网络微研：关于“-是二次根式”的争鸣，本文主要内容关键词为：根式论文,网络论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的缘起 英国思想家培根有一句名言：“伟大的哲学，始于怀疑，终于信仰.”“中国数学教育之友”QQ群成立以来，得到了广大教师的欢迎，并在群中交流各种思想和做法，形成了“网络微研”的讨论氛围.教师提出的问题都是教学中遇到的实际问题，得到了专家和教师的积极讨论，各种观点的交锋为教师提供了多角度的视野，促进了教师的专业发展. 教师在网络上提出了这样一个问题：“-
是不是二次根式”，吸引了许多教师和专家学者参与讨论.综观整个网络研讨内容，笔者感觉其实质就是一次“关于描述性定义”这类数学概念教学理念的一次深入研讨，为丰富视角，促成更多更广泛的交流，笔者整理了这次网络研讨中有关教师、专家的发言和笔者的个人见解，供参考. 二、研讨纪要
：-
是二次根式吗？
：-
是二次根式.
：我感觉说“-
是二次根式”跟定义有点矛盾.有的教材对二次根式是这样定义的：一般地，我们把形如
（a≥0）的式子叫做二次根式.式子-
比二次根式
多了一个负号，按教材中定义判断应该不是二次根式；承认“-
是二次根式”，那么教材中关于二次根式的定义就有问题.
：定义应该没有问题，教材中的定义只说明了“二次根式”概念的一个核心部分.
：定义说“形如
（a≥0）的式子叫做二次根式”，这种定义方式是“白描”.
：淡化概念，纠结于这个问题是没有出路的.
：是的，淡化概念，纠结于这个问题是没有出路的.
：但是学生问到：为什么-
是二次根式？学生拿出教材中的定义跟我理论，定义：形如
（a≥0）的式子叫做二次根式.而与-
形式不同，我该怎么给学生解读而又不出现逻辑上的矛盾？
：一个表达式如果没有二次根式的外形，则其一定不是二次根式，如果有二次根式的外形，其未必就是二次根式.把-
看成一个对象的话，就是二次根式了.
：你认为是二次根式呀？
：-
明明是二次根式，但用教材中的定义没办法给学生解释清楚.
：你为什么认为明明是呢？
：根据教材中的定义，-
应该不是二次根式，但我上学时学到的和许多老师都说是，我现在也说不清，我非常怀疑这个问题，是定义不够严谨，还是-
就不是二次根式呢？问题是明天要给学生做个明确解释.
：按照定义思维是数学的基本思维方式，从逻辑的角度分析，-
应该不是二次根式，应该是二次根式的相反数，这个定义是描述性定义，这种定义不可能给出严格、清晰的外延，都是通过例子来逐渐澄清的.
：我也是这么想的，但今晚查了许多辅导书都认为-
、
等是二次根式，我感觉它不符合定义逻辑上的思维呀.
：但是不能因为不严格就可以不遵守，a是代数式、2a是不是呀？像这样的是代数式，怎么叫像呢？这就是教育数学与数学科学的区别.
：有道理，“怎么叫像”这是理解的关键，注意“教育数学”与“数学科学”的区别！
：告诉学生数学生长于原始概念和公理，这些原始概念在数学里有很多，想探究清楚就好好学数学吧，如果有学生以后从事数学专业的研究，就可以研究这个问题了，不要给学生所谓的正确结论，给他们想象的空间也是我们数学教师的责任，只有这样他们才能对数学更有探究的兴趣.比如，0是不是自然数的问题，怎么看？
：由于学生理解能力不够，所以不能学习严格的公理化定义，教材中才出现这些通俗易懂而不严格的定义，才导致判断的不够清晰.
：模糊一点的好.
：不能理解为数学模糊点好，教材对有些数学概念用“描述性定义”是为了能够让学生从形式上理解，为抽象的数学科学学习奠定基础，就像函数概念、数概念的不断深化一样.
：我的意思是对于这类描述性定义，也就是教材中出现的通俗易懂而不严格的定义，不能深究，越深究越道不明，所以说模糊一点的好.
：数学应该在一定范围内推理上不出现逻辑思维上的矛盾呀，数学的美就在于追求到不出现矛盾的目的，所以用这个描述性定义去给学生课堂上解释-
是不是二次根式的问题，怕是明天课堂上下不了讲台，要挂黑板了.
