一类具有限制联盟结构的合作对策的两阶段Shapley值

王利明^1,2

(1.内蒙古财经大学 统计与数学学院,内蒙古 呼和浩特 010070; 2.内蒙古经济数据分析与挖掘重点实验室,内蒙古 呼和浩特 010070)

摘 要: 讨论一类具有限制联盟结构的合作对策，其中局中人通过优先联盟整体参与大联盟的合作，同时优先联盟内部有合取权限结构限制，利用两阶段Shapley值的分配思想并考虑到权限结构对优先联盟内合作的限制，给出了此类合作对策的解。 该解可看做具有联盟结构的合作对策的两阶段Shapley值的推广。 证明了该解满足的公理化条件，并验证了这些条件的独立性。

关键词： 合作对策; 联盟结构; 权限结构; 两阶段Shapley值

0 引言

在合作对策中，联盟结构是指局中人集合的一个划分,划分中的每个子集表示局中人结成的一个优先联盟。 优先联盟内的局中人或者同时参与合作，或者同时不参与合作，即以整体的姿态参与大联盟的合作。 很多学者对具有联盟结构的合作对策进行研究，给出了解的概念，如Owen值^[1]，Banzhaf-Owen值^[2],对称联盟Banzhaf值^[3]等。 2009年，Kamijo^[4]从不同角度定义了具有联盟结构的合作对策的一个解，因在优先联盟之间和优先联盟内部分别计算Shapley值，称之为两阶段Shapley值(two-step Shapley value)。

2.价值标准多元趋向明显。学生的思想道德标准逐渐增多，追求不同的价值观，是非观念日渐淡薄，出现一些与主流价值标准不同的判断标准，对构建社会主义核心价值体系工作有一定程度的冲击。

在经典的具有联盟结构的合作对策中，通常假设优先联盟作为一个整体互相之间可以任意结盟，优先联盟内部的局中人也可以任意结盟。 然而在现实生活的合作实践中，经常会出现优先联盟之间或内部结盟有限制的情形。 基于此，学者们讨论了具有限制联盟结构的合作对策。 例如，Kongo^[5]，van den Brink等^[6]，Béal等^[7]研究了优先联盟之间和内部具有交流结构限制的合作对策，Meng等^[8,9]研究了凸几何上的具有联盟结构的合作对策、扩张系统上的具有联盟结构的合作对策，孙红霞等^[10]研究了优先联盟之间具有格结构的合作对策。

在文献中被广泛研究的另外一类具有合作限制的合作对策是具有权限结构的合作对策^[11,12]。 在这类合作对策中，局中人需要其上级的许可才可以参与合作并发挥作用。 本文讨论局中人结成优先联盟参与合作且优先联盟内有权限结构限制的合作对策。 利用两阶段Shapley值的分配思想给出这类合作对策的一个解，证明其满足的公理体系，并通过例子验证了公理的独立性。

1 预备知识

1.1 合作对策

用N ={1,2,…,n }记局中人集合，v :2^N →R 满足v (Ø)=0，则称(N ,v )为一个合作对策。∀E ⊆N ，v (E )表示联盟E 内局中人通过合作获得的收益。 在不致引起混淆的情况下，合作对策(N ,v )也用其特征函数v 来表示。N 上的所有合作对策记为G ^N 。

设N ′⊆N ，称(N ′,v |_N′ )是(N ,v )的一个子对策，其中v |_N′ 是v 限制在N ′上得到的函数，即v |_N′ (E )=v (E )，∀E ⊆N ′。 如果v ∈G ^N 满足v (E )≤v (F )，∀E ⊆F ⊆N ，称v 是单调的。 如果i ∈N 满足v (E ∪{i })=v (E )，∀E ⊆N\ {i }，则称i 是v 中的零元。 如果i ∈N 满足v (E ∪{i })=v (E )+v ({i })，∀E ⊆N\ {i }，则称i 是v 中的哑元。如果i ∈N 满足v (E )=0，∀E ⊆N\ {i }，则称i 是v 中的必要元。 如果i ,j ∈N 满足v (E ∪{i })=v (E ∪{j })，∀E ⊆N\ {i ,j },则称i 和j 在v 中对称。

