD=90°，得∠BED=90°，即BE⊥DE，从而结论③正确.
④如下页图8，过点M作MH⊥AC，过点E作EK⊥AC，垂足分别为H，K.
可考虑将CN同时看成△CMN和△CEN的底边，则其面积比即转化为公共边CN边上的高的比.
由于CM平分∠ACB，BN平分∠ABC，
于是点M为△ABC的内心.
从而结论④正确.
综上所述，结论①②③④均正确.故选D.
点评 初看此题，前3问给人以无从下手之感，但在巧妙地添加了辅助圆之后，辣劲十足的三小问就变得“温顺乖巧”多了；第4小问应用了“不同高但同底，面积之比看高比”，渗透了转化的思想.另外，根据已知直角三角形的三边长求其内切圆的半径，也是解决第4小问的必备知识点.回头细细品味，本题对考生的知识、能力与解题的技巧要求都很高，充分说明平时的积累很重要.
麻辣指数 二星级☆☆
三、以三角形为背景
例3（2011年武汉市部分学校九年级五月模考）如图9，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C，B作AF的垂线，垂足分别为E，D.以下结论：
其中结论正确的序号是
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
解析 ①如图10，由∠ACB=∠ADB=90°可得A，C，D，B四点共圆.连接CD，由AF为△ABC的角平分线可知BD=CD，
结合①中待证结论CE=DE=
BD，可考虑证△CDE为等腰直角三角形，
因为A，C，D，B四点共圆，所以∠4=∠ABC=45°.
由已知：CE⊥AD，从而使问题得证，即结论①正确.
②如图10，取AF的中点M，连接CM，而由于BD=CD.
若CD=CM，问题即可解决.
容易证得∠2=∠1=
∠CAB=22.5°
∠3=∠1+∠2=45°.
所以∠3=∠4，故CM=CD.
从而结论②正确.
③由第②小题结论可以得到∠5=45°，所以∠3=∠5.
CE+EF可转化为ME+EF=MF
从而结论④正确.
综上所述，结论①②④正确，故选B.
点评 本题结论①的证明有一定的难度，属“中辣”，从待证结论CE=DE=BD容易想到：需证△CDE是等腰直角三角形，观察到A，C，D，B四点共圆，问题①迎刃而解.
对于形如结论②“AF=2BD”的等式证明，一般情况下，可用“截长”或“补短”的方法证明，下面再用补短法证明AF=2BD.
如图11，分别延长AC，BD相交于点G.
麻辣指数 三星级☆☆☆
四、以梯形为背景
例4（2009年武汉市中考）如图12，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD.连接DE交对角线AC于H，连接BH.下列结论：
其中结论正确的是
A.只有①②B.只有①②④
C.只有③④D.①②③④
解析 ①如图12，要证△ACD≌△ACE，已有条件AE=AD，AC=AC.
故只需证明夹角相等（或第三条边对应相等）即可.
由AB=BC，∠ABC=90°，可以得到∠1=∠BCA=45°，
又因为AD//BC，所以又有∠2=∠ACB=45°=∠1.
所以△ACD≌△ACE.
从而结论①正确.
②因为△ACD≌△ACE，所以CD=CE.
∠3=∠4=∠ACB-∠BCE=45°-15°=30°.
所以∠DCE=60°，所以△CDE为等边三角形，从而结论②正确.
③由结论②有△CDE为等边三角形，
因为∠3＝∠4，所以CH⊥DE.
所以∠5=45°.
综上所述，结论①②④正确.故选B.
点评 结论①和结论②证明几乎没有难度，属“本味”，但随后的结论③和结论④的证明难度陡增，属“超辣”.
本题中的结论④的证明是建立在结论③的基础上，反过来思考一下，倘若没有结论③做基础，结论④的“辣度”可想而知.结论④有没有其他的解法呢？让我们进行下面的探究：
又由EC=ED，所以
.
麻辣指数 四星级☆☆☆☆
五、以四边形为背景
例5（2011年武汉市硚口区中考模考二）如图14，四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG=10，GB=6，tan∠ACB=1，则下列结论：
①∠DAC=∠CBD；②DH+GB=HG；③4AH=5HC；④EC-EB=
EF；其中正确结论是
A.只有①②B.只有①③④
C.只有①④D.只有②③④
解析 ①如图14，由已知tan∠ACB=1，得出∠1=45°.
又因为AD=AB，∠DAB=90°，所以有∠2=∠3=45°.
而∠DHC=∠DAC+∠2.
∠DHC=∠CBD+∠1.
又∠2=∠1，所以∠DAC=∠CBD.
从而结论①正确.
②如图15，将△ABG沿AG翻折得△AB＇G，连接HB＇，容易证明△ADH≌△AB＇H（SAS）.
所以∠AB＇H=∠ADH=45°.
则可得∠HB＇G=∠AB＇H+∠AB＇G=45°+45°=90°.
且GB＇=GB=6，
又HG=10，由勾股定理得DH=B＇H=8.
则DH+GB=8+6=14≠10=HG.
从而结论②不正确.
③如图15，由∠ACB=45°=∠ADB.
可得A，B，C，D四点共圆.
则∠ACD=∠ABD=45°.
所以∠DCB=∠ACD+∠ACB=45°+45°=90°.
又因为AE⊥BC，所以AE//DC.
即4AH=5HC.
从而结论③正确.
④要证∠EC-EB=EF，观察等式右边的系数为，不难想到，要设法构造一个等腰直角三角形，使其直角边为EF，斜边长等于EC-EB，则问题可迎刃而解.
如图16，在AE上取一点K，使AK=BE，连接KF，AF，因为点F是BD的中点，又AB=AD，所以AF=BD=BF，且AF⊥BD.
容易证明∠EBF=90°-∠BGE=90°-∠AGF=∠KAF.
则△EBF≌△KAF（SAS），
于是，FE=FK，∠EFB=∠KFA.
所以∠EFK=∠EFB+∠BFK=∠KFA+∠BFK=∠AFB=90°.
从而△EFK就是我们所要构造的等腰直角三角形.
于是EC-EB=EA-EB=EA-KA=EK=EF.
从而结论④正确.
综上所述，结论①③④正确.故选B.
点评 结论②的判别颇有难度，属“高辣”，其难点在于辅助线的构造，这可从题目所给出的条件HG=10，GB=6入手，联想到勾股数6，8，10，进而设法构造Rt△HGB＇加以解决，辅助线的实质是将△ABG，△ADH分别沿AG，AH翻折，经翻折变换后，B，D的对应点恰好是同一点B＇.另外，DH的长也可以利用旋转变换求解，还可以不作辅助线，利用△BHA∽△AHG∽△DAG，也可以得出
，进而求出DH=8，其证明留给读者.
结论③的证明同样有难度，其难点在于必须要探索出AG，DC的平行关系，进而寻找出“X”型（△AHG∽△CHD）.需要指出的是，结论③的证明是建立在结论②的基础上，解决此类问题时，常常要利用上一题的结论或思路，层层递进，拾级而上.
结论④的证明难度又更上一个台阶，属“特辣”，其难点主要在于辅助线作法不容易想出，其实质上是将△BFE绕点F顺时针旋转90°，得△AFK.由此可见，翻折变换和旋转变换对辅助线的作法起着举足轻重的作用.
麻辣指数 五星级☆☆☆☆☆