小学生数学表述状况调查及数学表述教学模式研究，本文主要内容关键词为：数学论文,教学模式论文,小学生论文,状况论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究背景与目的
在科技迅速发展的信息社会中，人们需要拥有运用、处理语言的能力，以表达自己的思想.数学这门学科通过语言来传达知识和意义，而数学活动则是以掌握语言为基础进行概念、公式、原理、方法的学习和问题解决.数学活动中的语言形式包括符号、词语、图形、图像的书面表达以及口头表达等外部交流手段[1]，数学表述正是借助这些外部交流手段得以开展的.
就数学问题解决而言，有研究者提出，成功的问题解决需要问题表述技能和附号运算技能[2]，即是指用文字、图像、表格和等式等进行数学表述和建构的能力.另有研究结果表明，问题解决所使用的数学表述方法通常分为数字表述、图像表述、语言表述、符号表述和双重表述5类.
二、研究过程
1.研究对象
以广州某小学3～6年级的学生及教师为样本进行抽样调查和访谈，发出学生问卷180份，收回有效问卷174份；被试教师29人，平均教龄约14年，教师基本信息见表1.
2.研究工具
采用自行编制的教师和学生问卷、教师和学生访谈实施记录表进行实地调查.学生问卷主要是考察学生问题解决时采用的数学表述类型及存在的问题，问卷包含5道数学题目，其中的问题均为代数题.选择代数题的原因在于，一是所有学生都要学习代数，代数素养无论对学生日后开展工作还是继续深造都有重要意义；二是解决代数问题需要学生理解并会运用各种表述方式，因此可为研究提供丰富的统计素材.教师问卷及访谈内容主要涉及师生对数学表述重要性的认识、影响数学表述的因素、教师对培养学生数学表述能力的体会及遇到的困难等方面.
3.数据收集与整理
学生调查采用团体测量方式，在自习课时对学生进行施测；教师调查则分散地在课间完成.问卷回收后，剔除无效问卷，数据采用Excel进行处理，根据统计结果，有针对性地抽取若干名师生进行访谈，内容按访谈实施记录表中的“访谈提纲”进行.
三、研究结果
1.小学生问题解决中数学表述的状况
（1）不同年级学生数学表述存在差异
虽然不同年级学生面对的问题是一致的，但调查结果显示，不同年级学生问题解决时采用的数学表述类型存在差异.3、4年级学生倾向于使用数字和图像表述解决问题，随着年级的升高，语言表述、符号表述和双重表述被采用的几率逐渐增多，如表2所示.数字和图像表述直观具体，而符号表示则是数学的外部表示，凝结了数学特有的抽象性，概括性，相对来说难以掌握和使用[1]；并且随着年龄的增加，学生思维逐步由具体思维向抽象思维发展，需要学习掌握的知识不断扩展与加深.所以，表2反映的上述变化情况符合学生思维发展的特点和实际的教学规律.
此外还发现，面对一些能够用数字或图像表述解决的问题，高年级学生仍倾向于使用符号表述.究其原因，被访谈的大部分高年级学生在不否定前者正确性的前提下，有的表示学习了新知识就要用，否则学了也没有意义；有的觉得用符号表述会使解题过程详细具体，更加准确有说服力；还有的认为填空题或选择题可以采用数字或图像表述，但是解答题最好规规矩矩用符号表述，这样不至于被扣分.但是，有个别学生对前者的正确性显得犹豫不决，如某些应用题既可用列方程解决亦可用列算式完成，这些学生却对列算式法心存芥蒂，因为他们曾有这样的经历——对类似问题用列算式解决却被老师教导说“学了方程就要会用，不能总用以前的办法”.综上，小学生数学表述的特点及他们的某些想法对教师进行教学反思是有一定意义的.
