甘肃省积石山县吹麻滩中学 731700
摘 要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。本文从以形助数方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：构造几何图形解决代数问题，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
关键词：初中数学 数形结合思想 以形助数
数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：
一、求最值问题
例1：已知x＞0、y＞0，且x+y=10,求 x2+4+ y2+9的最小值。
解：如图1，作线段AB=10，在AB上截取AE=x，EB=y，过A作AC⊥AB，且AC=3，过B作BD⊥AB，且BD=2。
由勾股定理得：CE= x2+9，BE= y2+4，那么求 x2+4+ y2+9的最小值即求CE+ED的最小值。
如图1，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边知，G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF=AG，连接GF。
则在Rt△DGF中，DF=2+3=5，GF=AB=10，
∴DG= DF2+GF2= 102+52=5 5，
∴CE+DE的最小值是5 5，
即 x2+4+ y2+9的最小值是5 5。
二、判断方程根的个数问题
例2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，当0＜k＜3时，方程|ax2+bx+c|=k的根有____个。
解：作函数y=|ax2+bx+c|的图象如图3所示，当0＜k＜3时，直线y=k与函数图象有四个交点。所以，方程y=|ax2+bx+c|=k的根有4个。
三、二次函数中三角形的面积问题
例3：如图4，已知二次函数y=- x2+ x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为x轴上方的抛物线的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？
解：当x=0时y=4,所以A(0,4)；当y=0即- x2+ x+4=0时，
x1=-2，x2=8，所以B(-2，0)、C(8，0)，
设P(a,- a2+ a+4)
①当0＜a＜8时，如图5所示，过点P作PD⊥x轴于点D。
则S=S梯形OAPD+S△PDC-S△AOC= （4- a2+ a+4）a+ （8-a）（- a2+ a+4）- ×4×8=-a2+8a。
②当-2＜a＜0时，如图6所示，过点P作PD⊥x轴于点D。
则S=S梯形OAPD+S△OAC-S△PDC= （4- a2+ a+4）（-a）- （8-a）（- a2+ a+4）+ ×4×8=a2-8
即S=a2-8。
如图7所示，在同一平面直角坐标系中，作出S=-a2+8a（0<a<8)和S=a2-8a(-2<a<0）的图象，当直线s=16时与函数图象有两个交点，所以当s=16时，相应的点P有且只有2个。
总之，教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是我们所有数学教师应该追求的目标。
参考文献
[1]程旷 主编 《巧学初中数学80法》.农村读物出版社。
[2]缑小锋 杨首中 主编 《中考集训》.甘肃教育出版社。
论文作者:秦明礼
论文发表刊物:《素质教育》2018年7月总第276期
论文发表时间:2018/6/19
标签：如图论文; 思想论文; 图象论文; 所示论文; 函数论文; 最小值论文; 数学论文; 《素质教育》2018年7月总第276期论文;