“算法多样化”的背后——兼论数学教学的真实意义，本文主要内容关键词为：算法论文,数学教学论文,意义论文,真实论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着社会的进步和人们对数学教学观念认识的发展，许多教师已然能够认识到传统的数运算教学的不足。这种传统的教学观念就是一味地强调通过大题量的操练，以达到学生运算技能和考试分数双重提高的目的。在传统教学观念的影响下，学生被淹没在大量重复操练的题海之中。机械枯燥的练习成为影响学生思维发展和提升的主要障碍。为了改变这种状况，国家数学课程标准提出了大幅度调整教学内容和改进数运算教学的实施要求。具体地说，就是删减繁琐运算的教学内容，以及在数学运算教学中提倡“算法多样化”。教学内容的调整在一定程度上确实为师生进行数运算教学的改革探索提供了时间和空间的保证。对于教师来说，他们有可能从仅仅关注教案完成的教学转换到关注和针对学生学习状态教学；对于学生来说，他们有可能从大题量和高密度的机械运算中解放出来，有时间来思考和分析问题解决的各种条件、不同方案，以及在多种方案中作出恰当的选择。
教学内容的减少意味着教学时间的相对增加，那么这部分相对增加的教学时间是否得到了高效的利用？教师又是怎样来理解认识和实施“算法多样化”的教学呢？时下的数运算教学中的算法是否当真“多样”了？怎样才能让学生从掌握一种统一的标准化的算法真正转变为掌握灵活多样的算法呢？这种“算法多样化”的教学是否起到了促进学生逻辑推理发展和思维品质提升的作用？这些问题既是绕不过去也是改革必然遇到的，更是我们必须做出回答的。为此，本文围绕这些问题展论述，揭示算法表面“多样”的背后所掩藏的真实问题，对这些问题提出重建的设想，进一步探讨如何真正地实现教学的“算法多样化”，以及面对学生“多样”的算法，我们的教学应选择怎样的价值追求，与此相应又该做出怎样的积极回应。
（一）
数运算教学中的“算法多样化”可以说是一个“仁者见仁，智者见智”的问题。然而，现实中对“算法多样化”的实践却表现出基本趋同的教学状态。下面的“百以内加法”的教学过程是其典型代表的反映：
首先，教师提出问题：29+17这一题你们是怎样计算的？学生围绕问题或独立思考，或小组讨论，形成问题解决的方案。
其次，在学生形成方案的基础上进行全班交流。在学生一个接一个地交流的同时，教师将学生交流的各种不同算法一类一类排列整齐地呈现在黑板上，如下所示：
①29+17=30+17-1 把29凑成整十数
②29+17=29+20-3 把17凑成整十数
③29+17=30+20-4 把29和17都凑成整十数
④29+17=29+1+16 从17分拆出1与29凑整
⑤29+17=26+3+17 从29分拆出3与17凑整
⑥29+17=29+10+7 分拆17先加整十数
⑦29+17=29+7+10 分拆17先加一位数
⑧29+17=20+9+17 分拆29先加一位数
⑨29+17=20+17+9 分拆29先加整十数
⑩29+17=20+9+10+7
29与17同时分拆，十位上数与十位上数加，个位上数与个位上数加
最后，教师进行小结，表扬学生想出了那么多的算法。同时，还注意引导学生对这些算法进行比较，找出最好最简便的算法，然后鼓励学生“用自己喜欢的算法”做巩固练习。
从这样的教学过程中，我们至少可以发现存在以下几方面的问题：
第一，教学中呈现的算法表面上看各种各样，而实际上大多数学生却因为思维的惰性而表现出算法单一的状态。
尽管黑板上呈现的各种算法十分丰富，但是事实上这些算法基本上是个别学生（充其量也就是十来个学生）“凑”出来的。如果我们仔细地观察一下，就会发现其实大部分学生基本上还是停留在一种单一算法的思维水平上。换句话说，算法的“多样”仅仅表现在黑板上，而不是体现在学生个体身上，学生个体所表现出来的算法依然“单一”而不是“多样”。很显然，在这些“多样”的算法背后，掩盖的事实是学生思维的积极化程度还明显不够。
第二，黑板上呈现的各种算法从表面上看归类整齐，而实际上学生却缺乏“类方法”的意识。
