谈数学课堂中教材样例的合理设计，本文主要内容关键词为：数学课论文,堂中论文,教材论文,样例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教材是课程标准的具体化，是一种经典的文本课程资源.数学样例，指的是承载着重要数学知识或思想方法的典型数学问题.数学样例能为学生的数学学习提供探索、发现和逻辑思辨的素材；同时，样例学习能使学生明确数学抽象知识的典型应用模式，产生应用知识和方法解决问题的能力迁移.从某种意义上说，样例是数学课堂学习活动中的核心活动资源.
教材是陈述性的，它需要教师进行进一步的样例设计，这种设计是依据课程标准，依托教材进行创造的.“用教材教，而不是教教材”，也就是说，样例设计需要教师适当地补充教材，准确地加工教材，让教材样例引领学生的学习.
一、合理补充教材“理解”样例，让学生感受数学概念学习的本质
教材是学生学习的主要课程资源，教师应努力钻研教材，合理补充教材“理解”样例，全面把握学习内容的地位与作用，深刻理解学习内容的数学本质，理解相关内容的数学教育价值，把握知识生成的线索，掌握核心知识和核心思想方法，保证教学设计的针对性和合理性，提高课堂学习活动的数学认知发展价值，提高课堂教学的效率.概念教学中，教师的重要任务是对核心概念进行解析，以帮助学生正确地理解概念.以三角函数概念的教学为例，如果教师只停留在定义式的教学上，那么学生只能记住三个三角函数的定义式，只是能够用定义式进行简单的计算与问题解决，而并没有达到真正意义上的理解.课堂中，笔者发现许多学生对于锐角三角函数，连最起码的“自变量”、“函数”都没弄清，他们只能机械地背出某个三角函数是哪两条边的比值.学生对概念的认知只停留在记忆层面，而远未达到理解层面.究其原因，主要是教师没有让学生真正理解锐角三角函数的本质.
案例1 课堂教学中，补充以下样例可以很好地解析“锐角三角函数与三角形的边长无关”.
直角三角形有三条边，两两之比共有六种情况，分三组，每一组是互为倒数关系，因此只需要分析其中的三个，这便是教材所提出的正弦、余弦、正切.
如果将这个设计进一步引申，还可以补充设计如下.
同理，cosA与tanA与点P的位置无关.
课堂中有学生会疑惑：与三角形的边长无关，就能说明∠A的三角函数与∠A的角度有关吗？显然，学生的疑惑是有道理的.为了让学生对这三个三角函数有本质上的理解，在课堂教学中，有必要再补充如下的设计.
这说明，在直角三角形中，∠A的正弦值、正切值随角度的增大而增大，而余弦值随角度的增大而减小.也就是说，在直角三角形中，三个三角函数的自变量是角度，三角形的三边只是一个用来计算某个角的三角函数值的载体.这是对三角函数的本质解析.通过这样合理补充教材“理解”样例，学生对三角函数的认识才会上升到理解的层面.
二、合理引申教材“情境”样例，让学生感受数学学习的背景
课堂上的样例往往不止一个，为了使数学课堂学习活动线索清晰有序，学习活动由浅入深，层层递进，数学思维不断发展，需要不同的样例之间具有统一的认知线索，具有时间的有序性和思维水平的层次性.只有这样，才能使数学课堂有效、有序，促进学生数学素养的发展，搭建高效的数学学习平台.教师应全面了解教材的编写顺序，关注教材的整体结构和前后联系，通过合理引申教材“情境”样例，全面深刻领会教材的内涵.
案例2 （全国优质课——上虞外国语学校潘建德）浙教版课标教材七年级上册“4.2代数式”.
创设情境：先引导学生欣赏鲁迅纪念馆的一组照片，简单介绍鲁迅其人其事，结合金秋十月，营造秋游氛围，并请学生做导游，解决旅程中的种种问题.
行程1：出发.
鲁迅纪念馆距学校s千米，校车的速度为40千米/时，那么到达纪念馆需多长时间？
行程2：买票.
鲁迅纪念馆门票价格为：成人每人60元，学生每人40元.若我们有a位老师，b名学生，那么买门票需付多少钱？
行程3：参观纪念馆.
在参观时了解到了纪念馆的一些情况：
（1）鲁迅生平事迹陈列厅呈长方形，东西长m米，宽n米，共展出鲁迅生平展品2p件.那么鲁迅生平事迹陈列厅占地面积为多少？平均每平方米展出了多少件展品呢？
（2）三味书屋是鲁迅小时候读书的地方，刻有“早”字的课桌就摆放在边长为a的正方形大堂内.此大堂的面积为多少？
【设计意图】绍兴是鲁迅的故乡，把鲁迅作为背景，可以迅速激发学生的自豪感和学习的兴趣，并渗透了乡土人文教育.同时，旅程的开始也就意味着学习的开始.而在行程1、行程2、行程3中遇到的一些实际问题，是学生平时确确实实经历过的，问题与情境有机相融，使学生深刻体会到数学无处不在，同时教师又充分考虑到了样例形式的丰富性，使学生意识到学习代数式的必要性.在此情境下课题的引出水到渠成.