映射ξ :G ^N →R ⁿ 称为合作对策的一个单值解(简称解)，其中ξ _i (v )表示分给局中人i ∈N 的收益分配值。Shapley值^[13]是被广泛应用的一个单值解，定义如下:

Sh _i (v )=

(v (E )-v (E )\ {i }),∀i ∈N

1.2 具有联盟结构的合作对策

若Γ ={C ₁,C ₂,…,C _m }是N 的一个划分，即满足C ₁∪C ₂∪…∪C _m =N 且C _k ∩C _l =Ø,k ≠l ，则称Γ 为N 上的一个联盟结构。N 上的所有联盟结构记为C ^N 。 称三元组(N ,v ,Γ )为一个具有联盟结构的合作对策，其中v ∈G ^N ，Γ ∈C ^N 。 记M ={1,2,…,m }为优先联盟下标的集合，在下文中用k ∈M 表示某个优先联盟C _k 。 在M 上定义商对策∀K ⊆M 。在商对策u 中，将优先联盟C _k 作为一个整体来看待。u (K )表示优先联盟集合K 能够获得的收益。

映射ξ :G ^N ×C ^N →R ⁿ 称为具有联盟结构的合作对策的一个解。 Kamijo^[4]定义的具有联盟结构的合作对策的两阶段Shapley值如下：

1.3 具有权限结构的合作对策

若映射S :N →2^N 满足i ∉S (i )，∀i ∈N ,则称S 为N 上的一个权限结构。 对任意i ∈N ，j ∈S (i )称为i 的直接下级。N 上的权限结构的全体记为S ^N 。映射称为权限结构S 的传递闭包，如果对任意∃(i ₁,i ₂,…,i _m ),s.t.i ₁=i ,i _k+1 ∈S (i _k )(1≤k ≤m -1),i _m =j }。 对任意表示i 的所有下级(直接和间接)，用集合表示i 的所有上级。

称三元组(N ,v ,S )为一个具有权限结构的合作对策，其中v ∈G ^N ，S ∈S ^N 。 映射ξ :G ^N ×S ^N →R ⁿ 称为具有权限结构的合作对策的一个解。 这类对策的解与权限结构对局中人合作的限制有关，本文讨论合取权限结构，即局中人需要所有上级的许可才能参与合作^[11]。∀E ⊆N ，称集合⊆E }是联盟E 的自主集，集合Ø}是E 的授权集。合取Shapley权限值φ :G ^N ×S ^N →R ⁿ 定义为:φ _i (v ,S )=Sh _i (v ^S ),∀i ∈N ,其中v ^S (E )=v (σ (E ))，∀E ⊆N ，为对策v 关于权限结构S 的限制对策。

van den Brink等^[12]对合取Shapley权限值进行了公理刻画。 下面给出解ξ :G ^N ×S ^N →R ⁿ 需要满足的一些性质。

有效性∀v ∈G ^N ,∀S ∈S ^N 。

当时她先是演唱一首歌，我就悄悄地躲在后台。等她刚刚唱到中间，有一个点是在间奏的时候，我就忽然走出去，拿着奖杯，她一转身看到我，在台上转身就走，我就只好在台上追着她，她就绕着那个舞台一直走，一直不肯接受我给她的这个奖。我跟在她后面，嘴里一直讲，不要这样，Teresa，不要这样，很难看啊……后来她终于拿了这个奖，也没有跟我握手，也没有说谢谢，就转身走掉了。气得我回去就骂林建岳，她根本就不知道是我要给她颁奖！

可加性 对任意v ₁，v ₂∈G ^N ，S ∈S ^N ,有ξ (v ₁+v ₂,S )=ξ (v ₁,S )+ξ (v ₂,S )。

持这种理论的人，主要认为应区别对待“专门用于执行专利方法的产品”、“专门用于制造专利商品的零部件或设备”和“专利产品”、“依据专利方法直接获得的产品”。这些论者一般都认可权利用尽规则适用于后两者，而对于前两者，最多适用默示许可规则。

非本质元性 对任意v ∈G ^N ，S ∈S ^N ，若局中人i 满足所有的是v 中的零元，则ξ _i (v ,S )=0。

结构单调性 设v ∈G ^N 是单调的，S ∈S ^N ，i ∈N 且S (i )≠Ø，则ξ _i (v ,S )≥

必要元性 设v ∈G ^N 是单调的，S ∈S ^N ，i 是合作对策v 中的必要元，则ξ _i (v ,S )≥ξ _j (v ,S )，∀j ∈N 。

真巧，我也三十七。苏楠交换性地报出自己的年龄。农村那个时候离婚更少，杨小水水性杨花？别的原因，都不足以让一对农村夫妻闹离婚啊。这样的疑问当然不能在李峤汝面前表达出来，被害人家住哪里？

