基于“三重联系”的课堂教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,课堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2001年版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“体会数学与自然及人类社会的密切联系”①定为总体目标之一，在10年后的《义务教育数学课程标准（2011年版）》中更为明确地提出了“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”②这一总体目标.那么，我们应该如何在具体的课堂教学设计中来体现这一总体目标呢？
本文将结合初中数学教学实践，来谈谈对这一问题的认识，以期望能够引起人们的足够重视，并激发初中数学教育界的相关研究热情.具体而言，我们选择苏科版《数学》九（上）第四章《一元二次方程》的“小结与思考”为例.
所谓单元的“小结与思考”，其实质就是在此前的诸多“知识点教学”③基础上对该单元的学科知识、技能、思想与方法进行整合，以使学生能够对该单元获取一个较为综合、整体的认识.但仅此还不够.因为这样的“小结与思考”所获得的“整体认识”仍然具有很大的局限，不利于学生学科素养的提升与解决问题能力的提高.因此，除此之外，我们还应该在单元复习中，就该单元的内容加强其与本学科其他相关知识之间的联系，以及与其他学科知识之间的联系.
如果还能够把上述双重联系共同置身于“与现实生活的联系”当中，那么，我们相信，这样的单元“小结与思考”将会使学生受益良多.惟有如此，我们才有可能培养有知识、有学识、更能够担责任的人.
就该单元内容而言，首先，第四章《一元二次方程》主要包括一元二次方程在内的相关概念、基本解法及其实际运用与数学模型思想方法等.其次，该章内容与此前我们所学习的“整式”尤其是其中的多项式的因式分解关系密切.第三，由于“解方程”曾经是（西方）数学发展史上某一历史时期的核心甚至唯一内容④，而且它也是解决诸多学科领域理论与实际问题（譬如，经济生活领域）强有力的数学模型.
因此，在分散学习该章内容基础上，通过较为系统的“小结与思考”，学生应该获得一个对“一元二次方程”更为深入的认识：
（1）一元二次方程各解法之间的关系及其逻辑依据.
（2）一元二次方程的解法与多项式的因式分解相关联的核心在于“代数基本定理”（由于因式分解与算术中的因数分解极为相似，我们甚至可以把它们联系起来以作类比，看看是否还会得出什么结论？）.
（3）运用一元二次方程这一数学模型解决各学科领域的实际问题时需要考虑问题情境所蕴含的实际条件限制（而不能仅仅局限或满足于数学上的解决）.
基于以上我们对单元“小结与思考”、“三重联系”及其相互关系的理解，以及对一元二次方程的内容分析与该单元“小结与思考”教学目标的思考，我们试对“一元二次方程的小结与思考”做出如下的教学设计⑤与解释说明，以供思考与批判.
◆问题情境
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件.该批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，该批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元.现设第二个月单价降低x元，请尝试解决以下两个问题.
问题1：填表（无需化简）
问题2：如果该批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【设计意图：之所以选择这样一个问题情境是因为，我们试图通过对该问题情境所蕴含的问题的理解及其解决，来帮助学生小结或整理该章内容，包括有关概念、思想方法及其实际运用，但又不简单重复.问题1的教学目的旨在检查学生对问题情境的理解与数学抽象和表达，而问题2的教学目的则主要在于“一元二次方程”.由此可见，不理解或不能数学地表达问题情境，即使会“解一元二次方程”，那么也无法真正地“解决问题”.如果说问题1的教学重点在数学知识的话，那么问题2的教学重点则应在“知识向能力转化”的途中.】
◆让我们一起来思考……
（1）第一个月的单价和销售量“问题情境”已经给出.
（2）如何确定第二个月的单价和销售量呢？“问题情境”直接给出了吗？如果没有，那么有哪些信息可以使用呢？
（3）第二个月结束后，一次性清仓时的单价“问题情境”直接给出了吗？是多少？
既然如此，那么，一次性降价清仓的销售量是多少呢？
【设计意图：这一连串的教学提问旨在激发学生思考，引导其对问题情境所涉及学科领域（经济学）与社会生活（经济生活）中的概念的数学理解与表达，并快速地提取问题情境中的有效信息或数据.】
◆让我们一起来填表……
请在个人练习本上化简上述表格中的代数式：800-200-（200+10x）.