（2）数学语言的掌握程度是影响学生数学表述的根本原因
正如文[3]所述，“通过对书面考试各个环节的仔细分析后得出，学生在考核中的失败往往不是由于未能掌握相关的算法，而是语言上的困难”.调查访谈结果也表明，问卷成绩不理想的学生对问题无从下手或表述不当的根本原因是数学语言理解、互译和表述能力有限.面对一个数学问题，他们无法从阅读中获取必要的数学信息，不理解问题包含的数学语言，进行语言转译显得无能为力，因而进行表述与解答更无从谈起.此外，被调查的教师们认为，问题解决中影响数学表述的因素包括学生的知识结构、对数学语言的掌握程度、对数学元认知的运用程度、逻辑推理能力、数学语言的书面表达能力、数学解题的时间和环境、题目材料的内容等，其中86.2%和82.8%的教师分别认为学生对数学语言的掌握程度和学生的逻辑推理能力是非常重要的因素，而93.1%的教师赞同前者是最根本的原因.数学问题解决是一个对数学语言阅读理解、转译加工和表述的过程，若存在数学语言的理解和转换障碍，正确地表述也就无法顺利进行.
2.小学数学表述教学方面存在的主要问题
（1）对学生数学表述能力的培养未得到教师的足够重视
调查中，96.6%的教师赞成数学表述是一种语言活动，认为数学表述在学生学习中起着非常重要或比较重要作用的教师分别占51.7%和44.8%；但是，平时真正能够注重学生数学语言掌握的教师只有27.6%，而且仅有10.3%的教师有意识地开展过表述教学培养学生数学表述能力，至于进行数学语言和数学表述教学法研究的教师则几乎没有；总体上来说，72.4%的教师认为在目前教学体制下教师们对数学表述的重视程度一般.由此可见，教师们并未足够重视学生数学表述能力的培养.
（2）数学表述教学质量不高
尽管有少部分教师有意识地开展数学表述教学，但是基本上都认为教学效果一般.经调查访谈得出影响教师开展数学表述教学的因素有：教师方面，一是驾驭数学语言的能力有限，有的教师表示由于对某些数学语言理解不深刻，不仅有时自己数学表述模棱两可，而且对学生的指导力度也大大减弱；二是对数学表述的教学价值认识不清，不少教师认为平时的教学都是在运用数学语言与学生交流，刻意开展表述教学没有必要和意义；三是研究意识不强，大部分教师反映很少进行数学教育理论学习，对数学表述教学的内涵、特点、程序无深入认识.学生方面，包括学习水平差异、对数学语言的掌握程度、与他人交流的能力、学习数学的兴趣、惧怕教师的心理、害怕同学嘲笑的心理、数学语言的书面和口头表达能力等.其他方面，包括教学任务和考试竞争的压力、学校管理体制、表达的机会、课堂气氛、专家指导的机会等.总体来说，受多种因素影响，数学表述教学情况并不理想.
（3）有待加强数学语言的教学力度
从问卷统计结果和与学生交流中发现，很多数学表述能力不强的学生不仅存在数学语言的理解障碍，也存在数学语言的转换障碍.比如，不能完全理解数学词语，未能把握数学语言之间的联系；不能将图表（形）语言转化为文字语言，或者不会将文字语言转译为符号（数字）语言.上述数学语言障碍直接影响学生的数学表述，学生或者不能表达出来，或者表达有错误，或者表达不全面、不清楚，或者不能用不同的语言表达形式表达同一个数学信息[4].就数学问题的解决而言，其实质，就是不断地变更、化归与转化数学命题.化归与转化当然是以数学语言作为思维的载体.教学中，教师务必加大数学语言理解与转译的力度，不仅要注重数学语言的纵向沟通，同时也要加大数学语言的横向转译[5].因此，学生表述能力的培养与提高离不开加强数学语言的教学力度.
（4）学生数学交流能力有待提高
数学表述能力是指用数学语言表达数学思维的一种能力，包括数学语言口头表达能力和书面表达能力.数学表述能力的培养离不开数学语言的掌握，同时也离不开运用数学语言进行数学交流的能力.但调查结果显示，在讨论数学问题时，86.2%的教师反映很少的学生能够用合理的表述方法主动交流思想；被访谈的学生除少部分愿意认真思考并大胆与其他同学进行交流外，其他学生表示或者听他人怎么说，自己不思考也不发表意见，或者自己思考但不参加谈论.至于不愿交流的原因，有的学生心理存在障碍，怕说错被人笑话，有的自己理解但不知道如何表达，有的不愿意独立思考只想等待老师讲解.由此可见，学生在与他人交流合作方面表现并不理想，应得到更多的鼓励和引导.