行程4：参观百草园.
（1）百草园内将于近期建一五彩花圃，形状如下页图5，则花圃的面积为＿＿＿.
（2）请你根据参观的情境，说出代数式（a+b）·（a-b）的实际意义.
（3）百草园内的纪念品商店正在进行打折让利活动，全场打85折，小明在参观后买了一套标价为a元的《鲁迅全集》作纪念，那么小明得到的实际优惠是多少？
【设计意图】行程4的3道小题，实际上是对新课知识的巩固.设计时教师考虑到了用代数式表示实际数量关系和根据代数式说出实际意义正反两方面的建构，强化代数式的概念，提高列式技能，突出了重点.同时，题目的设计仍紧紧围绕参观主线，参观情境和数学学习紧紧相连，和谐自然.
行程5：返程.
参观完纪念馆后，大家乘校车返回学校，原计划校车以50千米/时的速度行驶，半小时后回到学校.现因道路通畅，校车的速度增加v千米/时，那么回到学校需多长时间？
（拓展：若v=10，你能求出具体的时间吗？）
此题原为教材的例题，如此设计，使问题与情境相融，做到首尾呼应，参观情节贯穿整节课.其中拓展问题的设计又为下节课的学习做了铺垫.
本节课的设计是以“参观”为主线，在这种样例选择中，所有的样例都围绕着一个话题：旅游交通问题，使样例具有系列性，认知活动线索清晰.参观情境贯穿整节课，抽象的数学学习与有趣的参观情境有机融合，突出了数学学习的生活化，让学生在这个特殊的“旅程”中感受地方人文气息，感受数学学习的背景，体验学习过程，体会思想方法，使学生真正成为课堂的主角.
三、合理开发教材“诱错”样例，让学生体验数学思辨的快乐
数学家波利亚说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法.”教师应在易错的环节上设置“陷阱”，诱使学生陷入“歧途”，制造思维冲突，诱发灵感，产生真知，培养学生的试错能力.这样既可充分暴露学生思维的薄弱环节，又能使学生深刻地认识到错误所在，有利于自诊自治，提高对错误的免疫力.
案例3 在学习了一元一次不等式组后，笔者有意设计了一个有价值的“诱错”样例：在△ABC 中，a、b、c为∠A、∠B、∠C所对的边，其中a=3，b=4，求c的值.
（很多学生回答c的值为5.此时笔者不加以评价，试图让学生自己从“圈套”中走出来.）
这时
站起来回答：三角形不是直角三角形，不能用勾股定理.
师：当△ABC是直角三角形时，c的值为多少？
（这次全班的结果都是5.此时学生很显然是受到前面思维定势的影响.笔者没有评价，让学生继续思考.）
：不对，如果△ABC是直角三角形时，c应该是5或
师：那你是怎样得到的.
：当c是斜边时，c=5；当b是斜边时，c=而a不可能是斜边.
在落入误区和走出误区的过程中，学生“吃一堑，长一智”，思维的严谨性得到了锻炼.于是笔者继续追问：如果△ABC是锐角三角形，求c的取值范围.
几分钟过后，
举手回答：c＜5，因为∠C是锐角，所以它所对的边c应小于∠C是直角时所对的边.
（听了的回答，又有几位学生举手.）
：不对，应该0＜c＜5，因为边长是正数.
：老师，不对，应该是1＜c＜5，因为根据三角形三边关系性质，c的取值范围是1＜c＜7，结果应该是它们的公共解.
（其他学生点头表示赞同.）
（这时全班学生都已误入了老师所设的“陷阱”，因为他们只考虑了∠C是锐角，而没有考虑∠A与∠B是锐角.）
师：由前面可知，当c=5时，△ABC是直角三角形，而也在1＜c＜5在范围内.
（受到老师的启发，学生的学习热情更高了，思考就更加投入了.）
：1＜c＜5能保证∠C是锐角，而不能保证∠A与∠B是锐角.
：答案是＜c＜5.
由∠C是锐角，求得1＜c＜5；
由∠B是锐角，则∠A也是锐角，求得＜c＜7
结果＜c＜5是它们的公共解.
师：你能将这个题目的某些条件或结论再作些变化，编出一个新的题目吗？
（学生经过小组讨论后，编出很多有价值的问题.）
：如果此三角形是等腰三角形，求c的值.
：如果此三角形是直角三角形，且∠C=90°.求斜边上中线.
