希尔伯特对现代数学的贡献，本文主要内容关键词为：希尔伯特论文,贡献论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“这不是数学，这是神学”，据说数学家哥尔丹（P .A .Gordan，1837—1912）（注：德国数学家，是著名女数学家诺特（E.Noether，1882—1935）的博士论文指导教授。）在读到希尔伯特关于不变量系有穷性的天才横溢的证明时，曾这样脱口惊呼。在这里我想和大家谈谈，这一希尔伯特藉以成名的定理到底意味着什么。首先让我们来回忆一下含多变元，比如x和y的多项式，这是一些如同3x[3]y－5xy[2]＋4x[5]这样形式的式子，这是我们早在中学时代就学到过的，在这些式子中，只允许应用加法、减法和乘法。这样的式子很自然地会出现在数学的不同分支里。如果我们对平面上的点用它的坐标x和y来描述，那么这一点距离坐标原点的距离的平方就可表为x[2]＋y[2]。如果我们把原来的一对坐标轴换成另一对旋转了的坐标轴，那么点的坐标值就相应改变了。新坐标的值是可以借助老坐标给出来的，比方说x变成（3/5）x－（4/5）y，y变成了（4/5）x＋（3/5）y，现在用新的坐标来计算我们的点到原点的距离平方，那么它应该是新坐标各自平方后再相加，显然我们完全可以省去这番计算，因为结果仍然是老的距离平方。于是我们就说，相对于以（3/5）x－（4/5）y易x，以（4/5）x＋（3/5）y易y这个替代，多项式x[2]＋y[2]是“不变的”。这样的一个替代则叫做变元的变换。并不是每个多项式都具有这样的性质，大多数的多项式对这些变换而言都不会是不变量。于是我们自然地会提出这个问题，即找出全部的不变量。我们不难证明，对于上述那样的变换，x[2]＋y[2]是本质上唯一的不变量，就是说，所有其他的不变量都可以通过它表示出来，比方说4（x[2]＋y[2]）[4]－2（x[2]＋y[2]）。
在几何学中，除了旋转之外，还有一些其他类型的变换。每次我们都可以提出这样一个相同的问题：
给了一些变换所组成的变换群。求（相对于它）的不变量系。证明：这系中的有限个已经足够表出所有其他的不变量。
在希尔伯特之前，人们尝试把这些不变量一个个地算出来，从而证出其有限性。当变元数目很多而变换群又很复杂时，这简直是一件完成不了的工作。因此在当时的文献中，塞满了长达许多页的算式的论文屡见不鲜，其冗长的程度只有那些给出月球运动的公式能跟它们比拟。
希尔伯特就是在这样的数学氛围中成长的。可是在他早期的文章中，他已经认为这条必然会充满荆棘的路是不足取的。他一定很早就认识到，唯有一个思想上的突破才能帮助他在这个问题上有所进展。
到了1890年，他果然对一些最重要的变换群提出了一个其不变系的有限性的证明而使数学界大为震惊。他在证明中用到了一个他在两年前就已得到的定理，这定理说：
设给了一个由一些多项式组成的任意集合M， （希尔伯特心里想的是把M应用为不变量系）。那么总存在M中的有限个多项式f[,1]，f[,2]，…，f[,n]，使得M中的任何一个（其他的）多项式f都能写成：f＝g[,1]f[,1]＋g[,2]f[,2]＋…＋g[,n]f[,n]，其中g[,1]是某些多项式。
现在人们开始理解，为什么哥尔丹把这一证明称为神学了。 如果M是一些我们还未知的不变量作成的集，而我们预先就知道肯定存在着同样是未知的不变量f[,1]，f[,2]，…f[,n]， 而且它们满足上面所提出的条件。仅仅借助这唯一的一条定理，希尔伯特就把整个问题解决了。
希尔伯特对这条辅助定理的意义是完全了然于胸的，它远远越出了不变量理论的范畴而伸进了代数几何的领域。在那儿这个辅助定理成了一个基本定理，直到今天，任何代数几何里的研究工作都需要用到它。希尔伯特在这个领域里还建立了不少漂亮的定理。他证明了以他命名的零点定理，引入了可数函数，后者在今天仍然在一切深入的探讨中扮演一个卓越的角色。
自1893年起希尔伯特又开始着手代数数论的研究，我也尝试在这里说明一下，这里要做的是些什么工作。
所谓的初等数论（它有时一点也不初等）是高斯建立成今天这样的形式的。它研究的是普通整数的数学性质。其中有些性质我们在中学里就学到了。例如一个数能被3整除，仅当它的各位数字之和能被3整除这个定理、素数的概念以及一些其他的定理等。数论中的定理一向就深深吸引着数学家们。欧几里得就已经证明了素数无穷这一定理。我们还知道许许多多有关数论的定理，例如任一整数恰能以一种方式写成素数的乘积；任一整数都能写成四个平方数的和，比方说30＝16＋9＋4＋1；任一素数，如果它被4除得到的余数是1，那么它就可以写成二个平方数的和等等。