四、讨论与建议
综上，通过调查访谈，不仅发现问题解决中小学生数学表述具有年级不同采用表述类型倾向性不同的特点，而且挖掘出影响小学生数学表述的根本原因是数学语言的掌握程度；同时，还得出目前的小学数学表述教学方面存在以下问题，如，教师对数学表述的重视程度一般，数学表述教学质量不高；学生数学语言理解和转译的能力欠佳，数学交流能力有待提高.这些调查结果对教师实际教学具有一定借鉴意义.
1.数学表述与数学语言和数学交流的关系
数学语言是一种科学语言，可归结为文字语言、符号语言和图形语言3类，而数学表述正是以这些语言形式为载体进行的书面语言活动或口头语言活动.因此，数学语言的掌握是顺利进行数学表述的基础.而数学语言可以于数学表述过程中得以学习、运用和检验，所以，在数学教学中重视表述教学对巩固与发展数学语言有重要意义.
数学交流与数学表述是数学能力的重要组成部分，是学生学习的重要方式.课堂中的数学交流表现为学生与教师、学生与学生以及学生与数学本质的对话，可以将这种对话中的一部分视为以数学语言为载体的语言活动.由此可见，一方面，借助于数学表述，人与人之间的交流维度大大拓展；另一方面，数学表述能力的培养与提高需要一个良好的交流环境.
综上，数学语言、数学交流与数学表述关系密切，是数学表述教学中不可或缺的两个重要元素，这一点将在构建数学表述教学模式中给予体现.
2.构建小学数学表述教学的新模式
目前，国内有关小学数学表述教学的研究并不多，文[6]的作者积极探索，总结出一种行之有效的教学方法——小学数学表述教学法.“运用表述教学进行教学，教师先向学生提供丰富的经过精心加工编排的感性材料，让学生对所学知识的重点、难点进行充分的感知.然后把这些感性知识，运用语言、操作、画图等方式，进行比较集中的有序的表述.接下来，教师指导学生自学新教材.在此基础上，组织学生进行初步练习.最后由教师进行讲解.概括地说，表述教学法的基本结构可以划分为5个阶段，即感知阶段→表述阶段→自学阶段→练习阶段→讲解阶段.”本文将结合前面的研究结果，尝试构建一种新的数学表述教学模式，刻画出师生在教学中共同进行数学表述的过程，具体框架如图1所示.
（1）教学环节
环节一：教师分析背景.为了制定教学目标、理清教学重难点、选择教学方法，首先，教师要对数学内容进行分析，数学知识与数学语言不可分离，前者以后者为载体得以呈现；其次，教师要对教学中师生将要使用的数学语言，如定义、术语、公式等进行深入研究；最后，进行学情分析，也就是对学生先前掌握的表述知识进行分析，力求在学生应该使用的正确的数学语言和学生的可接受性之间取得平衡.
环节二：教师制定实施教学计划.有了环节一的分析结果，教师可以有的放矢地在学生的“最近发展区”内制定实施教学计划.
环节三：学生进行数学表述、数学交流.此环节是整个框架的关键，要求教师营造自由交流的氛围，引导、鼓励学生选择合适的表述方式，运用数学语言表达、交流数学思想.在此环节，学生被引入了一个交互的过程——通过数学表述探索知识、掌握语言、交流思想，知识、语言获得发展后又反过来促进数学表述的进行.
环节四：教师评价数学表述.环节四与环节三相互作用，教师对学生的表述情况做出及时反馈、给予合理评价，如评价学生学会了什么、没掌握什么、哪里存在理解误差等；然后根据评价结果再反过来为学生提供正确的引导.