：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，a=3，b=4，∠C=n，求c的值.
这道题的解答，学生掉入了“陷阱”，又从“陷阱”里一步一步地走了出来，继续去寻找正确答案，真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.同时，如果置学生错解思路的闪光点于不顾，急于亮出教师预先设计好的思路“另起炉灶”，那么不仅错过了培养学生试错能力的机会，而且容易挫伤学生的自尊心、自信心.通过“诱错”，使学生对知识理解得更加深刻，在犯错、改错的探讨过程中完善了解题思路，对数学思想方法也掌握得更加灵活.
四、合理设计教材“美育”样例，让学生感受数学学习的魅力
数学的本质是数学教学目标和教学设计的灵魂，抓住了数学学科的本质，就等于抓住了教学内容的精髓.我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即增进学生对数学美的主观感受能力.”能够领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，也是进行数学学习和研究的重要动力和方法.把握数学美的本质也有助于培养学生正确的数学学习态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩.在设计教学样例时，若能积极挖掘样例的“美育”功能，必将有助于学生体验数学的内涵，真正落实课程目标，使学生健康和谐地发展.
案例4 （浙江省优质课——杭州外国语学校徐渊楫）浙教版课标教材七年级下册“7.1分式（2）”.
多媒体播放杭州“世界休闲博览会”宣传短片，让学生欣赏杭州的“自然景色美”，然后让学生齐声朗读“数学因简约、对称、和谐而美”.
师：今天老师从杭州休博会中带来了一个大饼（大转盘），作为我们体验数学之美的一个实例.
师：根据数学简约、对称、和谐的审美标准，你认为这个式子美不美？
：不美.
师：今天这节课，我们要把这些“不美”的分式变得更简约、更和谐.这就要用到我们今天要学习的知识——“分式的基本性质”.
之后，徐老师仍然利用大转盘在复习分数基本性质的基础上，用类比归纳的方法，得出分式的基本性质.让学生在实际情境中体验了学习分式基本性质的必要性，同时也让学生感悟分数（式）的表示中蕴含着数学中的简洁美，而分数（式）的基本性质来源于使分数（式）通过恒等变形，使其更简约、更美观的需要.在讲解分式的性质运用时，徐老师更是把数学中的美渗透得淋漓尽致.
师：根据审美标准，你认为下面两个分式够简约、够和谐吗？
：不够.
师：你认为哪里不够简约、和谐？
接着，教师与学生一起利用分式的基本性质，探讨“美化”分式的方法.
（1）“美化”分式方法之“化整”.
投影仪显示以下两个分式：
不给出题目的解答要求，让学生观察分式，根据“审美标准——简约、对称、和谐”，审视分式的欠美之处.在学生觉得分子、分母一些系数出现了分数和小数，缺乏简约、对称的和谐美之后，引导学生寻找“美化”的方法，给出要求“不改变分式的值，把分式的分子、分母中的系数都化为整数.”
（2）“美化”分式方法之“化正”.
投影仪显示以下分式：
同样不给出题目的解答要求，让学生根据“审美标准”，审视这两个分式的欠美之处，在学生觉得分子、分母中含有负号，感觉不美时，寻找方法“不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的负号去掉”.
在这个问题解决之后，又用投影仪显示以下分式（不给出题目的解答要求）：
由学生自己根据“审美标准”，审视出这个分式的欠美之处：分子的多项式没有按x的次数递减排列，分子、分母的最高次项的系数为负.从而得到问题的解答要求：不改变分式的值，把分式的分子与分母中最高次项的系数都化为正数”.
（3）“美化”分式方法之约分.
投影仪显示分式：
让学生根据“审美标准”，审视这个分式的欠美之处：分子、分母含有“重复”的因式，显得有些“臃肿”.然后引导学生与分数进行类比，得到“美化”的结果.
如此设计，把数学知识的运用与数学中的美有机结合起来.整堂课从引入、探索得到分式的基本性质和基本性质的运用，始终围绕着“美化”这一主线展开，各个教学环节成为展示美、体现美的有机组成部分，让学生在愉悦的氛围中掌握了数学知识，使学生更好地感知和理解数学美，而且能使学生在愉快的数学审美活动中陶冶情操，同时还能激发学生学习数学的兴趣，提高学生对数学美的欣赏能力.
苏霍姆林斯基说过：只有当教师的知识视野比学校教学大纲宽广得无可比拟的时候，教师才能成为教育过程的真正的能手、艺术家和诗人.从以上的教学样例设计可以看到，教师通过对教学样例的合理设计，让数学课堂学习活动中的核心活动资源更加贴近学生，符合学生认知规律，使教材更为有效，能从根本上体现学生学习的主体性，使课堂的内涵更加丰富，使教材得以充分利用，使课堂教学更有效，新课程的理念能得到真正落实.