：由于定义的不严谨，结论差异就很自然了，没有必要纠结这个问题，只是通过一个通俗的概念给学生一个数学词汇而已，关键是要让学生能够用这个概念表述关于开平方的活动，数学学习的核心是科学需要的学习，需要时能正确使用就行了！
：您说得对，我们不要纠结于“式子-
、
是不是二次根式？”的问题，即使不是，也不影响遇到类似-
+
这类问题的化简和运算.
：按照定义判断就行了，这类题是为了理解这个概念而设计的，而不是要修正概念，不要强化这类问题，模糊概念模糊理解.按照定义判断，这就是要求学生要养成数学的思维；怀疑概念是创造思维.别做没用功了啊！你还能给公理找到证明吗？只能说明一下，承认就行了.明天你就向学生客观表述不同的观点，给学生留下空间，就行了，可以说清楚呀.
：好的，有点儿意思了，我会继续查找与思考下去的，谢谢大家啦. 三、研讨的继续 “教什么永远比怎么教更重要”，群中的讨论虽然暂时告一段落，但问题“-
是不是二次根式”引发的思考并没有停止，查阅已经发表的文献资料，笔者对“二次根式”的概念及教学有一点新的认识. 1.了解“二次根式”的地位 “二次根式”的内容是初中阶段“数与式”内容的最后一章.因此，它不仅要承担二次根式知识的教学，而且也承担整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.通过本章的学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程和二次函数等内容的学习做好准备.本章的重点是二次根式的运算和运算法则；难点是在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯. 2.关于“二次根式”的概念
具有以下3个条件的根式称为最简根式： （1）被开方数和根指数互质； （2）被开方数的每一因式的指数都小于根指数； （3）被开方数不含分母. 根指数相同的根式称为同次根式.当几个根式化为最简根式时，如果它们的根指数和被开方数都相同，则称这些根式为同类根式. 现在不同教材对二次根式的表述也有一定的差异.比如： （1）一般地，我们把形如
（a≥0）的式子叫做二次根式； （2）一般地，形如
（a≥0）的式子叫做二次根式，式子
也看做二次根式； （3）我们把形如
的式子叫做二次根式； （4）一般地，式子
（a≥0）叫做二次根式； （5）像
这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0. 从上面罗列的定义可以看出，不同教材对二次根式的定义表述不尽相同，但是都符合描述性定义的特点.有的明确规定“二次根式中的被开方数大于或等于0”，有的没有规定.只不过我们初中课程中学习的知识都是在实数的范围内，一旦数系扩大到复数范围内，这条规定也就没有必要了，所以有的教材中就没有说“a≥0”是二次根式必备的条件.因此，对于“-
是不是二次根式”实在没有纠结的必要，正如
所说：“通过一个通俗的概念给学生一个数学词汇而已，关键是让学生能够用这个概念表述关于开平方的活动，数学学习核心是科学需要的学习、需要时能正确使用就行了！” 3.关于“式子-
是不是二次根式”的问题 -
按定义确实不是二次根式，这是现行课程及教材下必然的结果.教材中对二次根式的被开方数规定不出现字母.因此，二次根式名义上是式子，但根本上只能并入到实数的范畴（算整式），于是无理式不见了，代数式到了有理式就结束了.作为教师，就不要过于纠结.如，
从数的角度看是个无理数，从式的角度应该是二次根式（整式）但不是无理式.因此，笔者觉得对学生的要求是能知道这种说法也就可以了，有些概念的区分在教师的层面探讨是可以的，但最好不要作为试题出现去考查学生.教师在课堂上，“化简下列二次根式”会脱口而出，其实严格讲是不对的，化简的可能是含有二次根式的代数式，因此有些教材上只说明化简，或者是计算，而不说是化简下列二次根式，就是怕出与概念矛盾的争议.其实这种问题的严谨性本身并不影响数学推理系统的严谨性，深究对学生实在是没有意义的. 4.关于“描述性定义”教学的问题 史宁中教授依据数学概念的深度将数学概念分为白描、归纳和抽象3个层次.如，教材中二次根式的概念属于白描层次，以描述性语言来定义，这类概念相对比较直观，可以从外形上直接观察和识别，但对概念的本质揭示不够.因此，为了促进对概念本质的理解，在以白描的方式给出概念后，有必要对概念做进一步的分析，以达到更高的层次.对于二次根式概念的教学，要从运算的角度提出学习任务，从大量的具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方式概括出二次根式的本质属性.