“集合”由来演化的哲学思考，本文主要内容关键词为：由来论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O186.14
文献标识码：A
文章编号：1000-2804(2003)06-0078-05
社会的进步依赖于科学的创新，而数学对于科学的发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为高科技的基础，并且在一定意义上说是现代文明的标志。集合论是现代数学的基础。它可以说是数学中的一场革命。19世纪末和20世纪初，德国数学家康托尔(Cantor,1845～1918)创立了集合论（亦称朴素集合论），集合论的基本概念是集合，Cantor把集合定义为“所谓集合是把我们直观或思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（它们称为集合的元素）作为一个整体来考虑的结果”。20世纪数学的主流是结构数学，集合论的发展给研究结构数学提供了活动的场所，只有集合才是结构的支持者，没有集合就无从谈起结构数学，我们可以形象地说，集合是结构的“毛”所附的“皮”。因为如果对于一个集合没有赋予它什么结构，则它的每个元素都互不相关，彼此独立。
（一）由Cantor集合到Fuzzy集合
前面说过，集合是现代数学中最基础的概念，集合可以表达概念，即所谓外延法。例如，自然数集N=｛1,2,…,n,…｝。如果我们对周围的一切细加考察的话，就不难发现，上述Cantor集合的概念，并不能概括所有事物，因为在Cantor集合中，一事物要么属于某集合，要么就不属于某集合，这里没有模棱两可的情况，然而在现实生活中却充满了模糊事物、模糊概念，例如，许多产品的质量问题不是产生于制造过程中，而是由于设计不良造成的，因此，对产品实行优化设计是提高产品质量的首要也是关键步骤。由于在产品的设计中内部因素和外部条件交融在一起，形成一个设计系统，随着系统的扩大和复杂化，其“精确性”和“模糊性”的矛盾日益突出。
在思维中每一个概念都有一定的外延与内涵，所谓外延是指适合于那个概念的一切对象，而概念的内涵则是指外延包括的一切对象所具有的本质属性。内涵与外延是刻画概念的两个方面，与集合相联系，则内涵就是集合的定义，外延则是组成该集合的所有元素。通常在人们的思维中，有许多模糊的概念。语言是思维的外壳，在语言中有许多表现模糊概念的词。例如，当我们对一个人是否“年轻”进行评价时，或对一个人是否“胖”“瘦”进行评价时，由于年轻或胖瘦这些模糊的概念没有明确的内涵和外延，所以无法用普通集合来加以描述，或者换句话说有时很难做出肯定或否定的回答。这就是说，在这样的集合中，一个元素是否属于某集合，不能简单地用“是”或“否”来回答。因为集合论是描述人脑思维对客观事物的识别和分类的数学方法。这种数学方法明确给定了其推理准则；设给定了论域U和性质P，称元素与性质P的关系为人们思维中对u和P关系的识别过程。先看下列的准则。
准则：对u和P的关系，只允许如下两个命题：(1)元素u(u∈U)具有性质P；(2)元素u(u∈U)不具有性质P.