定理1 ^[12]合取Shapley权限值φ 是满足有效性，可加性，非本质元性，必要元性和结构单调性的唯一解。

2 联盟内部限制两阶段Shapley值

设局中人集合为N ={1,2,…,n }，Γ ={C ₁,C ₂,…,C _m }∈C ^N 为N 中局中人结成的联盟结构，每个优先联盟C _k 内的局中人之间有权限结构限制，用S _k 表示，∀k ∈M 。用Γ _S ={S _k }_k∈M 来表示这类优先联盟内部具有权限结构限制的联盟结构，N 上的这类限制联盟结构的全体记为用三元组(N ,v ,Γ _S )表示此类合作对策，其中映射称为此类合作对策的一个解。 基于Kamijo的两阶段Shapley值的收益分配思想，并考虑到优先联盟内部权限结构对合作的影响，给出优先联盟内部有权限结构限制的合作对策的一个解，我们称之为联盟内部限制两阶段Shapley值(简称为限制TS值)。

定义 限制TS值定义为:∀i ∈C _t ∈Γ ,其中Sh _t (u )是优先联盟C _t 在商对策u =v /Γ 中的Shapley值，φ _i (v |_Ct ,S _t )是局中人i 在具有权限结构的对策(v |_Ct ,S _t )中的合取Shapley权限值。

注 如果S _k (C _k )=Ø,∀k ∈M ，则限制TS值Ka ^S 就是两阶段Shapley值^[4];如果Γ ={N }，则Ka ^S 就是合取Shapley权限值^[11];如果Γ ={{1},{2},…,{n }}，则Ka ^S 就是Shapley值^[12]。

(3)联盟对称性。若h ,l ∈M 在商对策u =v /Γ 中是对称的，则由Shapley值的对称性可得到Sh _h (u )=Sh _l (u )，再由知联盟对称性满足。

第一步，将大联盟的收益根据商对策u 的Shapley值分配给各个优先联盟，即每个优先联盟C _t 获得的分配为Sh _t (u )。

李扬应用现金比率法对我国1984—1997年的游资相对量进行了分析。〔3〕在此基础上，刘超对1997年至2005年10月国内的社会游资相对量进行了测算。根据李扬和刘超的测算，从1984年以来，M0/(M1-M0)、M0/M1的比率从1984年以来呈现先上升，后下降的过程。M1/(M2-M1)、M0/(M2-M1)的比率总体呈现下降趋势。尤其1992年全面建立社会义义市场经济以来，M0/(M1-M0)、M0/M1比率就一直呈下降的趋势。

第二步，将每个优先联盟C _t 在第一步获得的收益Sh _t (u )分配给内部各个局中人：v (C _t )部分根据具有权限结构的对策(v |_Ct ,S _t )的合取Shapley权限值分配给C _t 内各局中人，优先联盟在第一步获得的合作增益Sh _t (u )-v (C _t )以平均分配的方式分给C _t 内各局中人。

再由有效性得到

v ({1,2})=3,v ({3,4})=3,v ({3,5})=4,v ({4,5})=3，其余v ({i ,j })=0;

v (S )=2|S |，∀S ⊆N 且|S |=3或4;

岗位工作内容是职业标准的一个组成部分，国家职业标准具体列举了职业的完整工作内容。国际商法课程的项目不应该来源于传统教材的目录单元或教师的主观构想，而应来源于职业标准中工作内容，它是国际商事活动中具有相对独立性的一系列典型具体工作。

v ({1,2,3,4,5})=15。

N 上的限制联盟结构Γ _S 为:Γ ={C ₁,C ₂}，其中C ₁={1,2},C ₂={3,4,5};S ₁(1)={2},S ₁(2)=Ø;S ₂(3) ={4,5},S ₂(4)=Ø,S ₂(5)=Ø。