教材编写者在教材分析的文章中讲：在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教材结合例题对此进行了较详细的分析.从教材的安排中也可以看出：研究二次根式的概念和运算既是数学内在的需要，又是实际的需要.因此，在教学中，我们应该引导学生在解决实际问题的过程中认识二次根式的有关概念和运算，通过分析开方运算的意义使学生认识被开方数为非负数的合理性，并通过简单的变式，使学生养成看到“根号就要注意被开方数的符号”的习惯.这样才能有助于学生理解二次根式的本质，调动学生学习数学的积极性. 5.关于“淡化概念”教学的问题 淡化概念教学不是不要概念教学，而是把教学的重心放在理解数学的本质上.“二次根式”这一章的重点是熟练运用法则进行二次根式的运算.教材在编写“二次根式”这一章时，对于概念，编写时遵循淡化概念名词，突出概念实质的原则.例如，本章在介绍二次根式的乘除运算时，没有给出分母有理化的概念，而是结合具体例子说明了分母有理化的要求.再如，对于二次根式的加减运算，教材回避了同类二次根式的概念，突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法.这样处理内容的目的是使学生将学习的重点放在理解数学的本质上来.因此，作为数学教师，在教学中应该注意体会教材的编写意图，突出数学本质，培养学生的数学能力. 6.关注“教育数学”与“数学科学”的区别 初中教师课堂上是在讲“教育数学”，它不同于“数学科学”，“教育数学”有“教育数学”自身的特点，它要关注学生的理解、接受能力.章建跃先生在谈人教版教材关于对有理数概念的处理时讲到：有人从数学的严谨性出发，认为我们教材中给出的“整数和分数统称为有理数”的说法不对，因为“整数是分母为1的分数”.根据这样的意见，我们在上一版中作出调整，给出了下面的说法：整数可以看作分母为1的分数.正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数.这样写确实更严谨了，但是在课堂调研和学生访谈中发现，刚上初中的学生，他们对“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数”，以及分数分为“真分数”和“假分数”的认识是牢固的，如果这时过分强调整数与分数的统一，在学生对数的认识上并没有实质意义，反而引起学生的认知困难.所以，我们认为这样的严谨性没有实质意义.为此，本章采用先归纳已学过的数的类型，再给出“正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数”，最后在章小结中严格化为“由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成
（p、q是整数，q≠0）的形式；另一方面，形如
（p、q是整数，q≠0）的数都是有理数.所以，有理数可用
（p、q是整数，q≠0）表示”.从而使学生对有理数概念形成完整的认识.教材的编写考虑到学生理解能力，所以教材中出现了不少的通俗易懂而不太严格的描述性定义，对于这类描述性定义的数学概念，教学时应尽可能地多举事例，让学生通过实例进行抽象概括，达到理解数学的本质，继而上升为概念，同时再从实践中寻找应用.而不要去过分追求严谨的定义.如，“负数”是从现实生活到数学的一个提炼过程，本质上是数学建模、化归.因此，负数的教学必须充分发挥学生生活经验的作用，让学生有机会通过自己的举例、思考、探究，借助这些经验体会负数概念.不要过分地追求有理数概念的逻辑严谨性，特别是在开始阶段，不要给出形式化的表示，只要学生知道有理数集包含哪几类数就可以，能够运用这些词汇去表达数学事实就行了，过度进行概念的细微辨析没有实际价值，如果想培养学生对数学的兴趣，去研究这些问题也可以，但是用数学更值得研究.数学学习的核心是科学需要的学习，需要时能正确使用就行了！ 【编辑手记】本文所探讨的问题颇为典型.在教学中，确实会遇到一些概念、规定，其本身存在一定的争议，而即使最终能够探讨明白，也并没有什么太大的价值.有些教材的编写者认为应尽量避免在这种无意义的问题上浪费时间，但是，在学生提出这类问题时，总是采取绕开的策略也未见得有利.本文对此类问题的思考，是一种可借鉴思路.当然，换一种思路，从这些模糊有争议之处出发，就可以发现，对于严谨性的追求正是数学学科发展的动力之一，比如说，对于微积分的研究，如果只满足于会算，得出的结果符合实验结论，那么可能就没有18世纪分析学的发展.所以，有的问题看似无价值，但其中所蕴含的思维取向却未见得没有意义.特别是，作为教学研究，不应把实用价值作为唯一的评价取向.
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