这个困难由库默尔、克罗内克和戴德金通过引入理想的概念而得到了解决。这样一来，上面例子中的6分解为四个理想因子， 它们恰好配成上面给出的两个“真”分解。
这就是代数数论所要讨论的内容。问题是，库默尔所作的研究十分繁复难读，几乎令大多数的数学家望而却步。戴德金的陈述在我们今天读来诚然十分好读而又优雅，但在当时却是太摩登了。因此当希伯尔特的“数论报告”1897年在德国数学会年刊上发表后，所有的数学家都大加欢迎。希尔伯特总结了全部到那时为止所知的结果，并且把库默尔的成就大大加以简化，使它们能为更多人所吸收。即使在今天，每个数论学家不仅要读新的著作，还要时时求助于这一基础性的作品。
要是我们再考察一下上面两个例子中的数：
那么我们立刻就能看到，两者都是在普通整数区域上通过添加一个平方根而得到的。
把这一观察推广一步，我们就可以有这样一个基本立场：设K是一个数域，它的性质我们已经确知无遗。设E是由域K通过扩张而得，也就是通过添加一个新的数。我们要做的是，刻划在E中成立的性质，而且要尽可能只援引关于K的性质。
希伯尔特在他的数论报告中，就已把这个观点放在最主要的地位。
在他到1903年为止的进一步工作中， 他致力于把这一纲领实现在K的一些最重要的扩域，即所谓的阿贝尔扩域中。他设计了一个极精彩的理论并且给出了实现此一纲领的方法。
可惜我不能对这具有里程碑意义的方案作更深入的介绍，因为这会涉及到一些技巧性和特殊性的东西。允许我在这里只是加上这么一句：在继之而起的发展中，希尔伯特的全部猜想都通过由他发展出来的方法得到了证实。对于比阿贝尔扩域更一般些的扩域，我们直到今天得到的成果仍十分地少。
数论报告中的许多定理成了若干整套理论的滥觞。例如其中一条定理，它仅仅被称作定理90。它所蕴含的思想经过继续发展之后就导致了同调代数，一门在我们的学科中目前十分活跃的分支，在拓扑学和代数几何中都扮演着重要角色。
在1900年巴黎的数学家大会上希尔伯特给数学家们提出了23个问题。大家都知道，在数学中，特别是在数论中，提出一大堆当时的数学水平解决不了的问题是很容易的，这样的事经常有人在做。只要举费马大定理或双生素数做例子就够了。可是要挑选出那样一些问题，它们恰好呼应着数学的未来发展，表面看去它们极端困难，经过深思之后却又能证明它们并非不可解，这就不是件容易的事了。希尔伯特提出的正是这一类型的问题，而且其中的多数已经被解决了。许多问题对数学的进展起了极大的丰富作用，而且今天还在继续着。让我们也举出这些问题中的两个来作例子，一个是最先得到解决的，一个是最近被解决的。
大家想必都知道一个很受欢迎的耐心（训练）游戏：给了一些多边形状的硬纸片，请用这些纸片拼出某些图形，比方说字母H 或一颗五角星。以此为背景就不难证明下面这个普遍的结论：
给了两个面积相等的多边形，那么一定能把其中的一个分割成若干多边形的小块，使得这些小块可以拼成第二个多边形。希尔伯特在他的《几何基础》中所给出的关于面积定律的公理化论证就应用了这一事实。
希尔伯特现在问：是否能为相应的体积问题给出一个类似的解法，即能否把一个多面体分成多个的小块并拼成另一个给定的同体积的多面体？他猜想不可能有解。
问题提出几年之后，德恩（M.Dehn，1878—1952）证明了果真是不可能的。他给出了两个体积相等的四面体，它们不可能通过分割拼成另一个。
最近获得解决的问题把我们带回到我在报告的开头所提到的问题。我们说过，希尔伯特关于不变量系有限的证明只涉及了变换群中最重要的那些。希尔伯特进一步猜想说，可能还存在着一个更为抽象的证明方法，应用这个方法，有可能对任意变换群证得其不变量系的有限性。
这个问题使数学家们久攻不下，虽然在这期间对许多别的群，特别是所谓的经典群，也证出了其不变量系的有限性。
经过多位美国数学家的准备工作，终于在几年前，日本数学家永田雅宜（M.Nagata）成功地给出了一个变换群，它的不变量系是无限的。这个结果同时表明了，希尔伯特原来给出的证明方法不是偶然的，它指明了切合问题本质的途径。
我们作为今天的数学家正是在希尔伯特走过的路上亦步亦趋地前进着，他的思想继续活在我们中间，他的工作方法对于我们是光辉的楷模，我们每个人都深知，他的名字永远不会被遗忘。