通过计算得到，(N ,v ,Γ _S )的限制TS值Ka ^S (v ,Γ _S )为：

下面给出限制TS值的公理刻画结论，并通过一些解的例子说明这些公理是相互独立的。

定理2 限制TS值是满足下面六条公理的唯一解。

(1)(有效性)对任意有

(2)(联盟非本质元性)对任意称为是非本质元，如果满足所有的是v 中的零元。若i 是(N ,v ,Γ _S )中的非本质元，t 是商对策u =v /Γ 中的哑元，则

Peano轨迹在加工平面零件时得到了良好的效果，但对于非球面零件的加工，Peano轨迹无法确保达到预期的加工结果。因此，文献[42] 在Peano轨迹(图5(a))的基础上提出了更适合于非球面零件加工的类Peano轨迹(图5(b))，在对直径为100 mm的非球面零件加工的实验中，经过145 min的加工，使得面型误差由PV=0.386 λ，RMS=0.056 λ收敛至PV=0.097 λ，RMS=0.011 λ(其中λ=632.8 nm)。

(3)(联盟对称性)对任意如果h ,l ∈M 在商对策u =v /Γ 中是对称的，则

(4)(联盟内部结构单调性)设v ∈G ^N 是单调的，且S _t (i )≠Ø，则≥

(5)(联盟必要元性)设v ∈G ^N 是单调的，局中人i ∈C _t ，i 是子对策v |_Ct 的必要元，则∀j ∈C _t 。

(6)(可加性)任意v ₁，v ₂∈G ^N ，α ,β ∈R ,定义αv ₁+βv ₂∈G ^N 为: (αv ₁+βv ₂)(E )=αv ₁(E )+βv ₂(E )，∀E ⊆N 。对任意有∀i ∈N 。

其中θ [M ]为优先联盟下标集合M 的一个排列，为优先联盟C _t 在商对策(M ,u )中关于排列θ [M ]的边际贡献。ξ ³满足有效性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟对称性。

(1)有效性。由Ka ^S 的定义及Shapley值、合取Shapley权限值均满足有效性，有

(2)联盟非本质元性。设是(N ,v ,Γ _S )中的非本质元，由合取Shapley权限值满足非本质元性，有φ _i (v |_Ct ,S _t )=0。优先联盟C _t 是商对策u =v /Γ 中的哑元，由Shapley值的哑元性，有Sh _t (u )=u ({t })=v (C _t )。因此，

限制TS值Ka ^S 可以看作通过下面的两阶段分配得到的。

(4)联盟内部结构单调性。设v ∈G ^N 是单调的，且S _t (i )≠Ø，首先由合取Shapley权限值满足结构单调性，有φ _i (v |_Ct ,S _t )≥φ _j (v |_Ct ,S _t ),∀j ∈S _t (i ),再由Ka ^S 的定义，对任意j ∈S _t (i )，有≥

(5)联盟必要元性。设v ∈G ^N 是单调的，局中人i ∈C _t ，i 是子对策v |_Ct 的必要元，由合取Shapley权限值满足必要元性，有φ _i (v |_Ct ,S _t )≥φ _j (v |_Ct ,S _t ),∀j ∈C _t 。再由Ka ^S 的定义，对任意≥

本试验同样证明,随着红光比例的降低,蓝光比例的升高,组培苗的鲜重、干重逐渐上升。也就是说,在植株生物合成过程中,高强度的蓝色光处理对组培苗生长具有积极影响,促进了营养物质的积累及植株形态建成。这一结论与陈祥伟、曹刚等[7,19]利用LED对乌塌菜、黄瓜幼苗的处理结果具有较大差异,其原因可能与不同植物种类对不同光质的适应性有关。综合光质与光强两个因素,最适合‘黄皱叶’玉簪叶片生长的条件是RB*100。

若k ∉F ′，则k 是商对策u _F′ 中的哑元，且∀i ∈C _k ，i 是ω _F 中的零元，从而是(N ,ωF ,Γ _S )中的非本质元。 由联盟非本质元性，对任意i ∈C _k 且k ∈M\F ′,Ω _i (ω _F ,Γ _S ) =0。

在建筑工程施工中，要注意资源的可回收利用，合理使用可再生资源，根据工程施工现场地形、地貌，充分利用当地的风能、水能、地热能，提高施工环保性。如，在热水采暖等施工中，可通过循环用水系统与新型采暖管道，提高供暖温度，延长供暖时间。