而且要求对每个u∈U，这两个命题有且仅有一个成立。所有能使第(1)命题成立的元素组成第一类，能使第(2)命题成立的元素组成第二类。在这种条件限制下建立起来的集合就是Cantor集合。显然Cantor集合论要求论域U中每一元素u关于某集合A，要么属于它，要么不属于它，两者必居其一，且只居其一。这种既定就是所谓的排中律，这使Cantor集合只能表现出非此即彼的现象。为了有效地描述模糊概念，人们开始思考，怎样才能用集合表达这些模糊概念，1965年美国数学家、加利福尼亚大学教授L.A.Zadeh发表了著名的论文《模糊集合》，第一次引人注目地提出了模糊集合的概念：设在论域U上给定了一个映射：
称A为U上的Fuzzy集合（模糊集合）。在Cantor集合中，特征函数值仅取0和1两个值就足够了，换句话说，特征函数与集合｛0,1)相对应（注：王汝发，朱海文.由精确科学到模糊科学的哲学思考[J].北京科技大学学报（社会科学版），2001(1).）。为了描述模糊集合，Zadeh在Cantor集合论的基础上，把特征函数的取值范围从集合｛0,1)扩充到了[0,1]区间，这样以来，就可以借助经典数学这一工具，定量描述模糊集合，即Fuzzy集合。
为了将Cantor集合与Fuzzy集合加以区别，我们把Fuzzy集合的特征函数称为从属函数，记作
表示元素x属于模糊集合A的程度或“资格”。为便于理解，不妨将特征函数再作一点介绍，设A是论域U的一个子集，称映射
为集合A的特征函数。
因此，只要给出论域U的一个子集A，按照以上法则就可惟一地确定一个特征函数。反过来，给定一个从U到｛0,1)的映射或特征函数
我们取以1为像的所有U中的元素做成的子集为A，即
A=｛x:x∈U∧D(x)=1｝
此时，
。
从以上的讨论不难看出，Cantor集合与Fuzzy集合的主要区别是：Cantor集合的边界是分明的，而Fuzzy集合的边界则是模糊的；Cantor集合描述现实世界中事物的确定性，而Fuzzy集合则描述事物的模糊性。经典数学建立在Cantor集合之上，其逻辑关系是形式逻辑，模糊数学建立在Fuzzy集合之上，其逻辑关系是模糊逻辑，显见模糊数学是经典数学的拓扩和发展。
模糊数学的理论正在不断完善和发展，它的应用日益广泛，已涉及聚类分析、图像识别、自动控制、机械故障诊断、系统评价、数据结构、信息检索、机器人、人工智能、逻辑等诸多方面，它为数学的发展带来了新的动力和源泉。另一方面，模糊数学的产生又是历史的必然，它反映了信息革命的迫切需要，它是为信息革命而做的一项必需准备，它已经为信息革命提供了一种新的富有魅力的数学工具和手段。我国从1970年代初开始，对模糊数学的理论和应用进行了多方面的研究，取得了不少的优异成绩。人类认识世界从模糊到精确，从心中无数到心中有数，这是一个飞跃；现在为了分析和处理模糊现象，又突破了精确数学（经典数学）的理论框架，产生了模糊数学；但由模糊→精确→模糊是一个动态的概念，稳定、平衡会不断被打破，新的稳定与平衡又会不断建立起来。确定性的事物、现象与精确概念，可以看作是非确定性事物、现象与模糊概念的一种特例，非确定性的模糊思维方法与数学方法，可以看作确定性的精确思维方法与数学方法在复杂的非确定性模糊现象中的延伸与发展。
（二）由Fuzzy集合到Extension集合
前面曾言，以Fuzzy集合为基础，以模糊逻辑为推理准则所建立的数学称为模糊数学。它较好地描述了客观世界中边界模糊的一类事物，如高个子与低个子、年轻人与老年人、明亮与黑暗，等等。但由于在Fuzzy集合中，集A和