【设计意图：之所以如此设计是基于我们课前对学生数学学习情况的了解，旨在加强其基本数学运算技能，并试图化解可能的“计算难点”.】
◆还是让我们一起来思考……
问题2：如果该批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
（1）就第一个月的销售量而言，该批发商获利是多少？好算吗？可以先列出算式！
（2）那么，就第二个月的销售量而言，该批发商获利又是多少呢？可以列代数式！试一试！
（3）就一次性降价清仓的销售量而言，该批发商获利该是多少呢？当然要列代数式了！
【设计意图：这一系列问题的设计旨在引导学生在准确无误地完成问题1之后，进一步理解相关学科领域与社会生活中的概念及其关系，并数学地表达它们.】
◆让我们一起来列算式、代数式……
第一个月的获利（元）：200×（80-50），
第二个月的获利（元）：（200+10x）×[（80-x）-50]，其中80-x＞50
一次性降价清仓销售的获利（元）：（400-10x）×（40-50），
总获利（元）：9000
【设计意图：之所以在第二个月获利的代数表达式之后就紧跟着给出“80-x＞50”这一实际条件限制，是因为我们在“知识点教学”时是回溯式的⑥，但实际上，条件限制与其他“数据信息”并没有本质区别，可以“一起考虑”而无需甚至最好不要在思维上分出先后，这样还有可能从根本上消除学生在解决实际问题时“忘记验根”这一所谓的“必需步骤”.】
◆化简后……
第一个月的获利（元）：6000
第二个月的获利（元）：（200+10x）×（30-x）（x＜30）
一次性降价清仓销售的获利（元）：100x-4000
总获利（元）：9000
【设计意图：这一教学设计旨在体现“数学表达的简洁”（相对而言，不一定非得“最简”，更不是越简越好）.因此，“化简的程度”应以“问题解决”为导向，而不能以“最简”为标准.】
◆我们可以列出怎样的等式或方程呢？
我们可以列出下列方程：6000+（200+10x）·（30-x）+（100x-4000）=9000（x＜30）
那么，我们又如何求解上述方程呢？我们可以尝试着先回答下列几个问题，然后再来求解这个方程.
（1）这个方程是一元二次方程吗？
（2）为什么？
（3）我们如何才能够知道它的二次项（系数）、一次项（系数）和常数项呢？
（4）一定要化成“一般形式”吗？
【设计意图：之所以如此设计是因为我们考虑到，单元复习不能简单地重复过往的“知识点”，而应把所谓的诸多知识点都融入一个“问题”当中，以强化其“知识整体中的”这一关联性特征.否则，所谓的知识点就会显得既凌乱又随意.】
◆还是先化简比较好……
6000+（200+10x）（30-x）+（100x-4000）=9000（x＜30）
请先在个人练习本上试一试！看一看：与我这里得到的下列方程是否一致？有什么区别？
-20x+100=0（x<30）
现在，就这个方程而言，你知道怎样回答上述4个问题了吗？
如果你化简所得的方程不同于上述方程，也请回答上述4个问题，且想一想：解答为什么不同？要想回答上述第3个问题，我们需要化简至“最简”吗？
【这些教学问题的设计旨在进一步帮助学生理解一元二次方程的“一般形式”当中的“一般”之“数学形式”含义.】
◆再思考……
会解这个方程吗？解出这个方程之后，是否就解决了我们最先给出的“问题情境”中的问题了呢？为什么？能够说说你的想法吗？试试看好吗？
【求解方程与运用方程解决实际问题是有其本质区别的：求解方程只是一个纯粹的数学问题，而运用方程解决问题则是一个某学科领域或社会生活与数学的关联，因此，需要运用数学之外的知识或学识.】
◆求解方程……
那么，我们可以用哪些方法来解这个方程“-20x+100=0（x<30）”呢？我们学过哪几种解“一元二次方程”的方法？请先用自己喜欢的方法来解这个方程！