环节五：教师制定下一步教学计划.对学生表述情况的评价为教师制定下一步教学计划提供依据，教师依此决定是否学习新的数学内容或对原教学内容给予拓展、是否需要改变教学策略用另一种方法进行教学，是否重新回到前面环节花更多时间帮助学生学习等.
上述5个环节构成一个循环框架，突出学生进行数学表述的主体地位，将教师教学与评价有机结合——根据教学情况进行评价、依据评价结果制定新的教学计划，并体现出数学语言、数学交流在教学中的重要作用.实际上，框架中的每个环节都给教师提供了发挥教学智慧的平台，与其说本文提供的是一种教学模式，不如说是一种教学方向的指引——指引教师将数学表述教学融入日常的每一节课之中，引导学生在“说”中学.
（2）教学建议
①加强教师数学教学语言的学习.在数学表述教学中，教师要发挥示范作用，采用口头表达、书面表达或两者结合的形式，规范地使用数学语言进行教学；积极引导学生对每一个概念、每一个法则、每一个数学问题等都能用正确的数学语言进行表述，并在不同的语言表述形式之间进行合理的转换；同时对学生的数学语言表述做出及时评价，纠正学生数学表述的错误与不足，帮助学生真正掌握数学语言与数学表述.这就要求教师加强数学语言和数学教学语言的学习.正如赵宪初老师所说：“不少数学老师责怪学生没有学好语文，也责怪语文老师没有教好语文，以至学生因为语文方面的障碍而影响了学好数学.其实，责怪学生，责怪语文老师都是没有道理的.语文老师只教一般的语文知识，而数学里的词和句，有它自己的特点，语文老师是教不了的.根据数学的特点讲一点语文知识，是我们数学老师责无旁贷的分内事”[7].
②创造“数学园地”，提供表达时空.由学生的年龄特征和表达的一般规律决定，学生需要在一种和谐、民主、互助的课堂氛围中才能做到乐于表达，善于表达[8].正如英语学习的最有效办法是到英国生活一段时间一样，数学语言的学习、运用也需要一个良好的交流环境.因此，数学表述教学的一种有效方法就是为学生创造一个“数学园地”，一个到处充满着数学味道的教学氛围，在这种良好的氛围中，学生有宽松的时空进行思考与语言加工；有充分的机会进行数学交流与表述；有积极的心态面对表达的对与错.
③加强语言教学，培养表述能力.数学语言的口头表达与书面表达能力的培养是提高学生数学表述能力的关键，两者缺一不可.口头表达与书面表达都是数学表述教学中的重要语言活动，教师希望学生能够严谨、清晰地表达自己的思想，做到言之有理、书写有据，但是学生往往表述得不连贯、不完整，这是学生思考过程不畅、语言加工有误的外在表现.所以，培养学生的口头与书面表达能力，必须让学生理解数学语言、认清数学语言间的关系、会在不同数学语言形式间灵活转换、对同一数学信息能用不同语言表达形式表达，这将是一条漫长的培养道路.在此过程中教师要身先士卒，深入分析教学内容，准确掌握数学语言，以自身严谨的教学态度促成学生表述能力的发展.
④认清并处理好一些矛盾.数学语言严谨、精确、抽象，不同年龄特点的学生接受程度不同，因而不同教学阶段的数学语言是有所差别的；此外，教学时，教师不仅使用抽象的数学语言，往往也采用形象生动的教学口语.所以，在数学表述教学中，要处理好学生可接受性与应采用的正确数学语言之间的矛盾，以及教师所采用的数学教学口语的模糊性与数学语言的精确性之间的矛盾.
本文根据小学生问题解决中数学表述状况的调查结果，初步构想了一种小学数学表述教学模式，至于该模式的可行性、有效性，需要处理的关系及应注意的问题都需在实际应用中得到解决与检验.由于篇幅有限，作者将在今后的研究中再做更深入的探讨.
致谢：感谢杨丹妮老师、翁秀萍老师对此研究的调查工作提供的大力支持与帮助！