的中间边界是模糊的，没有一条明确的界限。因而在模糊集合中的元素，并不完全符合形式逻辑中的排中律。由于客观事物处于相互联系、相互制约及不断运动变化之中，所以客观世界表现出复杂、奇变莫测的境地，也就是说，在现实世界中，事物除具有确定性和模糊性之外，还具有可变性，即彼此互变，这是矛盾性的破缺而造成的不确定性，其对立面是稳定性。例如，一位工人现在可能不是高级技师，但以后可能成为高级技师；一个人可能现在是厂长，但以后可能不是厂长；一工件现在虽然不合格，如经加工后会成为合格品等等。这种处于不断发展变化中的事物，用模糊数学或经典数学的方法有时是难以描述或解决的，随着科学技术的飞速发展，模糊数学的不足逐渐显露出来了，因此，需要以事物的可变性为基点，将转化思想引入分类准则，建立新的集合概念。1983年广东工业大学蔡文研究员创立了可拓数学，它是建立在可拓(Extension)集合之上的数学。如果将它应用于实际领域，就会产生“可拓工业工程”、“军事可拓工程”，“医学可拓工程”、“农业可拓工程”等，这套理论和方法如果应用于计算机，则可使计算机变得更聪明。它为描述这类事物提供了有力的形式化工具。此外，在现实世界中，除了事物的发展具有可变性外，还有一类大量存在的“既是又非”的临界事物。例如，
究竟是水还是冰；站在门口线上的人是在室内还是在室外等等，这些问题同样难以用模糊数学或经典数学来表达。但在可拓数学中，它们都不难得到合理的描述和说明，这就是所谓的“零界元素”。可拓集合用（－∞，＋∞）上的关联函数来描述事物属于某集合的程度，用零界元素来刻画既是又非的临界事物，用可拓域来描述事物的可变性。因而可以说可拓数学又是模糊数学进一步发展的结果。从而把数学的应用范围从确定现象、模糊现象扩大到可变现象。
下面先介绍Extension集合的概念。
定义1（注：蔡文.可拓集合与不相容问题[J].科学探索学报，1983(1).） 设U为论域，K是U到实域I的一个映射，
（三）可拓数学的哲学启示
Extension集合开辟了数学研究的新天地。可拓数学是一种新型的数学吗？如果是，它新在哪里？它对于数学哲学中的基本问题——本体论、认识论、方法论中某些问题的解释是否有一些启示，这又是我们所关注的一个问题。对于可拓数学虽然在我国尚未专列出学科的位置，但它的发展是极为迅速的，它的发展已引起了我国数学家和哲学家们的广泛关注，特别是模糊数学家的一些首肯。最近几年台湾学者已经将可拓数学引上了更高层次。数学与自然科学不同，并不以客观实在为对象。这是大家的共识。19世纪之前，数学对象受制于哲学观念及古老的规定，19世纪之后，数学家的思想逐渐打破这种陈旧的框框，无疑，每一次打破都引起了一场风波、一场辩论，但主流是数学对象的扩大化最终取得胜利。表现最为明显的算几何学，由直观图形到现实空间再到抽象空间，由距离空间到线性空间再到拓扑空间，由三维以下的现实空间到任意有限维空间再到无限维空间，如此等等，每一次跃进，在观念上就有一次重大突破（注：王汝发.从“空间”的由来演化看数学哲学的基本问题[J].哈尔滨工业大学学报（社会科学版），2000(3).）。可拓数学也是如此，它的产生和发展也经历了一次次重大突破。我们认为，可拓数学的确表现出了数学的一些没有明显先例的特质。
首先，可拓数学的诞生极大地拓展了数学的应用范围，使人们对数学的作用和对其他科学乃至社会的影响有了一个新的认识。这是由于可拓数学是建立在Extension集合之上的缘故，而该集合是建立在以下的准则之上的，它只允许考虑如下四个命题：
(1)元素u(u∈U)具有性质P；
(2)元素u(u∈U)不具有性质P；
(3)可使原来不具有性质P的元素变为具有性质P；
(4)元素u(u∈U)具有性质P，又不具有性质P。
对每一个元素u∈U，上述四个命题中的某一个成立（注：蔡文.可拓集合与不相容问题[J].科学探索学报，1983(1).）。
因此，Extension集合不仅可以描述事物的存在性，而且还可以描述事物的可变性，从而把数学的应用范围从确定现象、模糊现象扩大到可变现象。所以，可拓数学方法，既是辩证思维方法的某种创新，也是科学方法论的创新。也可以说这是从数学的另一角度证实和丰富了唯物辩证法。在短短的20年时间里，在国内外学者的共同努力下，初步形成了物元理论、Extension集合与关联函数、可拓逻辑与算法、可拓信息论、可拓系统论、可拓控制论、可拓决策论、可拓神经网络、可拓预测与评判、可拓方法与可拓工程方法，其应用的范围正扩大到工业、农业、军事、经济、生物、医学等领域。
其次，在可拓集合中避免了罗素悖论的出现，从而推动了数学的长足发展。
正当Cantor创立的集合论逐渐为大多数数学家所接受，并成为全部经典数学的理论基础时，一系列集合论悖论却冒了出来，特别是1901年发现的罗素悖论，只用了“集合”、“集合的元素”等简单概念，用了人们公认的推理准则却导致了自相矛盾的结果，这使一贯以精密、严格著称的数学大厦居然出现了深深的裂痕，并且是足以使整座大厦倾覆的裂痕。