φ _i ((αv ₁+βv ₂)|_Ct ,S _t )

生物科学史是科学家研究生命现象、探索生命规律的过程。各版教材中都呈现了大量的科学史，如酶本质的探索、光合作用的探索历程、生长素的发现过程等。科学史的价值对于学生不只是需要明白这些知识是如何得到的，更要真正领悟其中的深刻含义。例如，教材安排科学家探索细胞膜化学成分与结构的科学史，目的让学生既能体验到科学探究的魅力，又能领悟到其中的生命观念。因此，在教学过程中，教师既要帮助学生在经历科学家探索历程的基础上形成结构与功能相适应的生命观念，更要引导学生理解结构与功能的统一性是适应环境的表现，是进化的必然结果，从而提升进化与适应的生命观念。

下面证明满足上述六条公理的解是唯一的。设满足上述六条公理。∀F ⊆N ，F ≠Ø，考虑一致对策由于{ω _F :F ⊆N ,F ≠Ø}是G ^N 的一组基，任意V ∈G ^N 可以由这组基唯一的线性表示。 由Ω 满足可加性知，只需验证对任意是唯一的。

记F ′=F /Γ ={k |F ∩C _k ≠Ø}，F ′中元素个数为f ′，商对策u _F′ =ω _F /Γ 为

急性胸痛在急诊内科中是一种常见的疾患[1-2]，指的是突发性胸痛，病情严重者甚至会危及到患者的生命安全[3]，当出现急性胸痛时，应立即去医院进行X线检查、心电图检查，及时确诊并接受对症治疗。急性胸痛的病因复杂，确诊难度大，常见的病因包括张力性气胸、急性主动脉夹层、急性冠脉综合征、急性肺动脉栓塞等，及时鉴别急性胸痛的病因，对于挽救患者的生命及改善预后存在重要意义[4]。超声心动图是一种操作简单且无创的检查方法[5]，本文旨在探讨其应用于急性胸痛诊断中的效果，择取我院收治的急性胸痛患者80例开展本次研究，具体内容见正文阐述。

(6)可加性。设记u ₁=v ₁/Γ ，u ₂=v ₂/Γ 为优先联盟集合M 上的商对策。由Ka ^S 的定义及Shapley值、合取Shapley权限值均满足可加性，容易得到，对任意i ∈C _t ⊆N 有

例 设N ={1,2,3,4,5}，N 上的合作对策定义为:v ({i })=0,∀i ∈N ;

∀h ,l ∈F ′在商对策u _F′ 中是对称的，由联盟对称性，

(1)

分两种情形讨论优先联盟C _k 内部的分配。

情形1 f ′=1。

不妨设F ′={k }，即F ⊆C _k 。用α _k (F )记F 在(C _k ,S _k )中的授权集。若i ∈C _k \α _k (F )，则所有都是ω _F 中的零元，即i 是(N ,ω _F ,Γ _S )中的非本质元。 再由k 是商对策u _F′ =ω _F /G 中的哑元，利用联盟非本质元性得到Ω _i (ω _F ,Γ _S )=0。若i ∈F ，则i 是子对策ω _F |_Ck 中的必要元，由联盟必要元性，Ω _i (ω _F ,Γ _S )≥Ω _j (ω _F ,Γ _S ),∀j ∈C _k 。

由于每个i ∈F 都是ω _F |_Ck 中的必要元，因此存在某个常数c ，Ω _i (ω _F ,Γ _S )=c ,∀i ∈F 且Ω _i (ω _F ,Γ _S )≤c ,∀i ∈α _k (F )\F 。再由联盟内部结构单调性得到Ω _i (ω _F ,Γ _S )≥c ,∀i ∈α _k (F )\F 。结合式(1)，得到

情形2 f ′≥2。

若k ∈F ′，则对任意E ⊆C _k ，ω _F (E )=0。因此任意i ∈C _k ，均是子对策ω _F |_Ck 的必要元。 由联盟必要元性，Ω _i (ω _F ,Γ _S )=Ω _j (ω _F ,Γ _S ),∀i ,j ∈C _k 。

再由式(1)，得到∀i ∈C _k 。

下面通过给出几个解的例子说明定理中公理化条件的独立性。

有效性:令为:∀i ∈C _t ∈Γ ,则ξ ¹满足联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足有效性。