尽管黑板上呈现的各种算法一类一类地排列得相当整齐，但是这些归类的工作不是通过学生自己亲历比较和归纳的过程来实现的，而是由教师包办替代学生来完成的。这一“替代”过程的背后是，大多数学生对各种不同算法之间的差异和本质联系既不清晰也不敏感，他们对各种算法较多的是散点的认识和记忆，对将各种不同算法分别归“类”的过程还缺乏体验和认识。显而易见的是，教师不可能永远抱着学生走，学生如果没有自己的亲历亲为又怎么会有真实的成长体验呢？
第三，教学中学生交流表达的状态表面上看热闹非凡，而实际上教师采用“串联”的呈现方式不仅低效而且还占用了课堂大量的教学时间。
所以“串联”的呈现方式，就是在某一个学生陈述自己算法的同时，教师在黑板上板书这个学生的算法，学生一个接着一个地交流，教师分别将这些算法一一呈现在黑板上。表面看课堂教学的气氛热烈活跃，学生踊跃参与，但深入观察会发现大部分学生其实满足于自己的算法，他们积极地争取机会仅仅是为了展示和表现自己，而不是通过交流来发现各种不同算法之间的区别和本质联系。再者，由于教师引导和点拨得不够，学生对于各种算法的认识也难以有本质的提升。不仅如此，由于这种“串联”的呈现方式占用了课堂大部分的教学时间，因此学生在一节课内要完成的题量从原来的十几个减至现在的三四个左右，这意味着教学从大题量、高密度练习的一个极端走向了“少数学生多说、多数学生少做”的另一个极端。因此，相对增加的教学时间并没有被高效地利用起来，相反，其教学效果无论从质上还是从量上，在一定程度上都表现出一种水平低下的状态。也就是说，在这些热烈的气氛背后，掩盖的事实是学生对算法的认识依然停留在原来的水平。
第四，教学过程从表面上看层次清晰、层层递进，实际上却是一种从高级到低级、从抽象到具象的过程。
由于课堂上学生发言的随机性，所以课堂上常常表现出这样的状态，即越是有比较好的算法（抽象度比较高的方法）的学生，往往越是有机会抢在别人前面交流自己的算法，因为教师也会不由自主地把机会优先地给予这些好学生；而采用一般算法 （比较直观具象的方法）的学生，往往因自信心的缺乏总是要轮到别人后面才有交流的机会。这样，前面交流的算法常常比较高级，其解题步骤也比较简洁，思维加工过程不仅抽象度比较高而且灵活度也比较大，如上述直接凑整的方法①、方法②和方法③，以及通过分拆一个数与另一个数实现凑整的方法④和方法⑤；而后面交流的算法往往比较一般，有的算法甚至还比较麻烦，如上述转化的方法⑥、方法⑦、方法⑧和方法⑨，以及相同数位上的数相加的方法⑩。教学中算法交流的过程不是从低级到高级的递进过程，学生的认识也不是从具象到抽象的提升过程，相反地，却是呈现出一种从高级到低级、从抽象到具象的递退状态，而这恰恰又是违背人的认识规律的。
第五，教师对“算法多样化”的认识偏差和片面追求，导致学生的逻辑推理和思维水平难以获得真实的发展。
面临课堂上不同学生所表现出的各种不同的算法，教师该怎么办呢？许多教师对“算法多样化”问题不仅存在着认识的偏差，而且还表现出片面追求的状态。一方面，他们认为教学要尊重学生，要让学生的个性得到发展，就应该让学生“用自己喜欢的方法去解决问题”，所以满足学生“喜欢”的需求已成为教师教学的一种时尚。另一方面，他们又认为在算法多样化的基础上，还要进一步比较和归纳，对计算方法进行优化，形成较为高效的方法。于是“优化”算法又成为教师教学的一种期待。更有甚者，有的教师甚至还期望在教学中既满足学生“喜欢”的需要，又体现算法的“优化”。而这只是一种美好的愿望而已，在现实教学中可以说几乎是难以实现的。事实上，学生“喜欢”的算法不一定能够体现“优化”的追求，而“优化”的算法也不一定能够满足学生“喜欢”的需要。所以，一方面要满足学生“喜欢”的需要，另一方面又要体现算法“优化”的追求，两者之间实在是难以保持一种平衡，只能让教师置身于左右为难、矛盾尴尬的境地。