可拓集合论不仅承认临界事物的存在，并用来描述这些临界元素。假定U是一切集合的全体，在U上规定了一个可拓集合
，满足
(1)u∈U,u∈u的充要条件是K(u)≤0；
(2)u∈U,u
u的充要条件是K(u)≥0。
令Q是第二类集合所组成的集合，即
若Q∈Q，则由(1)知K(Q)≤0，但K(Q)＜0是不可能的，因为若不然K(Q)＜0，由式(*)又知QQ，再由(2)得K(Q)≥0，矛盾。这说明K(Q)=0。
若QQ，则由(2)知K(Q)≥0，由(*)知Q∈Q，再由(1)知，K(Q)≤0，从而得K(Q)=0。
综上所述，恒有K(Q)=0，即Q是的零界元素。故罗素悖论中“不是它本身的元素”的集合所构成的集合Q是可拓集合的临界元素，它既有属于Q的性质，又有不属于Q的性质。也就是说，在可拓集合的框架里，罗素悖论不会出现。因此，可以说可拓数学自觉和不自觉地唯物辩证法为指导，又创造性地丰富和补充了辩证法，为事物的运动、相互联系、相互制约的状态和形式提供了质和量之统一的度，开辟了运用数学语言，数字符号描述事物可变性的途径和方法，把辩证法的质量互变规律加以具体化，创造性地利用可拓集合描述现实世界中大量存在的“既是又非，既不是又不非”的临界事物，也为哲学可否既能定性研究又能定量研究，以及定性定量研究相结合提供新的思路和途径。这也是哲学领域探讨的一个重大研究课题。
最后，Extension集合与Cantor集合、Fuzzy集合相比产生了新的数学功能，使集合观念发生了质的变革，为社会科学研究提供了新的理论基础和方法论。以辩证的思维观，科学的哲理与方法研究它，使科学研究的结论更符合客观事物规律。由此基础上产生的可拓数学更适合于计算机，能极大地提高机器的活性，为社会科学定量化开辟了一条可行之路。中国模糊数学学会副理事长、北京师范大学汪培庄教授认为：“‘可拓集合’是以物元分析为背景而提出的一种集合描述形式，它比Zadeh提出的Fuzzy集合的思想有更新更值得探讨的地方。”（注：蔡文.从物元分析到可拓学[M].北京：科学技术文献出版杜，1995.）山西省工业与应用数学学会理事长白其峥教授认为：“可拓数学是对应用数学的发展。应用这门崭新的数学工具，使人们能够定量研究自然科学和社会科学，以及工程技术中的各种不相容问题和各种矛盾现象。这些问题的解决必将促进科学技术在国民经济的发展中发挥更大的作用。”“可拓数学也丰富和发展了数学哲学和数学方法论，它是研究辩证、矛盾学说的有力工具，它使我们有可能运用形式化、逻辑化的物元模型来描述和解决不相容问题，这将导致计算机、智能机技术的发展。”（注：中国现代法研究会物元分析学会.可拓简报[R],1997(4).）
将可拓数学用于机器人和人工智能，就可以使机器执行可拓语言，极大地提高机器人和人工智能技术，从而使机器人的智能接近人类的水平，使其有人类情感，自动产生意识，使复杂、随机性强的社会过程的定量研究在技术上成为可能。我们相信，随着可拓数学的进一步发展，它必将在许多领域得到广泛的应用。
众所周知，数学与哲学，数理与哲理自古以来——例如自毕达哥拉斯以来——就是两个难以截然划分的学科。它们或互为表里，或互相包容，浑然一体，都具有高度的抽象性和很大的普遍性（注：傅德本.在数学与哲学之间[J].哈尔滨工业大学学报（社会科学版），2000(3).）。恩格斯把人的经验分为“外在的、物质的经验，以及内在的经验——思维规律和思维形式”。数学是哲学发展的源泉之一。对数学成果进行适当的抽象、概括或阐发，可以获得新鲜的哲学范畴或观点。原则上讲，任何哲学范畴或观点，对人们的思维都可以发挥某种框架作用乃至思维方式作用。可拓数学是我国数学家的原创性成果，其中的命题、定理都有着巨大的普适性，这是因为它包含着深奥的哲理性。由此我们可以看出，如果把哲学作一种层次性的分类的话，创立一种可拓哲学又何尝不可呢？
收稿日期：2002-07-19.
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