联盟非本质元性:令为:∀i ∈C _t ∈Γ ,则ξ ²满足有效性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟非本质元性。

联盟对称性:设(N ,v )∈G ^N ，θ :N →N 表示N 的某一个排列，记排列θ 中排在i 之前的所有局中人，为i 在(N ,v )中关于θ 的边际贡献。令为:

φ _i (v |_Ct ,S _t ),∀i ∈C _t ∈Γ

证明 首先证明Ka ^S 满足上述六条公理。

联盟内部结构单调性: 令为:

=Ka _i (v ,Γ )

=+Sh _i (v |_Ct ),∀i ∈C _t ∈Γ

则ξ ⁴满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟内部结构单调性。

在对建筑物进行设计时，相关人员需要根据地质情况进行合理的设计，切忌立面复杂的结构设计，要以安全稳定作为建筑设计的基础，同时对建筑物的附加压力受力位置进行合理的调整，要求其受力均匀。

联盟必要元性:定义f ⁵:G ^N ×S ^N →R ⁿ 为:

则f ⁵满足有效性，可加性，非本质元性，结构单调性，但不满足必要元性^[12]。令为：

李建军[1]认为，农业研究与开发体系大致包括政府所属的研究机构，私人公司和其他非政府性的研究机构以及各个国际化农业中心等，而我国已经建立起了以农业科研院所为主体，以农业大学为主干的农业研究与开发体系和独特的农业自助体系，这些体系的职责是实现农业技术创新。农业技术创新是一个系统工程，涵盖了农业技术推广在内的多个环节。本研究的农业科研人员指的是农业科研院所、农业大学内从事农业技术创新的人员，其工作职责包括农业技术研究与开发、农业推广、农业科技成果转化等。

∀i ∈C _t ∈Γ

容易验证，ξ ⁵满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，可加性，但不满足联盟必要元性。

可加性:定义f ⁶:G ^N ×S ^N →R ⁿ 为:

其中则f ⁶满足有效性，非本质元性，必要元性，结构单调性，但不满足可加性^[12]。令为：

∀i ∈C _t ∈Γ

ξ ⁶满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，但不满足可加性。

3 结束语

本文讨论了局中人通过优先联盟整体参与合作，并且优先联盟内部有合取权限结构限制的合作对策，在优先联盟内有些局中人需要获得其他局中人的许可才能参与合作。 利用两阶段Shapley值和合取Shapley权限值定义了这类合作对策的解，并用一组公理唯一地刻画该解，为现实社会中相应情形下的合作收益分配问题提供了一种定量方法和理论支持。 在后续的研究工作中，可进一步考虑其它的联盟结构限制方式，如二级权限结构，即优先联盟之间和内部均具有权限结构限制的合作对策。 或者利用具有联盟结构的合作对策的其它解，如Banzhaf-Owen值，对称联盟Banzhaf值等，从不同角度给出更多的分配方式。

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A Two -Step Shapley Value for a Kind of Cooperative Games with Restricted Coalition Structure

WANG Li-ming

(1.School of Statistics and Mathematics ,Inner Mongolia University of Finance and Economics ,Hohhot 010070,China ; 2.Inner Mongolia key laboratory of economic data analysis and mining ,Hohhot 010070,China )

Abstract :A kind of cooperative games with restricted coalition structure are discussed, in which players participate in the cooperation of the grand coalition through the priori unions as a whole and there are conjunctive permission structures within the priori unions. A solution to this kind of cooperative games is given by using the two-step Shapley value distribution idea and taking into account the limits of permission structure on cooperation within the priori unions. This solution can be seen as a generalization of the two-step Shapley value for games with coalition structures. The axiomatization conditions of the solution are proved, and the independence of these conditions is verified.

Key words :cooperative game; coalition structure; permission structure; two-step Shapley value

收稿日期： 2018- 09-11

基金项目： 国家自然科学基金资助项目(71771025,71661024,71561022);内蒙古自然科学基金资助项目(2017MS0715)

作者简介： 王利明 (1983-),男,山西孝义人,讲师,博士,研究方向:合作博弈。

中图分类号： O225

文章标识码： A

文章编号： 1007-3221(2019)05- 0056- 05

doi: 10. 12005/orms. 2019. 0103

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