我们认为，对于学生来说具有真实发展意义的教学，应该既不是一味地满足学生“喜欢”的需要，也不是片面地追求算法的“优化”，而是要引导学生在比较和归纳各种不同算法之间的区别与联系的基础上，提升学生对高级算法和抽象思考的学习需求，形成学生判断与选择的意识与能力。即学生能够对各种问题情境作出相应的判断，并能根据各自的具体情境选择恰当和灵活的算法。之所以这么认为是缘于以下的思考和认识：首先，仅仅用“喜欢”这种方式来诠释“尊重学生的个性发展”显然是有失偏颇的。如果教学一味地让学生“你喜欢什么方法就用什么方法计算”，他们往往会以自我为中心地局限于自己的方法，又怎么会去关心和思考其他的方法呢？从而也就不会产生提升自己认识和思维水平的内在需求。于是，他们在进教室时用的是什么算法，往往在出教室时依然还是囿于原来的算法，学生对算法的学习和掌握实际上是从“一”到“一”的过程，并没有达到从“一”到“多”的目的。因此，这种一味地满足学生“喜欢”愿望的教学，从表面上看是对学生个性的张扬，而实际上却容易导致学生的认识依然停留在原来的水平，很难使他们在教学的过程中获得真实的发展和提升，这样的教学对于学生来说往往也就不具有真实发展的价值。
教学要对学生产生真实发展的意义，其前提是不仅需要面对和承认学生的差异，而且还要关注和解读学生各自的状态，并在此基础上提出不同的要求，以促进他们达到更高的水平。事实上，不是每个学生在教学的一开始都能够进行抽象思考和应用高级的算法，如若不然还需要我们的教学做什么呢？对于大部分学生来说，他们在教学一开始的状态大多只是具象的思考和应用一般方法甚至是低级方法的水平，正因为如此，需要通过我们的教学来引导这部分学生学会应用高级的算法，提升他们的抽象思考的水平。而对于少数好学生来说，尽管他们已经能够进行抽象思考和应用高级的算法，但是他们的思考往往还比较点状且缺乏结构的意识，对方法使用的条件和灵活运用尚缺乏足够的认识，也还是需要通过教学来提升他们根据具体情境灵活运用方法的能力，使他们的认识达到结构化的思维水平。因此，无论前者还是后者，都需要教师在他们各自已有的基础之上提出相应的更高要求，以此来不断地提升他们学习的内在需求，而不是一味地满足他们“喜欢”的需要。学生在努力达到这些更高要求的过程中，才有可能实现逻辑推理能力的真实发展和抽象思维水平的真实提升。
其次，强调算法的“优化”实际上是一种片面的极端追求。因为对算法进行“优化”的最终结果，只能是一种统一的标准化的教学状态，这岂不是兜了一个圈子又回到从前的教学？更令人担忧的是，许多教师往往认为简便算法就是“最优”的好方法，甚至在教学中一味地“将最优算法进行到底”，却忽视了方法在具体情境中的现实意义。事实上，脱离了具体情境的方法往往是一种机械的和“僵死”的方法，学生对这种机械方法操练得越多，他们的思维就有可能变得越来越教条和僵化。因此，只有让学生学会联系具体的情境去判断与选择合理的方法，那么方法对于学生来说才是有意义的和“鲜活”的。再者，在复杂多变的现实情境中，往往无法追求“最优”的问题解决方法，我们只有尽最大可能去追求更“适合”和更“恰当”的方法，而这又恰恰是一种十分重要的人生态度和追求。
从上面的分析我们可以看到：教学中的算法“多样”不是体现在学生个体身上，而是表现在黑板上；排列整齐的“类方法”不是教师有所不为，而是教师替代作为得太多，不是学生不能作为，而是学生亲历作为得太少，有时甚至无法作为；相对增加的教学时间和机会不是被大多数学生有效地利用，而是被少数学生低效地占有；算法交流的过程不是从低级到高级、从具象到抽象的过程，而是从高级到低级、从抽象到具象的违背认识规律的过程；教学的效果不是令人们所期待的提升了学生对算法的认识和抽象思维的水平，而是使学生依然停留在原来的认识和思维水平。所有这一切似乎违背了“算法多样化”的教学初衷。因此，现实的教学状态不仅没有真正地实现“算法多样化”，而且还相距甚远。我们不得不对这些现象背后所折射出的教学观念问题作深刻反思，并且需要在此基础上提出解决问题的重建设想，使数运算教学能真正地实现“算法多样化”的追求，体现数学教学对于学生发展的真实意义。
（二）