学过的方法是否都可以用来解这个方程？为什么呢？我们可以用多种方法来解该方程：
方法1：直接开平方法
-20x+100=0（x<30）
不能直接开方（请注意“直接”一词）！
方法2：配方法
-20x+100=0（x<30）
配方：
=0（x<30）
开方：x-10=0（x<30）（但用到了开方！）
移项：x=10（x<30）
∴
（如何理解这里有两个根？）
方法3：公式法
-20x+100=0（x<30）
a=1，b=-20，c=100
∴x=（20±0）/2=10（x<30）
∴（如何理解这里有两个根？）
方法4：因式分解法
-20x+100=0（x<30）
因式分解：=0（x<30）
因子为0：x-10=0或x-10=0（x<30）
∴（理解了这里有两个根了吗？）
由此可见，解一元二次方程的这4种方法之间有某种内在的联系，而且这种联系我们可以运用下面的图示来直观地表达：
其实，学习数学的最好方法之一就是，能够用相互联系的观点来看待我们所学习的知识、方法和思想，并把它们运用于解决实际问题当中.但在运用数学模型（譬如一元二次方程）来解决实际问题时，应注意其现实问题情境的“真实性”：需要考虑实际条件.
◆课堂练习
首先请就下列方程至少选择一个求解，然后我们一起来看看这些方程有何关联.
（1）
=4
（2）4+12x+5=0
（3）4=-12x-5
（4）8+24x+10=0
（5）（2x+5）（2x+1）=0
【设计意图：我们在教学实践中往往多强调一题多解以培养学生的发散思维，而忽视多题一解的思维教学价值，即转化、化归、一般化、模型化等数学思想方法的培养.】
◆课堂练习（续）
先想想我们可以从哪些方面来思考，然后尝试着具体解决下列两个小问题：
【设计意图：“转化”既是数学本身的思想方法，也是学习数学的好观念、好方法，值得我们长期坚持与追求.】
◆课后作业
结合今天的复习，阅读本章“小结与思考”，然后根据自己的实际情况至少选择下列一种方式作为课后作业（都是课本上原有的题目）：（1）复习巩固：1～10（任选五题）；（2）灵活运用：10～14（任选一题）；（3）探索研究：15～18（任选一题）.
【设计意图：学习数学不做题肯定不行，但做题也不是越多越好；做题既要有层次，也要有反思；就课外作业的布置而言，教师应留意学生基于自己个人具体情况的自主分析、自主选择与自主解题之思维习惯、做事行为和责任意识的培养.】
◆结语：健康·坚持·喜欢·用心
就数学而言，“转化”需要关联；而就数学学习而言，“转化”需要“以关联为前提的”联想.因此，只要我们用心，学好数学并不是一件难事；只要我们喜欢，学习数学可能是一件乐事；只要我们坚持，学习似呼吸空气一样轻松；只要我们健康，呼吸空气你我不需要费劲.
尽管上述基于“三重联系”的“一元二次方程”单元复习的教学设计在试教或示范的教学实践中取得了一定实效，但其中肯定还有疏漏之处甚至没有意识到的错误.在此，恳请行家里手批评指正.
①教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001：6.
②教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2011：8.
③如果说“知识教学”没有什么错误的话，那么，仅仅关注“知识点的教学”肯定有教育上的失误：割裂了学生鲜活的思维，并有可能导致师生思维的僵化.
④这一历史时期主要是指公元5世纪至15世纪（史称“中世纪”），该时期专业与业余的数学家们大多数把主要精力放在寻求“代数方程的解法”上了.
⑤作者曾亲自运用该教学设计在一定范围内做过试教或示范（2课时），其教学效果是值得肯定的.
⑥在回溯式“运用一元二次方程解决实际问题”的教学中，教师必须强调在求解方程之后“验根”这一“必需步骤”.否则，在逻辑上就会显得不怎么周严（尽管有时“验根”不会带来任何变化）.