在“新基础教育”看来，数运算的教学不仅要让学生理解数运算的意义和形成基本的运算技能，更为重要的是，要进一步开发其丰富的育人资源，实现其重要的育人价值。具体地说，教师要在引导学生学会从不同角度思考多种算法的基础上，着力使学生能够对数运算的“类方法”建立基本的敏感，能够根据具体问题情境的需要作出准确的快速判断，学会在众多方法中作出恰当合理的选择，以提高学生灵活性和创造性解决问题的能力。在这个过程中，学生逐渐学会用符号开展一些推理和运算活动，他们的逻辑推理能力就有可能获得重要的发展，思维品质也有可能获得较大的提升。同时，逻辑推理能力的发展和思维品质的提升又可以促进学生更好地进行符号操作活动。为了实现这样的教学追求，我们需要注意以下几点：
第一，注意提升学生学习需求，鼓励学生不断地挑战自己。
一般来说，学生在数运算学习一开始的算法往往都是比较单一的，他们不仅会满足于自己已有一种方法，而且也会急于表现自己。所以教师要注意引导学生不满足已有的一种方法，鼓励他们要想办法思考第二种甚至第三种方法。也就是说，方法多样不是依靠大家“凑”出来的，而是对每个学生要有从不同角度思考多种方法的要求。正是因为有了这样针对性的要求，学生才有可能克服思维的惰性去挑战自己。因此，随着教学过程的不断向前推进，教师要不断向学生提出更高的要求，这样学生学习的内在需求才有可能不断地得到提升。一般来说，向学生提出的要求应体现以下的特点：一是针对性，即教师应十分注意解读和分析学生在课堂的即时状态，适时地针对学生的表现提出相应的要求。二是递进性，即前一个要求是后一个要求的基础，后一个要求是在前一个要求基础上的发展。三是有弹性，即教师应注意根据不同“类”学生的已有基础状态提出各自不同的“类”要求。例如，对已有一般方法的学生提出的要求是，还有没有更好的方法；对已有凑整的简便算法的学生提出的问题是，这个算法与其他方法有什么差异，与哪些方法是一类的？通过这些问题的思考，帮助这些学生达到比较和区分不同方法的要求。
第二，注意启发学生类比思考，帮助学生感悟“类方法”的存在。
由于学生对思考多种方法的不同角度缺乏认识，大多数学生会表现出对算法多样的点状思考和盲目追求，所以教师要注意引导学生学会类比思考，使学生对算法思考过程中何谓相同角度、何谓不同角度要有感受和体验。例如，当教师在巡视过程中发现学生有分拆转化方法时，如29+17=29+ 10+7=39+7=46，教师可以启发这些学生思考如下的问题：既然可以对第二加数17进行分拆转化，那么可不可以对第一加数进行分拆转化呢？可不可以对两个加数同时进行分拆转化呢？同样如此，当教师在巡视过程中还发现有少数学生有凑整的简便方法时，如29+17=30+17-1，教师可以启发学生思考如下的问题：我发现有一些学生在用凑整的方法进行简便运算，想一想怎样凑整可以简便计算？既然可以将第一加数凑成整十数，那么可不可以将第二加数凑整呢？可不可以将两个加数同时凑整呢？学生通过对这些问题的思考，就有可能意识到这些方法的思考方式是一样的，这样就可以通过类比思考的方式产生一类相同角度的“类方法”，他们也就能意识到各类方法之间不同角度的思考差异。同时，学生对于这种“类方法”意识的逐步建立，又能够促使他们更好地从不同角度思考多种的算法。这样，就有可能在学生个体身上实现从“一”到“多”的追求，这也正是在学生个体身上实现算法真正多样的“化”的过程。
第三，注意“并联”随机呈现资源，提供每个学生参与的时间和机会。
考虑到课堂教学中教师和学生双边共时的关系，在学生思考教师提出的各种问题的同时，教师要尽可能捕捉学生各种不同的信息和资源，并注意用“并联”和随机的方式同时呈现在黑板上。之所以要强调“并联”，是为了改变原来“串联”方式中把大量教学时间用来进行个别学生交流的现象，在时间上为形成生生和师生之间的互动提供前提性的保证，使每个学生能够有机会参与到学习之中。之所以要强调随机，是为了改变原来教师替代学生整理各种资源的现象，在内容上为形成生生和师生之间的互动提供前提性的保证，使学生能够有机会对这些排列随机的丰富资源加以充分利用，以提升学生资源处理的分析和比较、概括和抽象的水平。
第四，注意引导学生比较分类，提升学生结构思维的认识水平。
面对黑板上“并联”呈现、排列随机的各种算法，我们既不是让学生喜欢什么方法就用什么方法，也不是引导学生去追求最优的方法。换句话说，学生对算法的学习既不是从“一”到“一”的过程，也不是从“多”到“一”的过程，而是从“一”到“多”、从“多”到“类”不断地提升的过程。具体地说，就是要注意引导学生对这些算法进行比较和分析，通过对不同算法之间本质联系的揭示，将散点的多种方法经过提炼抽象，归纳概括为几种基本的“类方法”。如上述案例中有三种“类方法”，即相同数位上的数相加的方法、分拆转化的方法和凑整的简便算法。在这个过程中，学生的思维就有可能从具象逐步向抽象提升，他们对各种方法的认识也有可能从散点的“多”种方法逐步向结构的“类”方法提升。
第五，注意创设各种问题情境，帮助学生建立判断与选择意识。
数运算教学对于学生成长和发展的价值，不仅仅是学生对算法知识的掌握，更重要的是要以数运算教学为载体，帮助学生建立判断与选择的自觉意识，养成根据具体情境以及自我需要作出正确选择的学习习惯。这对学生日后的主动学习是十分重要的第一步。不仅如此，形成根据具体情境作出准确判断与恰当选择的意识和能力，在一定意义上也是学生适应当今急剧变化的社会环境，能够可持续发展的一种基本且又十分必要的生存能力。因此，教师不但要注意提供学生判断与选择的机会，而且要使学生意识到判断与选择的重要，从而使学生逐渐建立起判断与选择的意识与能力。在教学中，可以从以下两个方面来唤醒学生判断与选择的自觉意识，一是学会根据自己的状况作出判断与选择，二是学会根据具体情境的需要作出判断与选择。这里主要对第二点作详细说明。
在学生对数运算的“类方法”有基本的认识之后，教师首先要注意通过一定的练习巩固学生对“类方法”的认识，在此基础上还要注意提供学生灵活多变的具体情境，帮助学生学会根据具体情境的需要作出准确快速的判断，并能够在几类方法中作出恰当的合理选择。例如，教师可提供学生如下三个问题：
39+20=? 27+38=? 27+37=?
第一题虽然可以用凑整的方法，但直接把十位上的数相加更简便；第二题的方法自然是用凑整的方法比较简便；而第三题可以与第二题联系起来思考，只需将第二题的结果65减去1即可得到答案。在这里需要进一步说明以下几点：
其一，具体情境是广义上的概念，现实生活中的情境显然是具体情境中的之一而不是全部。如果问题设计本身具有足够大的思考空间，那么问题情境在一定意义上也能引起学生的深度思考，所以我们大可不必把自己对情境的认识仅仅局限在现实生活之中。
其二，具体情境的设计十分强调情境的真实和自然。唯有在自然状态下的真实投入，学生的判断与选择的自觉意识才有可能得到唤醒。例如，上述问题情境的设计，并非像有些教材那样刻意设计成“题包”的形式，而是想营造一种自然的情境，期待学生能够整体把握并有所发现。事实上，那种中规中矩的“题包”练习，其本意是想培养学生对规律的敏感和发现的意识，在一定程度上也确实为学生顺利地发现规律提供了可能，但是这种设计似有太多的暗示之嫌疑，学生只要一看到“题包”，就像条件反射一样自动地去“找规律”。在这个自动的动作背后，反映了学生的思维依然处于一种不断地执行教师或教材要求的被动状态，而不是在自然状态下主动自觉地投入到情境之中的真实发现，那么他们发现规律的自觉意识与能力也就难以得到真正的培养。
其三，利用真实和自然的具体情境设计，不仅可以培养学生根据具体情境作出判断、选择的意识与能力，而且还有可能使学生建立从全局上把握问题要害及其特点的整体意识，更重要的是，还有可能使学生形成良好的解题步骤和习惯。即先观察题目特点，再作出判断选择，最后解题并检验结果。
其四，联系具体情境思考问题解决方法的要求，向学生提出了快速判断；合理选择和灵活运用方法的挑战，为学生灵活性和创造性地解决问题提供了更大的可能。因此，这样的教学追求在一定程度上已超越了传统意义的教学，即既不是一味地追求“最优”算法的简单教学，更不是一味地“将最优算法进行到底”的机械教学。
总而言之，我们的教学不能仅仅停留在对算法表面“多样”的追求，更不能从表面的“多”又回到从前的“一”，而是要针对不同学生的已有经验和基础，一方面不断地提升学生的学习需求，另一方面注意引导学生经历算法从“一”到“多”，从“多”到“类”，再到根据具体情境灵活地判断与选择的过程。在这个过程中，学生对算法的认识有可能不断地得到发展，思维的抽象度和灵活度也有可能不断地得到提升，教学对于学生也就具有了真实发展的价值。